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3.1.3.1函数的奇偶性
一、选择题
1．已知f (x)是奇函数，且f (a)＝－2，则f (－a)＝(　　)
A．－2 B．2　　　
C．±2 D．0
2．下面为偶函数的是(　　)
A．f (x)＝x2(x≥0)
B．f (x)＝(x－1)
C．f (x)＝0
D．f (x)＝|x|(x≤0)
3．设f (x)＝－x3－(a－2)x2＋x是定义在[2b，b＋3]上的奇函数，则f (a＋b)＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．－2
4．下列函数为奇函数的是(　　)
A．f (x)＝－|x| B．f (x)＝2－x
C．f (x)＝ D．f (x)＝－x2＋8
5．已知f (x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f (x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f (1)＋g(1)＝(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
6．已知f (x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f (－3)＝5，则f (3)＝(　　)
A．21 B．－21
C．26 D．－26
7．(多选)勒热纳狄利克雷是德国著名的数学家，曾受业于高斯，他是解析数论的奠基者，也是现代函数概念的提出者，在数学、物理等诸多领域成就显著．以他名字命名的狄利克雷函数的解析式为D(x)＝下面关于函数D(x)的论断中不正确的是(　　)
A．函数D(x)是奇函数
B．函数D(D(x))是偶函数
C． x，y∈R，D(x＋y)＝D(x)＋D(y)
D． x∈R，D(D(x))＝0
二、填空题
8．若函数f (x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是_______．
9．设f (x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f (x)＝x2＋1，则f (－2)＋f (0)＝________．
10．如果定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数f (x)在(0，＋∞)内是减函数，又有f (3)＝0，则xf (x)<0的解集为________．
11．已知定义在非零实数上的奇函数f (x)，满足f (x)＋2f＝3x，则f (1)等于________．
12．已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f (x)＝2x－c，则c＝________，f (－2)＝________．
三、解答题
13．已知函数f (x)＝x2－2|x|－3．
(1)求证：函数f (x)是偶函数；
(2)画出函数f (x)的图象，并由图象直接写出函数f (x)的值域．
14．已知函数f (x)＝x2＋|x－a|＋1，x∈R，a为实数，判断f (x)的奇偶性．
15．已知函数y＝f (x)，x∈R，且当x≥0时，f (x)＝2x3＋2x－1．
(1)若函数y＝f (x)是偶函数，求f (－2)．
(2)y＝f (x)是否可能是奇函数？若可能，求f (x)的表达式；若不可能，说明理由．
答案解析
1．B　[f (－a)＝－f (a)＝2．]
2．C　[对于选项A、D，其定义域不关于原点对称，故其为非奇非偶函数；
又选项B中f (－1)＝0，而f (1)无意义，故选项B也是非奇非偶函数；
对于选项C，无论x取何值都满足f (－x)＝f (x)＝0．]
3．B　[因为f (x)＝－x3－(a－2)x2＋x是定义在[2b，b＋3]上的奇函数，
所以解得
所以f (x)＝－x3＋x，a＋b＝1，
则f (a＋b)＝f (1)＝－1＋1＝0．故选B．]
4．C　[A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数．故选C．]
5．C　[∵f (x)－g(x)＝x3＋x2＋1，
∴f (－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1．
又f (x)为偶函数，g(x)为奇函数，
∴f (x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，
∴f (1)＋g(1)＝1．]
6．B　[设g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(x)为奇函数，由题设可得f (－3)＝g(－3)－8＝5，求得g(－3)＝13．又g(x)为奇函数，
所以g(3)＝－g(－3)＝－13，
于是f (3)＝g(3)－8＝－13－8＝－21．故选B．]
7．ACD　[A：函数D(x)的定义域为R，关于原点对称，若x为有理数，则－x也为有理数，有D(x)＝D(－x)＝1；若x为无理数，则－x也为无理数，有D(x)＝D(－x)＝0，所以函数D(x)是R上的偶函数，故A错误；
B：当x为有理数时，D(x)＝1，则D(D(x))＝D(1)＝1；当x为无理数时，D(x)＝0，则D(D(x))＝D(0)＝1，所以当 x∈R，均有D(D(x))＝1，则函数D(D(x))为偶函数，故B正确；
C：当x＝y＝1时，D(x＋y)＝D(2)＝1，D(x)＝D(y)＝D(1)＝1，D(x)＋D(y)＝2，则D(x＋y)≠D(x)＋D(y)，故C错误；
D：由选项B的分析可知，当 x∈R，均有D(D(x))＝1，故D错误．故选ACD．]
8．2　[∵f (x)为偶函数，故m－2＝0，
∴m＝2．]
9．－5　[由题意知f (－2)＝－f (2)＝－(22＋1)＝－5，f (0)＝0，
∴f (－2)＋f (0)＝－5．]
10．{x|x<－3或x>3}　[如图，由题意可画出函数f (x)的函数图象．
当x>0，f (x)<0时，x>3；
当x<0，f (x)>0时，x<－3．
综上，x>3或x<－3．]
11．－3　[因为f (x)＋2f＝3x，
所以f (1)＋2f (－1)＝3，
因为f (x)为定义在非零实数上的奇函数，
所以－f (1)＝f (－1)，
即f (1)－2f (1)＝3，
所以f (1)＝－3．]
12．1　－3　[函数f (x)是定义在R上的奇函数，
且x≥0时，f (x)＝2x－c，
所以f (0)＝1－c＝0，所以c＝1，又当x≥0时，f (x)＝2x－1，所以f (2)＝3，又由函数f (x)为奇函数，则f (－2)＝－f (2)＝－3．]
13．解：　(1)证明：因为f (x)＝x2－2|x|－3，
所以f (－x)＝(－x)2－2|－x|－3＝x2－2|x|－3＝f (x)，
所以f (－x)＝f (x)，
所以f (x)是偶函数．
(2)f (x)的图象如下：
所以f (x)的值域为[－4，＋∞)．
14．解：　当a＝0时，f (x)＝x2＋|x|＋1，
此时f (－x)＝(－x)2＋|－x|＋1＝x2＋|x|＋1＝f (x)，故函数f (x)为偶函数．
当a≠0时，因为f (a)＝a2＋1，f (－a)＝a2＋2|a|＋1，
显然，f (－a)≠±f (a)，所以此函数既不是奇函数也不是偶函数．
综上，当a＝0时，f (x)为偶函数；当a≠0时，f (x)既不是奇函数也不是偶函数．
15．解：　(1)若y＝f (x)是偶函数，
应有f (－2)＝f (2)．而f (2)＝2×23＋22－1＝19，
因此f (－2)＝19．
(2)若y＝f (x)是奇函数，当x<0时，应有
f (x)＝－f (－x)＝－[2(－x)3＋2－x－1]＝2x3－2－x＋1．
此外，当x＝0时，
f (x)＝2×03＋20－1＝0＝－f (－x)．
因此，y＝f (x)可能是奇函数，此时
f (x)＝
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