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4.3.1　对数的概念
一、选择题
1．若m2 025＝n(m>0，且m≠1)，则(　　)
A．logmn＝2 025 　 B．lognm＝2 025
C．log2 025m＝n 　 D．log2 025n＝m
2．log3＝(　　)
A．4 　 B．－4
C． 　 D．－
3．设＝25，则x的值等于(　　)
A．10 　 B．13
C．100 　 D．±100
4．已知log5[log3(log2x)]＝0，则等于(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
5．(多选)下列式子中正确的是(　　)
A．lg (lg 10)＝0　
B．＝80
C．若10＝lg x，则x＝10
D．若log25x＝，则x＝±5
6．已知f (2x)＝x，则f (3)＝(　　)
A．8 　 B．9
C．log23 　 D．log32
7．若9a＝5，log34＝b，则32a＋b＝(　　)
A．10 　 B．20
C．50 　 D．100
8．(2025·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　)
A．1.5 　 B．1.2
C．0.8 　 D．0.6
二、填空题
9．若a＝log23，则2a＋2－a＝________．
10．log33＋＝________．
11．在对数式log(x－1)(3－x)中，实数x的取值范围是________．
12．计算＝________．
三、解答题
13．已知(3x2＋2x－1)＝1，求x的值．
14．求下列各式的值：
(1)；(2)；(3)．
15．对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数．在实数轴(箭头向右)上[x]是在点x左侧的第一个整数点，当x是整数时[x]就是x．函数y＝[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有着广泛的应用．求[lg 1]＋[lg 2]＋[lg 3]＋…＋[lg 10]＋[lg 11]＋[lg 12]＋…＋[lg 2 025]的值．
答案解析
1．A　[∵m2 025＝n(m>0，且m≠1)，∴logmn＝2 025．故选A．]
2．B　[因为3-4＝，所以log3＝－4．故选B．]
3．B　[由＝25，得2x－1＝25，所以x＝13．故选B．]
4．C　[∵log5[log3(log2x)]＝0，∴log3(log2x)＝1，
∴log2x＝3，∴x＝23＝8，
∴．故选C．]
5．AB　[因为lg 10＝1，所以lg(lg 10)＝lg 1＝0，故A正确；
因为＝16×5＝80，故B正确；
若10＝lg x，则x＝1010，故C错误；
若log25x＝，则x＝2＝5，故D错误．
故选AB．]
6．C　[令2x＝3，可得x＝log23，则f(3)＝log23．故选C．]
7．B　[因为9a＝32a＝5，log34＝b，可得3b＝4，所以32a+b＝32a×3b＝5×4＝20．故选B．]
8．C　[由题意知，4.9＝5＋lg V lg V＝－0.1 V＝1≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8．故选C．]
9．　[∵a＝log23，∴2a＝＝3，
∴2a＋2-a＝2a＋．]
10．3　[log33＋＝1＋2＝3．]
11．(1，2)∪(2，3)　[由对数式log(x-1)(3－x)可知：
解得112．25　[＝25．]
13．解：由题意得3x2＋2x－1＝2x2－1，解得x＝0或x＝－2，
当x＝0时，2x2－1＝－1，不合要求，舍去；
当x＝－2时，2x2－1＝7，3x2＋2x－1＝7，满足要求．
综上，x＝－2．
14．解：(1)＝4．
(2)∵＝4，∴．
(3)∵＝2，∴＝25×2＝50．
15．解：根据定义，[lg 1]＝[lg 2]＝[lg 3]＝…＝[lg 9]＝0；
[lg 10]＝[lg 11]＝[lg 12]＝…＝[lg 99]＝1；
[lg 100]＝[lg 101]＝[lg 102]＝…＝[lg 999]＝2；
[lg 1 000]＝[lg 1 001]＝[lg 1 002]＝…＝[lg 2 025]＝3．
所以[lg 1]＋[lg 2]＋[lg 3]＋…＋[lg 10]＋[lg 11]＋[lg 12]＋…＋[lg 2 025]＝1×(99－9)＋2×(999－99)＋3×(2 025－999)＝90＋2×900＋3×1 026＝4 968．
[点评]　新定义问题一是需明确[x]的定义，二是把握[lg n]，n∈N*的数值变化．
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