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4.3.2.2换底公式
一、选择题
1．计算 的结果是(　　)
A． 　 B．－
C． 　 D．－
2．若2x＝3，y＝log8，则x＋3y的值是(　　)
A．3 　 B．log34
C．2 　 D．－2
3．化简(2log43＋log83)(log32＋log92)的值为(　　)
A．1 　 B．2
C．4 　 D．6
4．若lg 2＝a，10b＝3，则log2415＝(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
5．(多选)已知2a＝5b＝m，现有下面四个命题，其中正确的是(　　)
A．若a＝b，则m＝1
B．若m＝10，则＝1
C．若a＝b，则m＝10
D．若m＝10，则
6．单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度v满足公式：v＝v0·ln ．其中m1，m2分别为火箭结构质量和推进剂的质量．v0是发动机的喷气速度．已知某单级火箭结构质量是推进剂质量的2倍，火箭的最大速度为10 km/s．则火箭发动机的喷气速度约为(　　)
(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 4≈1.4)
A．15 km/s 　 B．25 km/s
C．35 km/s 　 D．45 km/s
7．(多选)研究表明，地震时释放的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M，则(　　)
A．震级为2级的地震释放的能量为106.8焦耳
B．释放的能量为109.3焦耳的地震震级为3级
C．9级地震释放的能量是8级地震释放的能量的10倍
D．释放的能量之比为1 000∶1的两场地震的震级相差2级
8．(多选)设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，那么(　　)
A．ab＋bc＝2ac 　 B．ab＋bc＝ac
C． 　 D．
二、填空题
9．若logab·log3a＝4，则b＝________．
10．噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级LP＝20×lg ，其中常数P0(P0＞0)是听觉下限阈值，P是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车A 10 80
电动汽车B 10 40
已知在距离燃油汽车A、电动汽车B 10 m处测得实际声压分别为P1，P2，则＝ ________．
11．(2025·全国甲卷)已知a>1且，则a＝________．
12．若实数a＞b＞1，且logab＋logba＝，则＝ ________．
三、解答题
13．计算下列各式的值：
(1)2lg 2＋lg 25＋3log32＋log89×log364；
(2) (log43＋log83)(log32＋log92)＋log3．
14．某化工厂生产一种溶液，按市场需求，杂质含量不能超过0.1%．若初始时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，要使产品达到市场要求，则至少应过滤多少次？(附：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
15．已知logax＋3logxa－logxy＝3(a>1)．
(1)若设x＝at，试用a，t表示y；
(2)在(1)的条件下，若当0答案解析
1．B　[lo．故选B．]
2．C　[由2x＝3，得x＝log23，又y＝log8，所以x＋3y＝log23＋log2＝log24＝2．故选C．]
3．B　[原式＝(2×log32＝2．故选B．]
4．C　[因为10b＝3，所以b＝lg 3，所以log2415＝．故选C．]
5．AB　[当a＝b时，由2a＝5b＝m，可得(a＝1，则a＝0，此时m＝1，所以A正确；
当m＝10时，由2a＝5b＝m，可得a＝log210，b＝log510，
则＝lg 2＋lg 5＝1，所以B正确．故选AB．]
6．B　[由题意可得10＝v0ln，其中m1＝2m2，
则10＝v0ln＝v0(ln 3－ln 2)≈0.4v0，解得v0≈25．故选B．]
7．BD　[对于A，当M＝2时，lg E＝4.8＋1.5×2＝7.8，解得E＝107.8，A错误；
对于B，当E＝109.3时，9.3＝4.8＋1.5M，解得M＝3，B正确；
对于C，令9级地震释放的能量为E1，8级地震释放的能量为E2，
则lg＝lg E1－lg E2＝(4.8＋1.5×9)－(4.8＋1.5×8)＝1.5，于是＝101.5>10，C错误；
对于D，释放的能量为E0，对应的震级为M0，释放的能量为1 000E0，对应的震级为M'，
则lg E0＝4.8＋1.5M0，且lg 1 000E0＝4.8＋1.5M'，两式相减得1.5(M'－M0)＝3，解得M'－M0＝2，D正确．故选BD．]
8．AD　[由题意，设4a＝6b＝9c＝k(k>0，且k≠1)，则a＝log4k，b＝log6k，c＝log9k，
对于A，由ab＋bc＝2ac，可得＝2，因为＝log69＋log64＝log636＝2，故A正确，B错误；
对于C，＝2logk4＋logk6＝logk96，＝2logk9＝logk81，故，故C错误；对于D，＝2logk6－logk4＝logk9，＝logk9，故，故D正确．故选AD．]
9．81　[∵logab·log3a＝4，∴·＝4，即lg b＝4lg 3＝lg 34，∴b＝34＝81．]
10．100　[由表中的数据可知，20×lg ＝80，即P1＝104P0，20×lg ＝40 ，P2＝102P0，故＝100．]
11．64　[，整理得(log2a)2－5log2a－6＝0，
则log2a＝－1或log2a＝6，又a>1，
所以log2a＝6，故a＝26＝64．]
12．1　[由logab＋logba＝logab＋，a>b>1，得013．解：(1)原式＝2lg 2＋lg 52＋2＋＝2(lg 2＋lg 5)＋2＋＝2＋2＋4＝8．
(2)原式＝(－5＝－3．
14．解：设至少需要过滤n次，
令0.02×(1－n＝0.001，即(．
所以nlg ，即n(lg 2－lg 3)＝－lg 20，
即n＝≈7.4．
所以至少过滤8次才能使产品达到市场要求．
15．解：(1)由换底公式，
得logax＋＝3(a>1)，
所以logay＝(logax)2－3logax＋3．
当x＝at时，logax＝logaat＝t，
所以logay＝t2－3t＋3．
所以y＝( t≠0)．
(2)由(1)可知y＝，
因为01，
所以当t＝时，ymin＝＝8．
所以a＝16，此时x＝1＝64．
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