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2024-2025 学年山东省青岛市高一下学期部分学生调研检测数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2.若 = 1 + i，则在复平面内 对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.在 中， = 1 ， 为 的中点，设 = ， = ，则 3 =( )
A. 16 +
1 B. 13 6 +
1
2
C. 1 1 3 + 6
D. 1 + 1 3 2
3.已知直线 ， 与平面 ， ， ，下列说法正确的是( )
A.若 ⊥ ， ⊥ ，则 // B.若 ⊥ ， ⊥ ，则 //
C.若 ∩ = ， ⊥ ， ，则 ⊥ D.若 // ， ⊥ ，则 ⊥
4.有一组样本数据 1， 2， 3， ， 10的平均数为 3，方差为 3，则 1， 2， 3， ， 10，3 的方差为( )
A. 3 B. 311 C.
30 90
11 D. 11
5.如图，用斜二测画法画出的水平放置的 的直观图是 Rt ′ ′ ′，若 ′ ′的中点在 ′轴上，且
′ ′ = ′ ′ = 2，则 =( )
A. 2 6 B. 4 C. 2 3 D. 2
6.魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一道题目是测海岛的高.如图，点 ， ，
在水平线 上， 和 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆.若 = = 4， = 15， = 8， =
13，则海岛的高 为( )
A. 16 B. 24 C. 32 D. 40
7.气象意义上进入春季的标志为“一年中第一次出现连续 5 天的日平均气温均不低于 10 摄氏度”.现有甲、
乙、丙、丁四地连续 5 天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数)：
甲地：5 个数据的中位数为 12，极差为 3； 乙地：5 个数据的平均数为 11，众数为 12；
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丙地：5 个数据的平均数为 12，中位数为 12； 丁地：5 个数据的平均数为 11，方差小于 1．
则根据上面数据，肯定符合气象意义上进入春季的地区是( )
A.甲地 B.乙地 C.丙地 D.丁地
8.在集合{0,1,2,3}中任取两个数 ， ( < )构成以原点为起点的向量 = ( , ).从所有得到的以原点为起点
的向量中任取两个不共线向量为邻边作平行四边形，则平行四边形面积不超过 2 的概率为( )
A. 1 B. 5 7 23 12 C. 12 D. 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数 , 均不为 0，则( )
A. = B. =
C. ( + )2 = | + |2 D. = | | | |
10.已知棱长为 2 的正方体 1 1 1 1， ， 分别为 1， 的中点， 是侧面 1内的动点，则( )
A.若 ∈ 1，则 ⊥ 1
B.若 ∈ 1，则三棱锥 1的体积为定值
C.若 在三棱锥 外接球面上，则点 的轨迹长度为 2π
D. π若 在三棱锥 外接球面上，则存在两点 使 1 和侧面 1所成角为4
11.“费马点”指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点.在 中，当最大内角小于 120°时，费马点
满足∠ = ∠ = ∠ = 120°；当最大内角不小于 120°时，最大内角的顶点为费马点.若 = 2，
= 2 3，1 2sin sin = cos2 + cos2 cos2 ，点 为 的费马点，则( )
