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素养提升课三　动力学中的图像、连接体和临界问题
　　　　
第四章　牛顿运动定律
1．综合应用牛顿第二定律、运动学规律，结合F-t图像、F-a图像、v-t图像、a-t图像等信息解决动力学问题。
2．进一步理解应用整体法和隔离法分析动力学的连接体问题。
3．掌握动力学临界问题的分析方法，会分析几种典型临界问题的临界条件。
素养目标
提升点一　动力学中的图像问题
1．动力学图像
2．图像问题的分析方法
(1)把图像与具体的题意、情景结合起来，明确图像的物理意义，明确图像所反映的物理过程。
(2)特别注意图像中的一些特殊点，如图线与横、纵轴的交点，图线的转折点，两图线的交点等所表示的物理意义。注意图线的斜率、图线与坐标轴所围图形面积的物理意义。
图像 题型
v-t图像 已知物体的运动图像，求解物体的受力情况 运动图像关联受力图像，对物体的受力情况、运动情况进行综合考察，如例1
a-t图像
F-t图像 已知物体的受力图像，求解物体的运动情况
F-a图像
粗糙的水平地面上的一物体在水平拉力作用下做直线运动，水平拉力F及运动速度v随时间变化的图像分别如图甲和图乙所示。重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)前2 s内物体运动的加速度大小和位移大小；
答案：2 m/s2　4 m
例1
由v-t图像可知，物体在前2 s内做匀加速直线运动，前2 s内物体运动的加速度为
前2 s内物体运动的位移为x＝ at2＝4 m。
(2)物体的质量m及物体与地面间的动摩擦因数μ。
答案：5 kg　0.1
物体受力如图所示。对于前2 s，由牛顿第二定律得
F－f＝ma，f＝μmg
2 s后物体做匀速直线运动，由平衡条件得F′＝f
由F-t图像知F＝15 N，F′＝5 N
代入数据解得m＝5 kg，μ＝0.1。
针对练1．(多选)一个物体在光滑水平面上做匀速直线运动。t＝0时，开始对物体施加一外力F，力F的方向与速度方向相同，大小随时间变化的关系如图所示，则物体在0～t0时间内
A．物体的加速度a逐渐减小，速度v逐渐减小
B．物体的加速度a逐渐减小，速度v逐渐增大
C．t0时刻物体的加速度a＝0，速度v最大
D．t0时刻物体的加速度a＝0，速度v＝0
√
√
物体在0～t0时间内，F减小，则物体的合力逐渐减小，由牛顿第二定律可知，加速度逐渐减小，当F＝0时加速度减至0；因为加速度的方向与速度方向相同，则速度逐渐增大，当加速度a＝0时，速度v最大，故B、C正确，A、D错误。
针对练2．(2024·江苏省灌云高中期末)如图甲所示，一水平外力F作用在物体上，使物体静止在倾角为θ的光滑斜面上，逐渐增大F，物体做变加速运动，其加速度a随外力F变化的图像如图乙所示，取g＝10 m/s2。根据图乙判断下列说法不正确的是
A．物体的质量m＝2 kg
B．斜面的倾角θ＝37°
C．加速度为6 m/s2时物体的速度v＝18 m/s
D．物体静止在斜面上时，水平外力的大小为F＝15 N
√
由牛顿第二定律得F cos θ－mg sin θ＝ma，将a1＝2 m/s2，F1＝20 N，a2＝6 m/s2，F2＝30 N代入上式联立解得m＝2 kg, θ＝37°，故A、B正确；当a＝0时F cos θ－mg sin θ＝0，解得F＝15 N，故D正确；根据题意无法求出瞬时速度，故C错误。
针对练3．如图所示，轻弹簧的下端固定在水平桌面上，上端放有物块P，系统处于静止状态。现用一竖直向上的力F作用在P上，使其向上做匀加速直线运动。以x表示P离开静止位置的位移，在弹簧恢复原长前，下列表示F和x之间关系的图像可能正确的是
√
