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2024-2025学年江苏省南京市协同体十校高一下学期期中联合考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的值为( )
A. B. C. D.
2.在中，，，，则( )
A. B. C. D.
3.已知均为单位向量，若，则与夹角的大小等于( )
A. B. C. D.
4.在中，其内角，，的对边分别为，，，若，则的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
5.已知，则的值是( )
A. B. C. D.
6.若函数在，上的图象是连续的，且同时满足，，则( )
A. 在上有零点 B. 在上有零点
C. 在上无零点 D. 在上无零点
7.已知、是关于的方程的两根，且，则的值为( )
A. B. C. D.
8.在中，，为边上一点，且，则面积的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量和满足，，，下列说法中正确的有( )
A. B.
C. D. 与的夹角为
10.已知函数，最小正周期为，则下列结论正确的是( )
A. B. 是的一个对称轴
C. 的图象的最小值是 D. 点是的一个对称中心
11.如图，若的外接圆为，为的中点，则下列说法一定成立的是
A. 若的半径为定值，则为定值
B. 若、的长度为定值，则为定值
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.方程的一根在内，另一根在内，则实数的取值范围是 ．
13.已知，，则的值为
14.在中，为锐角，，且对于，的最小值为，则
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面向量．
若，求实数的值；
若与的夹角为，求的值．
16.本小题分
已知，均为锐角，且，．
求和值；
求的值．
17.本小题分
在中，内角所对的边分别为，已知，，且．
求角的大小；
若，的面积为，求的周长
18.本小题分
如图，在中，已知，，，为边上一点，点在线段上，且，．
求线段的长度，
求的值．
19.本小题分
如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段，和以为直径的半圆弧组成，其中为百米，，为若在半圆弧，线段，线段上各建一个观赏亭，，，再修两条栈道，使记．
试用表示的长；
试确定点的位置，使两条栈道长度之和最大．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.；
，，；解得．
，
，
，
，
．

16.依题意可得，，则，
又，则，所以，
又，所以．
结合可得，
又，，则，所以．

17.由，，且，得，
在中，由正弦定理得，
整理得，而，则，又，
所以．
由的面积为，得，即，
由余弦定理得，解得，
所以的周长．

18.因为，
，
，
，，，
所以，所以．
设，因为，
所以，，
，
所以，所以．

19.由题意，连接在中，
为百米，，，
，，，
为直径，
，
．
由题意及得，
在中，
，
，
且，
，
，
，
，
当，即时，有最大值百米，此时与重合，
与重合时，栈道长度之和最大，最大值是百米．

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