A. = 60° B. : : = 3: 2: 1
C. tan∠ = 35 D.
= 167
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 1 1.若事件 ， 相互独立， ( ) = 3， ( ) = 2，则 ( ∪ ) = ．
13 π 1.已知向量 与 的夹角为 ， 4
= 2，若 ∈ R， + ≥ 2 ，则 = ．
14.已知圆台的母线与下底面所成角为 60°，球 与圆台的上、下底面及侧面都相切，若圆台内可再放入与
3
下底面、侧面及球 都相切的小球，则最多可放入的小球的个数为 ．(注：若锐角 满足 sin = 6 ，则
≈ 17°)
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
为弘扬传统文化，某校举办了传统文化知识竞赛.现将竞赛得分在 75 100 分(满分：100 分)的学生成绩进
行统计与分组，得到如下图所示的频率分布直方图．
(1)求 的值，并估计统计数据的上四分位数；
(2)据统计，本次竞赛在[90,95)内得分的平均数为 93，方差为 10；在[95,100]内得分的平均数为 97，方差
为 8，求在[90,100]内得分的平均数与方差．
16.(本小题 15 分)
已知 的内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ， 3 sin + cos = ．
(1)求角 ；
(2)若 sin( ) = cos ， 的面积为 3 + 3，求 ， ．
17.(本小题 15 分)
如图，在 中， = 4， = 6， = 8， ， ， 分别为 , , 中点．
(1)质点的初始位置在 处，每次等可能在相邻点间沿图中连线移动.求质点经过 2 次移动后到达 的概率；
(2)将 ， ， 分别沿 , , 折起，使得点 ， ， 重合于点 ，质点的初始位置在 处，
1 1 1
每次移动到距离为 2，3，4 的相邻点的概率分别为2，3，6 .求质点经过 3 次移动后回到 的概率．
18.(本小题 17 分)
为坐标原点， 1， 2均大于 0，复数 1 = 1(cos 1 + isin 1)， 2 = 2(cos 2 + isin 2)在复平面内对应的点
分别为 ， ，对应的向量分别为 ， ，若把向量 绕点 按逆时针方向旋转角 2(若 2 < 0，按顺时针
方向旋转角 2 )，再把它的模变为原来的 2倍，得到向量 ，则 对应的复数就是积 1 2．
(1)若 对应复数 2 + i， 绕点 按逆时针方向旋转 60°得到 ，求 对应的复数；
(2)若复数 3对应的点为 ， 是等边三角形；
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(ⅰ) 3 求 1 ；2 1
(ⅱ)若 的顶点均在正方形 边上，点 ， ， 的坐标依次为(1,0)，(1,1)，(0,1)，求 面积的最
小值．
19.(本小题 17 分)
如图 1，在平面五边形 中，四边形 是边长为 1 的菱形，∠ = 60°， ⊥ ， = 2.将
沿 翻折至 ，如图 2.点 在 上.
(1)若 为 中点，证明： //平面 ；
(2)若 ⊥ ，且四棱锥 与三棱锥 的体积相等.证明：平面 ⊥平面 .；
(3)求二面角 的余弦值的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.12/0.5
13.2 2
14.10
15.解：(1)由频率分布直方图的性质，知所有矩形的面积和为 1，
所以(0.02 + 0.06 + 0.08 + + 0.01) × 5 = 1 即(0.17 + ) × 5 = 1，解得： = 0.03
因为(0.02 + 0.06) × 5 = 0.4 < 0.75，(0.02 + 0.06 + 0.08) × 5 = 0.8 > 0.75
故四分位数区间一定在[85,90)内
设四分位数为 ，则 0.4 + ( 85) × 0.08 = 0.75，解得： = 89.375
(2)[90,95)的频率：0.03 × 5 = 0.15
[95,100]的频率：0.01 × 5 = 0.05
因此，[90,95)与[95,100]的数量比为 0.15: 0.05 = 3: 1
设[90,95)有 3 个数据，[95,100]有 个数据， > 0
已知[90,95)内得分的平均数为 = 93，[95,100]内得分的平均数为 = 97
则[90,100] 3 ×93+ ×97 = 376 的平均数 为 3 + 4 = 94
根据方差的性质得： 2 = 3 4 10 + (93 94)
2 + 1 8 + (97 94)34 =
33+17 = 504 4 = 12.5
16.解：(1)因为 3 sin + cos = 及正弦定理得 3sin sin + sin cos sin = sin ，
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所以 3sin sin + sin cos sin sin + sin cos = sin ，
所以 3sin sin sin sin = sin ，
因为 sin > 0，所以 3sin sin = 1 = 2sin π6 ，