设物块P静止时，弹簧的压缩量为x0，则有kx0＝mg，在弹簧恢复原长前，物块受力如图所示，根据牛顿第二定律得F＋k(x0－x)－mg＝ma，整理得F＝kx＋ma，即F是x的一次函数，选项A正确。
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提升点二　动力学中的连接体问题
1．连接体
两个或两个以上相互作用的物体组成的具有相同运动状态的整体叫作连接体。如几个物体叠放在一起，或并排放在一起，或用绳子、细杆等连在一起，在求解连接体问题时常用的方法为整体法与隔离法。
2．整体法与隔离法的选择
(1)整体法的研究对象少、受力少、方程少，所以连接体问题优先采用整体法。
(2)涉及物体间相互作用的内力时，必须采用隔离法。
(3)若连接体内各物体具有相同的加速度且需要求解物体间的相互作用力，就可以先用整体法求出加速度，再用隔离法分析其中一个物体的受力，即“先整体求加速度，后隔离求内力”。
(4)若已知某个物体的受力情况，可先隔离该物体求出加速度，再以整体为研究对象求解外力。
(多选)如图所示，在粗糙的水平面上，质量分别为m和M的物块A、B用轻弹簧相连，两物块与水平面间的动摩擦因数均为μ，当用水平力F作用于B上且两物块共同向右以加速度a1匀加速运动时，弹簧的伸长量为x1；当用同样大小的恒力F沿着倾角为θ的光滑斜面方向作用于B上且两物块共同以加速度a2匀加速沿斜面向上运动时，弹簧的伸长量为x2，则下列说法中正确的是
A．若m>M，有x1＝x2 B．若mC．若μ>sin θ，有x1>x2 D．若μ例2
√
√
当两物块在水平面上滑动时，对整体，根据牛顿第二定律，有F－μ(m＋M)g＝(m＋M)a1，隔离物块A，根据牛顿第二定律，有F弹－μmg＝
ma1，联立解得F弹＝ ；当两物块在斜面上滑动时，对整体，根据
牛顿第二定律，有F－(m＋M)g sin θ＝(m＋M )a2，隔离物块A，根据牛
顿第二定律，有F弹′－mg sin θ＝ma2，联立解得F弹′＝ ，比较F弹
与F弹′可知，弹簧弹力相等，与动摩擦因数和斜面的倾角无关，故A、B正确，C、D错误。
“串接式”连接体中弹力的“分配协议”
如图所示，对于一起做加速运动的物体系统，m1和m2间的弹力F12或中间绳的拉力T的大小遵守以下力的“分配协议”：
(1)若外力F作用于m1上，则F12＝T＝ ；
(2)若外力F作用于m2上，则F12＝T＝ 。
针对练1．(多选)(2024·重庆市巫山期末)质量为2m的物体A和质量为m的物体B相互接触放在水平面上，如图所示。若对A施加水平推力F，使两物体沿水平方向做匀加速直线运动，下列说法正确的是
A．若水平面光滑，物体A的加速度为
B．若水平面光滑，物体A对B的作用力为 F
C．若物体A与地面无摩擦，B与地面的动摩擦因数为μ，则物体A对B的作
用力大小为
D．若物体A与地面无摩擦，B与地面的动摩擦因数为μ，则物体B的加速
度为
√
√
针对练2．如图所示，质量分别为M和m的物块由相同的材料制成，且M > m，将它们用一根跨过光滑的定滑轮的轻细线连接。如果按图甲放置在水平桌面上，两物块刚好做匀速运动。如果互换两物块位置按图乙放置在同一水平桌面上，它们的共同加速度大小为
√
按题图甲连接时，两物块做匀速运动，故T＝mg，T＝μMg，联立解得μ
＝ ；按题图乙连接时，对质量为M的物体，有Mg－T′＝Ma，对质量为
m的物体，有T′－μmg＝ma，联立解得a＝ g，故C正确。
针对练3．(多选)如图所示的装置叫作阿特伍德机。绳子两端的物体竖直运动的加速度大小总是小于自由落体的加速度g，这使得实验者可以有较长的时间从容地观测、研究。已知物体A、B的质量均为M，物体C的质量为m。轻绳与轻滑轮间的摩擦不计，轻绳不可伸长且足够长。物体A、B、C由图示位置静止释放后
