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2024-2025学年湖南省娄底市部分普通高中高二下学期期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为( )
A. B.
C. D.
2.命题：，使方程有实数根，则非形式的命题是( )
A. ，使得方程无实根
B. 对，方程无实根
C. 对，方程有实根
D. 至多有一个实数，使得方程有实根
3.若，且，则的值为( )
A. B. C. D.
4.如图，，分别是正方体的棱与的中点，则下列判断正确的是( )
A. 直线与是相交直线 B. 直线与互相平行
C. 直线与互相垂直 D. 直线与是异面直线
5.函数的大致图像如图所示，则它的解析式是( )
A. B.
C. D.
6.如图所示的方格纸中有定点、、、、、、，则( )
A. B. C. D.
7.已知，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知实数满足则下列关系式中不可能成立的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数，则下列说法错误的是 ．
A. 在复平面内对应的点位于第二象 B.
C. D. 的共轭复数
10.已知向量，，则( )
A. B.
C. 向量在向量方向上的投影是 D. 向量的单位向量是
11.如图，在棱长为的正方体中
A. 与的夹角为
B. 二面角的正弦值为
C. 与平面所成角的正切值为
D. 点到平面的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.二项式的展开式中，项的系数是 用数字填写答案
13.函数的定义域为 ．
14.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某校高一年级设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标正手发高远球定点高远球吊球杀球以及半场计时往返跑考核，满分分参加考核的学生有人，考核得分的频率分布直方图如图所示．

由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第百分位数；
为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练现采用分层抽样的方法样本量按比例分配，从得分在内的学生中抽取人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率；
16.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，若平面向量，其中，．
求角的大小；
若，求的最大值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，是边长为的等边三角形，底面为直角梯形，，，，为的中点．
求证：平面；
当平面平面时，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知双曲线的一条渐近线方程为，且点在双曲线上
求双曲线的方程；
已知双曲线的右焦点为，点，斜率为的直线与双曲线交于不同的两点，，且为线段的中点，若，求直线的方程．
19.本小题分
已知函数．
若，，求曲线在点处的切线方程；
若是的极大值点，求的取值范围
参考答案
1.
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14.
15.【详解】由题意得：，解得，
因为，
，
设第百分位数为，则，
解得，即第百分位数为．
由题意知，抽出的位同学中，得分在的有人，设为，
在的有人，设为．
则“从中挑出两人进行试课”这个试验的样本空间为：
，，
设事件“两人得分分别来自和”，
则，
因此
所以两人得分分别来自和的概率为．

16.【详解】因为，则，又，，
所以，由正弦定理得，
即，又是内角，则，
所以，即，
又，所以；
由余弦定理得，即，
所以当且仅当时取等号，
所以，
又，所以，
所以，
令
，则在上单调递增，
所以，即，即，
所以的最大值为．

17.解：证明：取的中点，连接，，
为的中点，且，
又，，且，
四边形是平行四边形，，
平面，平面，
平面；
取的中点为，连接，
，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
，，，，
，，两两垂直，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由是边长为的等边三角形，得，
，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则
令，得，，
故平面的一个法向量为，
，
直线与平面所成角的正弦值为．
18.解：双曲线的一个渐近线方程为，
得，即，
因为点在双曲线上，所以，即，
解得，，
所以双曲线的方程为；
由，得，
设直线的方程为，，，
联立消去，得，，
所以，，即，
因为，所以，又，，
所以，即，解得，
所以直线的方程为，即．

19.【详解】若，，则，，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程为．
由题意，得的定义域为，，
则，即，所以．
当时，在时，，单调递减；
在和时，，单调递增，
所以是的极大值点，满足条件．
当时，，在区间上单调递增，没有极值，不满足条件．
当时，在时，，单调递减；
在和时，，单调递增，
所以是的极小值点，不满足条件．
当时，在时，，单调递减；在时，，单调递增，
所以是的极小值点，不满足条件．
综上，的取值范围是．

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