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北师大版2025年八年级上册第1章《勾股定理》单元培优卷
满分120分 时间100分钟
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（共30分）
1．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．3， 4， 5 B．4， 5， 6 C．7， 8， 9 D．8， 9， 10
2．如图，分别以直角三角形的三边向外作正方形A，B，C，若正方形B，C的面积分别为5，11，则正方形A的面积是（ ）
A．6 B．12 C．16 D．22
3．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
4．在中，斜边，则的值为（ ）
A．12 B．22 C．32 D．无法计算
5．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形的顶点均在格点上，则四边形的边长为整数的边是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
6．如图，要在门上方的墙上点处装一个由传感器控制的灯，点离地面，任何东西只要移至该灯及内范围，灯就自动发光．已知小军身高，若他走到处灯刚好发光，则他离墙的水平距离是（ ）
A． B． C． D．2m
7．如图，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（ ）
A． B． C． D．
8．观察下图等式：若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如：3，4，5）．现有一个直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数，则这个直角三角形的面积为（ ）
A．245 B．259 C．336 D．350
9．如图，在网格中，点，，都是网格线的交点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽图案，它近似的可以看成是由一串有公共顶点O的直角三角形演化而成的．若图2中的，按此规律继续演化，则的长为（ ）
A． B．3 C．5 D．
二、填空题（共20分）
11．在中，的对边分别为a，b，c，且满足，则 ．
12．如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕．则线段的长为 ．
13．如图，在中，，，，角平分线与相交于点O，则点O到斜边的距离为 ．
14．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2025代勾股树中所有正方形的面积为 ．
15．如图，在中，是角平分线，分别是边上的动点，则的最小值是 ．
三、解答题（共70分）
16．（8分）如图，四边形中，，，求四边形的面积．
17．（8分）如图，在中，，，，点P在射线上．
(1)______，边上的高______；
(2)当为直角三角形时，求的长．
18．（8分）正佳广场作为广州市的核心文商旅综合体地标，节假日日均客流量逾40万人次．如图为该商场某一段扶梯的示意图，已知扶梯的高度米，水平宽度米．扶梯运行速度为米/秒．若顾客站立于自动扶梯上（不主动行走），从底端点A随扶梯自动运行至顶端点B，需要多长时间？
19．（8分）定义：为正整数，若，则称为“完美勾股数”，为的“伴侣勾股数”．如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”．
(1)判断填空：数__________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；
(2)已知的三边满足．求证：是“完美勾股数”．
20．（9分）如图，在一条东西走向的省级干线公路l的一侧有一村庄P，由P原有两条笔直小路与l相连接，其中，由于某种原因，由P到A的路已经不通，现今该村的乡村产业振兴小组为方便村民运输农产品与出行，争取上级支持新建了一条公路（A，C，B在同一条直线上），测得千米，千米，千米．
(1)问是否为从村庄P到公路l的最近路线？请通过计算加以说明：
(2)求原来的路线的长．
21．（9分）【追本溯源】：人教版八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦-秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．
【方法应用】：如图，在中，，，．
(1)请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积；
(2)除了利用“海伦-秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法．
22．（10分）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），由此推导出直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．

(1)如图②，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理．
(2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求原路长多少千米？
23．（10分）探究与理解
【思考探究】学习了勾股定理之后，小林同学对勾股定理的数学表达公式（其中a，b为直角三角形的两条直角边，c为直角三角形的斜边）与乘法公式进行了“联合”探究．
【理解分析】小林这样认为：如果乘法公式中的a，b表示直角三角形的两条直角边的边长，那么根据以上两个公式可以得出另外的等式：，在这个等式里，可以将，，分别看成三个量，由此，只要知道其中任意两个量就可以求出第三个量．
【解决问题】
(1)在一直角三角形中：
①已知两条直角边长的和为7，积为12，求斜边的长；
②已知两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60，求该直角三角形的周长；
(2)如图，在四边形中，已知，，，求的面积．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B C B B C C B B
1．A
【分析】此题主要考查了勾股数．关键是掌握勾股数的定义：满足的三个正整数a，b，c称为勾股数．
根据“勾股数”的定义，逐项判断，即可求解．
【详解】解：A. 由于，故是勾股数；
B.由于，故不是勾股数；
C.由于，故不是勾股数；
D.由于，故不是勾股数；
故选：A．
2．C
【分析】本题考查了勾股定理以及正方形的面积，由正方形的面积得，，再由勾股定理得，即可得出结论，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵正方形，的面积分别为，，
∴，，
∵，
∴，
∴正方形的面积．
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了勾股定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键．利用面积法证明勾股定理即可解决问题．
【详解】解：A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意．
B、不能证明勾股定理，本选项符合题意．
C、利用A中结论，本选项不符合题意．
D、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意，
故选：B．
4．C
【分析】本题考查了勾股定理．先由勾股定理求得，即可求得的值．
【详解】解：∵在中，斜边，
∴，
∴，
故选：C．
5．B
【分析】本题考查网格中求边长，勾股定理．根据网格图及勾股定理，即可解答．
【详解】解：由题意及图，得
，，，
∴四边形的边长为整数的边是和．
故选B．
6．B
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意作出图形，正确构造直角三角形、根据勾股定理计算即可．
【详解】解：当人走到点的位置，头顶与点距离是时，灯刚好自动发光，
作于，

则，
在中，，
答：身高的学生要走到离墙的地方灯刚好发光．
故选：B．
7．C
【分析】本题考查勾股定理的应用，构建直角三角形是解题的关键．
先构建直角三角形，再用勾股定理求解即可．
【详解】解：设高的那棵树用表示，低的那棵树用表示，过点C作于点E，连接，如图所示：
由题意得：米，米，米，，
∴米，
在中，由勾股定理得：（米）；
故选：C．
8．C
【分析】根据题目给出的勾股数结构，直角边为14时，可设另一条直角边为，斜边为，其中，解得，进而求出三边并计算面积，熟练掌握勾股定理是解题关键
【详解】解：根据题意得： ，其中为一条直角边，为另一条直角边，为斜边，
∵已知一条直角边为14，对应，解得，
∴另一条直角边：，
∴斜边：，
∴，
∴三角形为直角三角形，
∴，
故选：C
9．B
【分析】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟悉“利用勾股定理的逆定理判断直角三角形”是解题的关键．先利用勾股定理分别求解 ，，，再证明，，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接，
由勾股定理得：，，，
，，
，，
故选B．
10．B
【分析】本题考查勾股定理，图形类规律探究，分别求出的长，得到，即可得出结果．
【详解】解：由题意和勾股定理，得：，， ，
∴，
∴；
故选B．
11．/90度
【分析】先运用非负数性质求得a，b，c的值，再运用勾股定理的逆定理求得．此题考查了非负数的性质和勾股定理的逆定理的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行求解．
【详解】解：∵，
∴，
解得，
∴， ，
∴，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查的是折叠问题及勾股定理，由折叠性质可知，设，则，利用勾股定理可以求出最后结果．
【详解】解：为中点，
，
由折叠的性质可知：，
设，则，
在中，，
，
解得：，
故答案为：．
13．2
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，勾股定理，利用三角形的面积列出方程是解题的关键．利用勾股定理列式求出，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点O到三边的距离相等，设为h，再利用的面积列出方程求解即可．
【详解】解：，，，
，
角平分线与相交于点O，
点O到三边的距离相等，
设为h，则，
解得，
即点O到斜边的距离为.
