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2024-2025学年山东省青岛市高一下学期部分学生调研检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.在中，，为的中点，设，，则( )
A. B. C. D.
3.已知直线，与平面，，，下列说法正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，，则 D. 若，，则
4.有一组样本数据，，，，的平均数为，方差为，则，，，，，的方差为( )
A. B. C. D.
5.如图，用斜二测画法画出的水平放置的的直观图是，若的中点在轴上，且，则( )
A. B. C. D.
6.魏晋时刘徽撰写的海岛算经是有关测量的数学著作，其中第一道题目是测海岛的高如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆若，，，，则海岛的高为( )
A. B. C. D.
7.气象意义上进入春季的标志为“一年中第一次出现连续天的日平均气温均不低于摄氏度”现有甲、乙、丙、丁四地连续天的日平均温度的记录数据记录数据都是正整数：
甲地：个数据的中位数为，极差为； 乙地：个数据的平均数为，众数为；
丙地：个数据的平均数为，中位数为； 丁地：个数据的平均数为，方差小于．
则根据上面数据，肯定符合气象意义上进入春季的地区是( )
A. 甲地 B. 乙地 C. 丙地 D. 丁地
8.在集合中任取两个数，构成以原点为起点的向量从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个不共线向量为邻边作平行四边形，则平行四边形面积不超过的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数均不为，则( )
A. B.
C. D.
10.已知棱长为的正方体，，分别为，的中点，是侧面内的动点，则( )
A. 若，则
B. 若，则三棱锥的体积为定值
C. 若在三棱锥外接球面上，则点的轨迹长度为
D. 若在三棱锥外接球面上，则存在两点使和侧面所成角为
11.“费马点”指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点在中，当最大内角小于时，费马点满足；当最大内角不小于时，最大内角的顶点为费马点若，，，点为的费马点，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若事件，相互独立，，，则 ．
13.已知向量与的夹角为，，若，，则 ．
14.已知圆台的母线与下底面所成角为，球与圆台的上、下底面及侧面都相切，若圆台内可再放入与下底面、侧面及球都相切的小球，则最多可放入的小球的个数为 ．注：若锐角满足，则
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为弘扬传统文化，某校举办了传统文化知识竞赛现将竞赛得分在分满分：分的学生成绩进行统计与分组，得到如下图所示的频率分布直方图．
求的值，并估计统计数据的上四分位数；
据统计，本次竞赛在内得分的平均数为，方差为；在内得分的平均数为，方差为，求在内得分的平均数与方差．
16.本小题分
已知的内角，，的对边分别是，，，．
求角；
若，的面积为，求，．
17.本小题分
如图，在中，，，，，，分别为中点．
质点的初始位置在处，每次等可能在相邻点间沿图中连线移动求质点经过次移动后到达的概率；
将，，分别沿折起，使得点，，重合于点，质点的初始位置在处，每次移动到距离为，，的相邻点的概率分别为，，求质点经过次移动后回到的概率．
18.本小题分
为坐标原点，，均大于，复数，在复平面内对应的点分别为，，对应的向量分别为，，若把向量绕点按逆时针方向旋转角若，按顺时针方向旋转角，再把它的模变为原来的倍，得到向量，则对应的复数就是积．
若对应复数，绕点按逆时针方向旋转得到，求对应的复数；
若复数对应的点为，是等边三角形；
(ⅰ)求；
(ⅱ)若的顶点均在正方形边上，点，，的坐标依次为，，，求面积的最小值．
19.本小题分
如图，在平面五边形中，四边形是边长为的菱形，，，将沿翻折至，如图点在上

若为中点，证明：平面；
若，且四棱锥与三棱锥的体积相等证明：平面平面；
求二面角的余弦值的最小值．
参考答案
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15.解：由频率分布直方图的性质，知所有矩形的面积和为，
所以即，解得：
因为，
故四分位数区间一定在内
设四分位数为，则，解得：
的频率：
的频率：
因此，与的数量比为
设有个数据，有个数据，
已知内得分的平均数为，内得分的平均数为
则的平均数为
根据方差的性质得：

16.解：因为及正弦定理得，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以；
因为，所以，所以，
因为的面积为，
因为，所以，
由正弦定理得，所以，
所以，所以．

17.解：【质点经过次移动后到达只有两条路径，或，
由题意第一次运动到的概率都是，
若第二次如果是从出发，则终点可能是，
所以此时运动到点的概率为，
若第二次如果是从出发，则终点可能是，
所以此时运动到点的概率为，
故所求概率为；
如图所示，
质点经过次移动后回到的路径共有条，分别是：，，
这六条路径的共同特征是，都包含了边长为的线段各一条，
而每次移动到距离为，，的相邻点的概率分别为，，，
故所求概率为．

18.解：由题意得，
所以对应的复数为；
因为是等边三角形，所以不妨设，
所以；
如图所示，的顶点不可能是正方形的顶点，否则与是等边三角形矛盾，
不妨设，
所以，
由图可知，
等号成立当且仅当，即当且仅当，
所以面积为，当且仅当时，等号成立，
所以面积的最小值为．

19.解：连接相交于点，连接，
四边形为菱形，所以为中点，又为中点，
所以，又平面，平面，
所以平面．
因为，，
所以，即是靠近的三等分点，
则，又，，，
所以，，
则，即，，
又平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面．
延长交于，作交于，
过作交于，连接，设，
又，平面，
所以平面，平面，，
又，平面，
所以平面，即平面，又平面，所以，
又，平面，
所以平面，，
所以就是二面角的平面角，
在中，，所以，
，，
，
，
则，其中，
，解得，
所以
即二面角的余弦值的最小值．

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