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4.3.2.1对数的运算
一、选择题
1．若10a＝4，10b＝25，则a＋b＝ (　　)
A．1 　 B．
C．2 　 D．3
2．＝(　　)
A． 　 B．3
C． 　 D．3＋
3．若lg x－lg y＝t，则lg －lg ＝(　　)
A．3t 　 B．t
C．t 　 D．
4．已知3a＝2，则log38－2log36＝(　　)
A．a－2 　 B．5a－2
C．3a－(1＋a)2 　 D．3a－a2－1
5．“ln 成立”是“ln M－ln N成立”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件　
C．既不充分也不必要条件
D．充要条件
6．已知2m+1＝，则m＋log2m＝(　　)
A．－1 　 B．－2
C．－3 　 D．－4
7．已知2lg (x－2y)＝lg x＋lg y，则＝(　　)
A．1 　 B．4
C．1或4 　 D．或4
8．空间复杂度是指一个算法运行过程所占用的空间，根据相关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而中国象棋空间复杂度的上限N约为1048(参考数据：lg 3≈0.48)，则下列各数中与最接近的是(　　)
A．10150 　 B．10125
C．10105 　 D．10135
二、填空题
9．2log26－log29＝ ________．
10．＝________．
11．若a，b满足ln a＋ln b＝0，则a＋b的最小值为________．
三、解答题
12．已知log189＝a，18b＝5，求log1845．(用a，b表示)
13．已知lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，求的值．
14．运用对数运算性质，解答下列两题．
(1)计算的值；
(2)因为210＝1 024∈(103，104)，所以210的位数为4．请判断2 0242 025的位数．
(参考数据：lg 2 024≈3.306，100.65≈4.467)
答案解析
1．C　[∵10a＝4，10b＝25，∴a＝lg 4，b＝lg 25，∴a＋b＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2．]
2．C　[．
故选C．]
3．A　[lg(＝3(lg x－lg y)＝3t．]
4．A　[∵3a＝2，∴a＝log32，∴log38－2log36＝3log32－3)＝3a－2(a＋1)＝a－2．
故选A．]
5．B　[ln 成立，则>0，分为两种情况，
若成立能推出ln M－ln N成立，
若成立不能推出ln M－ln N成立，
而ln M－ln N成立一定能推出ln 成立，
所以“ln 成立”是“ln M－ln N成立”的必要不充分条件．故选B．]
6．C　[法一：因为2m+1＝，所以2m＝，即m·2m＝．所以m＋log2m＝log22m＋log2m＝log2(m·2m)＝log2＝－3．
法二：由2m+1＝，得m＝log2－1，则m＋log2m＝log2－1＝－2－1＝－3．]
7．B　[由题可得lg(x－2y)2＝lg(xy)，
所以(x－2y)2＝xy，
即x2－5xy＋4y2＝0，
所以(x－y)(x－4y)＝0，
解得x＝y或x＝4y，
所以＝4．
又因为
所以>2，所以＝4．故选B．]
8．B　[∵M≈3361，N≈1048，
∴lg M≈361lg 3，lg N≈48，
lg ＝lg M－lg N≈361×0.48－48≈125，
∴≈10125．故选B．]
9．2　[2log26－log29＝log236－log29＝log24＝2．]
10．　[．]
11．2　[由题可知ln a＋ln b＝0，即ln(ab)＝ln 1，即ab＝1，且a，b>0，又a＋b≥2＝2，
当且仅当a＝b＝1时取等号，故a＋b的最小值为2．]
12．解：由18b＝5，得log185＝b，而log189＝a，
所以log1845＝log189＋log185＝a＋b．
13．解：因为lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，根据根与系数的关系得lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝，
所以(lg 2＝(lg b－lg a)2＝(lg b)2－2lg b·lg a＋(lg a)2＝(lg a＋lg b)2－4lg b·lg a＝2．
14．解：(1)．
(2)设2 0242 025＝N，则
lg N＝2 025 lg 2 024≈2 025×3.306＝6 694.65，
所以N＝106 694.65＝100.65×106 694，
又1<100.65<10，
所以N有6 695位数，即2 0242 025的位数为6 695．
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