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2024-2025 学年山东省聊城市高一下学期期末教学质量抽测
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点 ( 1,3)， (1,2)，则 =( )
A. ( 2, 1) B. ( 2,1) C. ( 1,2) D. (2, 1)
2.下列几何体是棱台的是( )
A. B.
C. D.
3 1 2
2
. i =( )
A. 3 4i B. 3+ 4i C. 3 4i D. 3 + 4i
4.若数据 1，2，5， ，2，2 的极差是它们众数的 2 倍，则满足条件的正整数 的个数为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5.已知正四棱锥 的所有棱长均相等，则直线 与其它经过该四棱锥的两个顶点的直线所成的角不
可能为( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
6.2sin40° 3sin10° =( )
A. cos10° B. cos20° C. sin40° D. sin50°
7.在梯形 中， // ， = 2 ， = + 1 3 ，当点 在 内部运动时， 的取值区间为( , )，
则 + =( )
A. 7 B. 17 3 196 12 C. 2 D. 12
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8 .如图， 是半径为 4 的半圆 的直径，点 ， 在弧 上，若 = ，则四边形 周长的最大值为( )
A. 16 B. 17 C. 18 D. 19
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知空间中三条不同的直线 ， ， 和平面 ，且 // ，则下列结论正确的是( )
A.若 // ，则 // B.若 // ，则 //
C.若 与 相交，则 与 相交 D.若 与 相交，则 与 相交
10.欧拉公式e i = cos + isin 是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为
π
“数学中的天桥”.依据欧拉公式，若 = e3i，则( )
π
A. 2 的虚部为 1 B. = e 3i
C. 2025 = 1 D. 0 1 + 2 3 + 2025 = 1
11.将函数 ( ) = sin2 + 3cos2 π的图象向左平移4个单位长度后得到函数 ( )的图象，若 ( ) = ( ) ( )，
( ) = ( ) ( )，则( )
A. ( )与 ( )的最小正周期相同
B. ( )与 ( )的对称中心完全相同
C. ( ) π π与 ( )在[ 4 , 4 ]上的值域相同
D. ( )与 ( ) 47π 59π的图象在[0, ]上恰有四个交点时， 的取值范围为[ 24 , 24 )
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若向量 在单位向量 上的投影向量为 ，则 = ．
13.函数 ( ) = sin4 π cos4 π12 12 ， ∈
π
2 , π 的单调递减区间为 ．
14.已知 中， ⊥ ， = 2，若将 绕直线 2旋转一周，所得几何体的内切球半径等于3 ，
则该内切球的表面积为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
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对于向量 = 1, 1 ， = 2, 2 ，定义运算 = 1 2, 1 2 ，已知向量 = (1, )， = ( 2,2)， ∈ ．
(1)若 = ，求 的值；
(2)若 4 ⊥ ，求 与 夹角的余弦值．
16.(本小题 15 分)
某校高一年级为了解学生近期的数学学习情况，组织了一次数学阶段测试.从所有学生的数学成绩中随机抽
取 400 名学生的数学成绩作为样本，整理数据并分成[30,50), [50,70)，[70,90), [90,110)，
[110,130), [130,150]这 6 组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求 的值，并估计参加这次测试的学生数学成绩的中位数(四舍五入取整数)；
(2)从所抽取的数学成绩在[110,130), [130,150]内的学生中，采用样本量按比例分配的分层抽样抽取 名学生，
若这 名学生数学成绩的平均数为 126 分，方差为 50，且这 名学生中数学成绩在[130,150]内的只有 1 名，
其数学成绩为 136 分，求这 名学生中数学成绩在[110,130)内的学生数学成绩的平均数与方差．
17.(本小题 15 分)
如图，已知 是圆柱下底面圆的直径，点 是下底面圆周上异于 ， 的动点， ， 是圆柱的两条母线．
(1)证明： //平面 ；

(2)若该圆柱的侧面积等于两底面面积的和，当 为弧 的中点时，求直线 与平面 所成角的正切值．
18.(本小题 17 分)
记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 cos2 cos2 = ( )sin2 ．
(1)求角 ；
(2)若 的边 上的高等于 sin ．
( )当 = 2 时，求 cos cos 的值；
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( )求 面积的最小值．
19.(本小题 17 分)
如图，在三棱柱 1 1 1中， 1 = = = 2， 为 的中点，平面 1 ⊥平面 ．
(1)求证： 1 1是直角三角形；
(2) 为 1 1的中点， 为 与 1的交点，点 在线段 1 上， ⊥ ，若 //平面 ．
( )求侧面 1 1与底面 所成二面角的正弦值；
( )若点 到平面 2 101 1的距离为 5 ，求三棱柱 1 1 1的体积．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 1
13. 7π12 , π
14.6445π
15.解：(1)因为 = 1 2, 1 2 ， = (1, )， = ( 2,2)，
所以 = (2, 2 )， = ( 2 , 2)
因为 = ，所以 2 = 2，解得 = 1．
(2)由题意得 4 = (6,4 2)
又 = ( 2,2)，且 4 ⊥ ，所以 12 + 8 4 = 0，解得 = 2，
此时 = (1,2)， = (2, 4)
设 与 的夹角为 ，
cos = = (2, 4) (1,2) 6则 4+16× 1+4 = 2 5× 5 =
