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2024-2025学年云南省德宏州高一下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.若是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是( )
A. B.
C. D.
3.若，，，则与的夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4.已知向量的夹角为且，，则在上投影向量的坐标为( )
A. B. C. D.
5.的内角，，的对边分别为，，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知正三棱台的上底边长为，下底边长为，侧棱长为，则该正三棱台的体积为( )
A. B. C. D.
7.已知的内角，，的对边分别为，，，且，，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知正三棱锥的底面边长为，侧面积为，则该三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 用斜二测画法画出边长为的等边三角形的直观图，则直观图的面积为
B. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
C. 两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D. 以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
10.已知点，则下列说法正确的是( )
A. B. 若，则
C. 若，则 D. 若与的夹角为锐角，则
11.如图所示，设在中，角、、所对的边分别为、、，，且若点是外一点，、，下列说法中，错误的命题是( )
A. 四边形周长的最小值为
B. 四边形周长的最大值为
C. 四边形面积的最小值为
D. 四边形面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数满足，则 ．
13.若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为
14.已知分别为三个内角的对边，若，则的最大值 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
向量，
求向量的模长；
若向量，且，求实数的值．
16.本小题分
已知复数其中为虚数单位，若复数的共轭复数为，且．
求复数；
求复数；
若是关于的方程的一个根，求实数，的值，并求出方程的另一个复数根．
17.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
求角；
若，且边上的中线的长为，求边的值．
18.本小题分
已知向量是平面内一组基底，且与的夹角为锐角，．
求证三点共线；
设，若的最小值是，求锐角的值．
19.本小题分
已知、、分别为内角的对边，已知且．
求角的大小；
若的面积为，求的值；
求周长的取值范围．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.【详解】解：，．
，且，
．

16.【详解】，
所以复数的共轭复数为．
因为，
所以
所以．
若是关于的方程的一个根，则，
即，
所以
解得：，，
则，即，
所以方程另一根为．

17.解：由题意得，
，
，
则，
，
，
又，
．
由知，
又，，
设，则，
在中，，
由余弦定理得：，
即，
解得，
即．
18.解：由，
得，则，
即，又有公共点，
所以三点共线．
依题意，
令，函数是开口向上的二次函数，
则当时，，即，
整理得，则，所以锐角．

19.【详解】因为，由正弦定理可得
，
所以，
，则，所以，即，
，则，故，因此，．
由三角形的面积公式可得，
，由余弦定理可得：
，
即
因此．
由正弦定理可得，
故，
所以，
所以
，
，所以，则，所以，
所以，
因此，的周长的取值范围是．

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