A．绳子上的拉力大小T＝(M＋m)g
B．物体A的加速度a＝ g
C． 的取值小一些，便于观测和研究
D． 的取值大一些，便于观测和研究
√
√
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提升点三　动力学中的临界问题
1．临界问题：某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转折状态。
2．关键词语：在动力学问题中出现的“最大”“最小”“刚好”“恰能”等词语，一般都暗示了临界状态的出现，隐含了相应的临界条件。
3．临界条件
临界状态 临界条件
两物体接触或脱离 弹力N＝0
两物体由相对静止开始相对滑动 静摩擦力达到最大值
绳子断裂 张力等于绳子所能承受的最大张力
绳子松弛 张力T＝0
加速度最大或最小 所受合力最大时，具有最大加速度；所受合力最小时，具有最小加速度
速度最大或最小 加速度为0
如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m、2m的物块A和木板B，A、B间的最大静摩擦力为μmg，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现用水平拉力F拉B，使A、B以同一加速度运动。求拉力F的最大值。
解题指导：(1)A、B一起加速运动的条件是A、B之间的摩擦力小于等于最大静摩擦力。
(2)利用先隔离后整体的方法求拉力F。
答案：3μmg
例3
A、B两物体恰好未发生相对滑动时，由牛顿第二定律，对A有μmg＝ma，对A、B系统有F＝(m＋2m)a，解得F＝3μmg。
变式拓展1．在【例3】中，若拉力F作用在A上，如图所示。求拉力F的最大值。
答案：1.5μmg
A、B两物体恰好未发生相对滑动时，由牛顿第二定律，对B有μmg＝2ma，对A、B系统有F＝(m＋2m)a，解得F＝1.5μmg。
变式拓展2．在【例3】中，在拉力F作用在A上的基础上，再改为：B与水
平面间的动摩擦因数为 μ(认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，使A、B以
同一加速度运动。求拉力F的最大值。
答案： μmg
A、B两物体恰好未发生相对滑动时，由牛顿第二定律，对B有μmg－
μ(m＋2m)g＝2ma
对A、B系统有F－ μ(m＋2m)g＝(m＋2m)a
解得F＝ μmg。
解决临界、极值问题常用的分析方法
极限法 把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的
假设法 临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题
数学法 将物理过程转化为数学表达式，根据数学表达式解出临界条件
针对练．如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上端固定一劲度系数为k的轻弹簧，弹簧下端连有一质量为m的小球，小球被一垂直于斜面的挡板A挡住，此时弹簧没有形变。若手持挡板A以加速度a(a(1)从挡板开始运动到小球与挡板分离所经历的时间；
当小球与挡板分离时，挡板对小球的作用力恰好为零，对小球，由牛顿第二定律得
mg sin θ－kx＝ma
(2)从挡板开始运动到小球的速度达到最大，小球经过的最小路程。
答案：
小球的速度达到最大时，其加速度为零，则有kx′＝mg sin θ
故从挡板开始运动到小球的速度达到最大，小球经过的最小路程为x′＝
。
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随堂演练