故答案为：
14．2026
【分析】本题主要考查勾股定理，由题目条件和所画出来的图形正确找出规律是解题的关键．分别计算出第一，第二，第三代勾股树中所有正方形的面积，得出第代勾股树中所有正方形的面积为进行分析计算．
【详解】解：由题意可知，第一代勾股树中所有正方形的面积为；
第二代勾股树中所有正方形的面积为；
第三代勾股树中所有正方形的面积为……，
则第代勾股树中所有正方形的面积为，
∴第2025代勾股树中所有正方形的面积为．
故答案为：2026．
15．
【分析】本题考查三线合一，中垂线的性质，垂线段最短，连接，，作，三线合一，得到垂直平分，得到，进而得到，根据垂线段最短，得到当点与点重合时，的值最小为的长，等积法求出的长即可．
【详解】解：连接，，作，
∵是角平分线，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∴当三点共线时，的值最小为的长，
∵垂线段最短，
∴当点与点重合时，的值最小为的长，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为，
∴的最小值是；
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，连接，由勾股定理可得，再证明，得到，据此根据列式求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
17．(1)4；
(2)的长为4或
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理得出，再根据等面积法求出h；
分当时，当时，两种情况求解．
【详解】（1）解：∵
∴由勾股定理得，，
，
，
故答案为：4；；
（2）解：当时，此时点重合，
∴，
当时，如图：
设，则，
，
则根据勾股定理得，，
即，
解得，
即，
综上所述，的长为4或
18．16秒
【分析】在中，利用勾股定理，可求出的长，设需要x秒，利用路程速度时间，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【详解】解：在中，，米，米，
（米）．
设需要x秒，
根据题意得：，
解得：．
答：若顾客站立于自动扶梯上不主动行走，从底端点A随扶梯自动运行至顶端点B，需要16秒．
19．(1)是
(2)见解析
【分析】本题考查了勾股数，完全平方公式．
（1）根据“完美勾股数”的定义判断即可；
（2）根据完全平方公式求出的值，再根据“完美勾股数”的定义判断即可．
【详解】（1）解：∵，
∴数是“完美勾股数”
故答案为：是
（2）证明：
是“完美勾股数”
20．(1)是，理由见解析
(2)原来的路线PA的长为8.45千米
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，掌握定理内容并正确运用是关键；
（1）计算与的值，两者的值相等，则是直角三角形，则 PC是从村庄P到l的最近路；
（2）设，则；在中，利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）解：是；
理由是：在中，
，，
，
是直角三角形，
，
是从村庄P到l的最近路；
（2）解：设，则，
在中，，
，
解得：，
答：原来的路线PA的长为8.45千米．
21．(1)30
(2)有，见解析
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，代数式求值，勾股定理的逆定理．
（1）依据题意，直接代入海伦一秦九韶公式求解；
（2）依据题意，先利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，再用两直角边的积除以2求出面积即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴
∴，
∴的面积为30；
（2）解：由题意，∵，，，
∴，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴．
22．(1)见解析
(2)原路长6.5千米
【分析】本题主要考查勾股定理及等积法，熟练掌握勾股定理是解题的关键；
（1）根据梯形面积为或，则有等式，然后问题可求解；
（2）设千米，则千米，然后根据勾股定理可得方程，进而求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴梯形的面积为或，
∴，
∴，
即；
（2）解：设千米，则千米，
在中，，即，
解得，即，
答：原路长千米．
23．(1)①5；②；
(2)1．
【分析】本题考查了勾股定理的应用．
（1）①由题意可知，，根据计算即可；
②由题意得到，，可知，求出，再根据求出，即可求出直角三角形的周长；
（2）先证明、是直角三角形，再根据题干所给公式计算即可．
【详解】（1）①解：∵两条直角边长的和为7，积为12，
∴，，
∵，
∴，
解得：（负值舍去）；
②解：∵两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60，
∴，，
∴，
∴（负值舍去），
∵
∴，
解得：（负值舍去），
∴该直角三角形的周长；
（2）解：∵，
∴、是直角三角形，
∵，，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∴．
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