sin π 1所以 6 = 2 , ∈ 0, π
π
，所以 = 3；
(2) 1 π 2π 5π π因为 sin( ) = 2，所以 = 6 , + = 3，所以 = 12 , = 4，
1
因为 的面积为2 sin = 3 + 3，
因为 sin = sin π π 2 3 2 1 6+ 24 + 6 = 2 × 2 + 2 × 2 = 4 ，所以 = 4 6，

由正弦定理得 2 = 3，所以 3 = 2 ，
2 2
2
所以 3
2 = 4 6，所以 = 2 3, = 2 2．
17.解：【(1)质点经过 2 次移动后到达 只有两条路径， → → 或 → → ，
1
由题意第一次运动到 , 的概率都是2，
若第二次如果是从 出发，则终点可能是 , , , ，
1
所以此时运动到点 的概率为4，
若第二次如果是从 出发，则终点可能是 , , , ，
1
所以此时运动到点 的概率为4，
= 1 × 1 + 1 × 1 1故所求概率为 2 4 2 4 = 4；
(2)如图所示，
质点经过 3 次移动后回到 的路径共有 6 条，分别是： → → → , → → → , → → → ， →
→ → , → → → , → → → ，
这六条路径的共同特征是，都包含了边长为 2,3,4 的线段各一条，
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1 1 1
而每次移动到距离为 2，3，4 的相邻点的概率分别为2，3，6，
1 1 1
故所求概率为 1 = 6 × 2 × 3 × 6 =
1
6．
18.解：(1)由题意得 2 = 2(cos 2 + isin 2) = 1 × cos60° + isin60° =
1 + 32 2 i，
所以 = 2 + i 1 + 3 i = 1 3 1对应的复数为 1 2 2 2 2 + 3 + 2 i；
(2)( ) 1 1 3因为 是等边三角形，所以不妨设 2 , 0 , 2 , 0 , 0, 2 ，
3
3 1 2 i
1
所以 2 = 1 1 =
1
2 +
3
2 i；2 1 2 2
( )如图所示， 的顶点不可能是正方形 的顶点，否则与 是等边三角形矛盾，
不妨设 ( , 0), ∠ = , 0 < < 1,0 < < π2 ，
= 1 所以 cos ，
1
由图可知 = = cos ≥ 1 = 1 ≥ cos ，
1 3 3 3
等号成立当且仅当 1, 2 , 1 2 , 0 , 1 2 , 1 ，即当且仅当 = 1 2 , = 90
° 60° = 30°，
3 3 (1 )2 3 3
所以 面积为 = 24 = 4 cos2 ≥ 4 ，当且仅当 = 1 2 , = 90
° 60° = 30°时，等号成立，
所以 3面积的最小值为 4 ．
19.解：(1)连接 , 相交于点 ，连接 ，
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四边形 为菱形，所以 为 中点，又 为 中点，
所以 // ，又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)因为 = 2 = ， = + ，
1
所以 = 3 ，即 是 靠近 的三等分点，
则 = 1 + 2 3 3
，又 ⊥ ， = 2， = 1，
2
所以 = 1 2 6 1 33 + 3 = 3 ， = 3, = 3 = 3 ，
则 2 + 2 = 2，即 ⊥ ， ⊥ ，
又 ⊥ , ∩ = , , 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ．
(3)延长 交 于 ，作 ⊥ 交 于 ，
过 作 ⊥ 交 于 ，连接 ，设∠ = , ∈ 0, π ，
又 ⊥ , ⊥ ， ∩ = , , 平面 ，
所以 ⊥平面 ， 平面 ，∴ ⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ = , , 平面 ，
所以 ⊥平面 ，即 ⊥平面 ，又 平面 ，所以 ⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ = , , 平面 ，
所以 ⊥平面 ，∴ ⊥ , ⊥ ，
所以∠ 就是二面角 的平面角，
在 中， = 1, ∠ = 3，所以 = 3，
∵ ∠ = , = = 2，∴ = 2sin , = 3 2cos ，
sin∠ = = 1 2 =
3 2
= 2 2 cos ，
tan∠ = = 2sin = 2 2sin 3 2 3 2cos = > 0，
2 2 cos
则 3 = 2 2sin + 2 cos = 8 + 2 2sin( + ) ，其中 tan = 2，
∵ ∈ 0, π , ∴ 3 = 8 + 2 2sin( + ) ≤ 8 + 2 2，解得 0 < ≤ 2 2，
所以 tan∠ ∈ 0,2 2 , cos∠ ∈ 13 , 1
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即二面角 1的余弦值的最小值3．
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