1．(2023·北京高考)如图所示，在光滑水平地面上，两相同物块用细线相连，两物块质量均为1 kg，细线能承受的最大拉力为2 N。若在水平拉力F作用下，两物块一起向右做匀加速直线运动。则F的最大值为
A．1 N B．2 N
C．4 N D．5 N
√
设每个物块的质量为m，细线上的张力大小为T，对两个物块组成的整体，由牛顿第二定律有F＝(m＋m)a，对左侧物块，由牛顿第二定律有T＝ma，又有T≤2 N，联立各式解得F≤4 N，即F的最大值为4 N，故选C。
2．(多选)如图甲所示，一物块在t＝0时刻滑上一固定斜面，其运动的v-t图线如图乙所示。若重力加速度及图中的v0、v1、t1均为已知量，则可求出
A．斜面的倾角
B．物块的质量
C．物块与斜面间的动摩擦因数
D．物块沿斜面向上滑行的最大高度
√
√
√
由题图乙可得上滑时加速度的大小为a1＝ ，下滑时加速度的大小为a2＝
，由牛顿第二定律，上滑时有mg sin θ＋μmg cos θ＝ma1，下滑时有
mg sin θ－μmg cos θ＝ma2，故可联立求得斜面倾角及物块与斜面间的动摩擦因数，无法计算物块的质量；又由题图可求得上滑最大位移为x＝ v0t1，故可根据斜面倾角求得物块沿斜面向上滑行的最大高度，故
选A、C、D。
3．(多选)如图所示，在光滑的水平面上有A、B两木块，质量分别为m和2m，中间用原长为l0、劲度系数为k的水平轻质弹簧连接，现用一水平恒力F向右拉木块B，当两木块一起向右做匀加速直线运动时
A．两木块的加速度a的大小为
B．弹簧的形变量为
C．两木块之间弹簧的弹力的大小为F
D．A、B两木块之间的距离为l0＋
√
√
4．如图所示，质量为4 kg的小球用轻质细绳拴着吊在行驶的汽车后壁上，细绳的延长线通过小球的球心O，且与竖直方向的夹角为θ＝37°，已知g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，
(1)求汽车匀速运动时，细绳对小球的拉力大小和车后壁对小球的弹力大小；
答案：50 N　30 N
对小球受力分析如图所示，将细绳拉力T分解，有Ty＝T cos θ，Tx＝ T sin θ，
由平衡条件可得Ty＝mg，Tx＝N，解得细绳拉力T＝ ＝50 N，车后壁对小球的弹力N＝mg tan θ＝30 N。
(2)若要始终保持θ＝37°，则汽车刹车时的加速度最大不能超过多少？
答案：7.5 m/s2
设汽车刹车时的最大加速度为a，此时车后壁对小球弹力N′＝0，
由牛顿第二定律有Tx＝ma，即mg tan θ＝ma
解得a＝7.5 m/s2，即汽车刹车时的加速度最大不能超过7.5 m/s2。
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课 时 测 评
1．(2022·江苏高考)高铁车厢里的水平桌面上放置一本书，书与桌面间的动摩擦因数为0.4，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝ 10 m/s2。若书不滑动，则高铁的最大加速度不能超过
A．2.0 m/s2 B．4.0 m/s2
C．6.0 m/s2 D．8.0 m/s2
√
书放在水平桌面上，若书相对于桌面不滑动，静摩擦力随外力的增大而增大，当静摩擦力达到最大值时，此时书刚要滑动，最大静摩擦力提供加速度，此时高铁的加速度最大，根据牛顿第二定律得fm＝μmg＝mam，解得am＝μg＝4.0 m/s2，选项B正确，A、C、D错误。
2．(多选)如图甲所示，物体在水平恒力F作用下沿粗糙水平地面由静止开始运动，在t＝1 s时刻撤去恒力F。物体运动的v-t图像如图乙所示。重力加速度g取10 m/s2，则
A．物体在3 s内的位移大小为6 m
B．恒力F与摩擦力f的大小之比为F∶f＝2∶1
C．物体与地面的动摩擦因数为μ＝0.2