3
5
3
所以 与 夹角的余弦值为 5
16.解：(1)由频率分布直方图知，( + 2 + 4 + 0.0175 + 0.0125 + ) × 20 = 1，解得 = 0.0025；
由( + 2 + 4 ) × 20 = 7 × 0.0025 × 20 = 0.35 < 0.5，0.35 + 0.0175 × 20 = 0.7 > 0.5，
得这 400 名学生数学成绩的中位数 ∈ [90,110)，由 0.35 + ( 90) × 0.0175 = 0.5，得 ≈ 99，
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所以估计参加这次测试的学生数学成绩的中位数为 99 分．
(2) 0.0025 1依题意，0.0125 = 0.0125 = 1，解得 = 6，
设这 6 名学生的数学成绩分别为 1， 2， 3， 4， 5，136，
由这 6 名学生的数学成绩的平均数为 126 1+ 2+ 3+ 4+ 5+136分，得 6 = 126，
解得 1 + 2 +
1+ 2+ 3+ 4+ 5
3 + 4 + 5 = 620，因此 5 = 124；
设 1， 2， 23， 4， 5的方差为 ，由这 6 名学生的数学成绩的方差为 50，
5
得 [ 26 + (124 126)
2] + 16 [0 + (136 126)
2] = 50，解得 2 = 36，
所以所求学生数学成绩的平均数为 124 分，方差为 36．
17.解：(1)因为 ， 是圆柱的两条母线，
所以 /\ !/ ，且 = ，所以四边形 为平行四边形，
所以 /\ !/ ，
又 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ．
(2)因为 是下底面圆的直径， 是下底面圆周上异于 ， 的动点，
所以 ⊥ ，
又因为 是圆柱的一条母线，所以 ⊥底面 ，
而 底面 ，所以 ⊥ ．
因为 平面 ， 平面 ，且 ∩ = ，
所以 ⊥平面 ．
又由(1)知 /\ !/ ，所以 ⊥平面
所以∠ 为直线 与平面 所成的角．
设圆柱的底面圆半径为 ，母线长为 ，
因为圆柱的侧面积等于两底面面积的和，所以 2 = 2 2，得 = ，

又Ｃ为弧 的中点，所以 = = = 2 ，
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所以在 Rt 中， = 2 + 2 = 2 2 + 2 = 3
在 Rt 2 6中，tan∠ = = 3 = 3
6
所以直线 与平面 所成角的正切值为 3 ．
18.解：(1)由 cos2 cos2 = ( )sin2 得 sin2 sin2 = ( )sin2
在 中，由正弦定理得 2 2 = ( ) 2，
2 2 2
即 2 2 = ( ) = 2，所以 cos = + 12 = 2
因为 0 < < π π，所以 = 3．
(2)( ) (1) π由 知 = 3，因为 的边 上的高等于 sin ，且 = 2，
1 1
所以 的面积 = 2 sin = 2 sin ，所以 = = 2，
2 2 4 16
因为在 中，sin sin = sin2 ，即sin sin = 3 = 3
4
3
所以 sin sin = 8，
1
又 中，cos = cos( + ) = sin sin cos cos = 2
所以 cos cos = sin sin 1 3 1 12 = 8 2 = 8．
( )由(1)及( )知 = π3， = ，
在 π中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos 2 23 = +
所以 2 + 2 = 2 + = 2 2 + ·
因为 2 + 2 ≥ 2 ，所以 2 2 + ≥ 2 ，解得 ≥ 1，当且仅当 = = 1 时，等号成立．
= 1 sin ≥ 1所 2 2 × 1 ×
3 3
2 = 4
即 3面积的最小值为 4 ．
19.解：(1)因为 = ， 为 的中点，所以 ⊥ ，
因为平面 1 ⊥平面 ，平面 1 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 1 ，
因为三棱柱 1 1 1中， // 1 1，所以 1 1 ⊥平面 1 ，
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又 1 平面 1 ，所以 1 1 ⊥ 1 ，即 1 1是直角三角形．
(2)( )如图，由 //平面 ，得 //平面 1 1 1，
因为 平面 1 1，平面 1 1 ∩平面 1 1 1 = 1 1，
所以 // 1 1，
1又 为 1 1的中点， // 1 1，所以 1 1 1 = = = 2．
由(1)知 ⊥平面 1 ，因为 1 平面 1 ，
所以 ⊥ 1 ，所以∠ 1 为二面角 1 的平面角，
又 1 = ， = , ∠ = ∠ 1 = 90°，所以 ≌ 1 ，
所以 1 = ，
又 1 中， ⊥ ，
1 1 2 1 sin∠ = 1
1 1
所以 1 1
= = ，所以 sin∠ =
2 2
1 2
因为∠ 1 是锐角，所以∠ 1 =
π
6，
所以∠ = π1 2 +
π 2π
6 = 3 ，得 sin∠ 1 =
3
2
3
即侧面 1 1与底面 所成二面角的正弦值为 2 ；
( ) // 2 10因为 1 1， 为 的中点，点 1到平面 1 1的距离为 5
所以点 到平面 1 1的距离
1 10
为点 1到平面 1 1距离的2，即 = 5 ．
由(1)及( )知， ⊥平面 1 ， 1 = ，∠ =
2π
1 3， 1 = 3 ，
因为 2三棱锥 = 1 三棱锥 ，且 1 = = = 2， = 4 ，1
1 × 1 sin 2π 4 2 = 1 × 1 × 3 4 3所以 23 2 3 3 2 4 ×
10
5
即 4 2 = 16 3 2 × 105 ，平方整理得 5
4 26 2 + 32 = 0，
解得 2 = 16 25，或 = 2，所以 =
4 5
5 ，或 = 2．
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因为 三棱柱 = 6 三棱锥 = 6 三棱锥 = 6 ×
1 × 13 2 × 3 4
3 2
4 ×
10
1 1 1 1 1 5
= 4 5 4 5 3 16 10 16 15所以 5 时， 三棱锥 1 1 = 3 × × 4 × ×1 5 4 5 5 = 25 ；
= 2时， 三棱锥 = 3 × 2 × 4
3
4 × 2 ×
10
5 = 61 1 1
16 15
即三棱柱 1 1 1的体积为 25 或 6．
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