D．在撤去F前、后两个阶段的平均速度大小之比为 ＝1∶1
√
√
√
在v-t图像中图线与时间轴所围成的面积等于位移的大小，则3 s内物体
的位移大小为 ×3×4 m＝6 m，选项A正确；撤去力F后，物体受摩擦力作用而做减速运动，由题图乙知，加速度大小为2 m/s2，而μmg＝ma2，解得μ＝0.2，选项C正确；根据牛顿第二定律可得F－f＝ma1，f＝ma2，又由题图乙可知a1＝4 m/s2，a2 ＝2 m/s2，联立解得F∶f＝3∶1，选项B错误；匀变速直线运动的平均速度等于初、末速度和的一半，故撤去F前、后两个阶段的平均速度相同，选项D正确。
3．如图甲所示，物体原来静止在水平面上，用一水平力F拉物体，在F从0开始逐渐增大的过程中，物体先静止后又做变加速运动，其加速度随外力F变化的图像如图乙所示，根据图乙中所标出的数据可计算出(g＝10 m/s2)
A．物体的质量为1 kg
B．物体的质量为2 kg
C．物体与水平面间的动摩擦因数为0.2
D．物体与水平面间的动摩擦因数为0.5
√
由题图乙可知F1＝7 N时，a1＝0.5 m/s2，F2 ＝14 N时，a2＝4 m/s2，由牛顿第二定律得F1－μmg＝ma1，F2－μmg＝ma2，解得m＝2 kg，μ＝0.3，故选项B正确。
4．如图所示，弹簧的一端固定在天花板上，另一端连一质量m＝2 kg的秤盘，盘内放一个质量M＝1 kg的物体，秤盘在竖直向下的拉力F作用下保持静止，F＝30 N，在突然撤去外力F的瞬间，物体对秤盘的压力为(g＝ 10 m/s2)
A．10 N
B．15 N
C．20 N
D．40 N
√
在突然撤去外力F的瞬间，物体和秤盘所受向上的合外力为30 N，由牛
顿第二定律可知，向上的加速度为a＝ ＝10 m/s2；根据题意，秤
盘在竖直向下的拉力F作用下保持静止，故弹簧对秤盘向上的拉力为F弹＝(M＋m)g＋F＝60 N，突然撤去外力F的瞬间，对秤盘，由牛顿第二定律得F弹－mg－N＝ma，解得N＝20 N，选项C正确。
5．(多选)如图所示，材料相同，质量分别为M和m的两物体A和B靠在一起放在水平面上。用水平推力F向右推A使两物体一起向右加速运动时(图甲)，A和B之间的作用力为F1，加速度为a1。用同样大小的水平推力F向左推B加速运动时(图乙)，A和B之间的作用力为F2，加速度为a2。则
A．F1∶F2 ＝1∶1 B．F1∶F2＝m∶M
C．a1∶a2＝M∶m D．a1∶a2＝1∶1
√
√
6．(2024·江苏省苏州中学月考)如图甲所示，为了生存小鸟像炮弹或标枪一样一头扎入水中捕鱼，假设小鸟的俯冲是自由落体运动，进入水中后是匀减速直线运动，其v-t图像如图乙所示，自由落体运动的时间为t1，整个
过程的运动时间为 t1，最大速度为vm＝18 m/s，重力加速度g取10 m/s2，
下列说法正确的是
A．t1＝1.6 s
B．整个过程下落的高度为32.4 m
C．t1～ t1时间内v-t图像的斜率为－15 m/s2
D．t1～ t1时间内阻力是重力的1.5倍
√
7．(2024·广东汕头期末)如图所示，物体沿斜面由静止滑下，在水平面上滑行一段距离后停止，物体与斜面及水平面间的动摩擦因数相同，斜面与水平面平滑连接。下列图中v、a、f和x分别表示物体速度大小、加速度大小、摩擦力大小和位移大小。其中正确的是
√
物体在斜面及水平面上受到恒力作用，做匀变速直线运动，速度均变化，但加速度均不变，A、B错误；在斜面上物体做匀加速直线运动，x-t图像斜率应增大，C错误；物体对斜面的压力小于对水平面的压力，则在斜面上受到的滑动摩擦力小于在水平面上受到的滑动摩擦力，且每个面上物体所受摩擦力均为恒力，D正确。
8．质量为m的球置于斜面体上，被一个竖直挡板挡住。现用一个力F拉斜面体，使斜面体在水平面上向右做加速度为a的匀加速直线运动，忽略一切摩擦，以下说法正确的是
A．若加速度增大，竖直挡板对球的弹力不变
B．若加速度足够大，斜面体对球的弹力可能为零
C．斜面体和挡板对球的弹力等于ma
D．无论加速度大小如何，斜面体对球一定有弹力的作用，而且该弹力是一个定值
√
以小球为研究对象进行受力分析，如图所示，小球受重力mg、竖直挡板对球的弹力F2和斜面体的弹力F1。设斜面体的加速度大小为a，根据牛顿第二定律，竖直方向有F1cos θ＝mg①，水平方向有F2－F1sin θ＝ma②。由①看出，斜面体的弹力F1大小不变，与加速度无关，不可能为零。由②看出，F2＝F1sin θ＋ma，若加速度增大时，F2增大，故A、B错误，D正确；根据牛顿第二定律可知，重力、斜面体和挡板对球的弹力三个力的合力等于ma，故C错误。
9．质量为M的光滑圆槽放在光滑水平面上，一水平恒力F作用在其上促使质量为m的小球静止在圆槽上，如图所示，则
A．小球对圆槽的压力为
B．小球对圆槽的压力为
C．水平恒力F变大后，如果小球仍静止在圆槽上，小球对圆槽的压力增加
D．水平恒力F变大后，如果小球仍静止在圆槽上，小球对圆槽的压力减小
√
10．如图所示，带有固定挡板P和定滑轮的木板垫高后与水平面夹角为θ＝30°，质量为m的物块A与挡板P之间有一轻质弹簧(弹簧与P、A不连接)，细线跨过定滑轮，一端连接着质量为2m的B，另一端连接着轻质挂钩(细线在滑轮左侧部分与木板平行、右侧部分竖直)，A、B处于静止状态。现将钩码C挂于挂钩上，静止释放后，发现C的速度最大时，A、B恰好分离。已知木板足够长，所有摩擦不计，弹簧劲度系数为k，重力加速度为g，则下列说法正确的是
A．C质量大小为 m
B．C轻挂于挂钩瞬间，A、B间挤压力变为原来的一半
C．细绳张力最大值为mg
D．只要C的质量足够大，就可以在C挂上去的同时A、B就分离
√
11．(8分)如图所示，A、B、C三个物体以轻质细绳1、2相连，mA＝2 kg，mB＝3 kg，mC＝1 kg，A、C与水平桌面间的动摩擦因数μ＝0.25，不计绳2与滑轮间的摩擦，取g＝10 m/s2，求：
(1)系统的加速度大小；
答案：3.75 m/s2
(2)绳1和绳2中的张力大小。
答案：6.25 N　18.75 N
设系统的加速度大小为a，绳1的张力大小为F1，绳2的张力大小为F2。
对C，由牛顿第二定律得
F1－μmCg＝mCa
对A、C整体，由牛顿第二定律得
F2－μ(mA＋mC)g＝(mA＋mC)a
对B，由牛顿第二定律得
mBg－F2＝mBa
解得a＝3.75 m/s2，F1＝6.25 N，F2 ＝18.75 N。
12．(10分)如图所示，矩形盒内用两根细线固定一个质量为m＝1.0 kg的均匀小球，a线与水平方向成53°角，b线水平。两根细线所能承受的最大拉力都是Fm＝15 N。(cos 53°＝0.6，sin 53°＝0.8，g取10 m/s2)求：
(1)当该系统沿竖直方向匀加速上升时，为保证细线不被拉断，加速度可取的最大值；
答案：2 m/s2
竖直向上匀加速运动时小球受力如图所示，当a线拉力为15 N时，竖直方向由牛顿第二定律有Fmsin 53°－mg＝ma
水平方向有Fmcos 53°＝Fb
解得Fb＝9 N，此时加速度有最大值且为a＝2 m/s2。
(2)当该系统沿水平方向向右匀加速运动时，为保证细线不被拉断，加速度可取的最大值。
答案：7.5 m/s2
水平向右匀加速运动时，
竖直方向有Fasin 53°＝mg
水平方向由牛顿第二定律有Fb－Facos 53°＝ma
解得Fa＝12.5 N
当Fb＝15 N时，加速度有最大值且为a＝7.5 m/s2。
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