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2024-2025学年云南省昆明市高一下学期期末质量检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数在复平面上对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.集合，则( )
A. B. C. D.
3.( )
A. B. C. D.
4.函数的最小值为( )
A. B. C. D.
5.轴截面为正三角形的圆锥，记其侧面积为，体积为，若，则底面半径为( )
A. B. C. D.
6.若的图象关于对称，则( )
A. B. C. D.
7.定义在上的函数图象关于直线对称，在单调递减，若且，则( )
A. B.
C. D.
8.某地区公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的名学生进行了调查．调查中使用了下面两个问题：
问题一：你的生日日期是不是奇数？
问题二：你是否经常吸烟？
调查者设计了一个随机化装置：一个装有大小、形状和质量完全一样的个白球和个红球的袋子，每个被调查者随机从袋中摸取个球摸出的球再放回袋中，摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做，最后收集回来个小石子，则可以估计出该地区经常吸烟的中学生所占的百分比约为假设一年为天，其中日期为奇数的天数为天( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一组数据的平均数为，方差为，频率分布直方图如图所示，若，则( )
A. 数据的平均数为 B. 数据的方差为
C. 估计数据的众数约为 D. 估计数据的中位数约为
10.如图，四棱锥中，底面为菱形，分别为的中点．则平面的一个充分条件可以为( )
A. B. 平面
C. D.
11.若正数满足，则的大小关系可能是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，，则 ．
13.已知，，则 ．
14.若函数有三个零点，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，其中且．
求的定义域，判断的奇偶性，并说明理由；
求不等式的解集．
16.本小题分
的内角的对边分别为，已知．
求；
若，求的面积．
17.本小题分
甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：先通过抛掷两枚质地均匀的骰子的结果来决定第一局谁作为裁判，裁判外的两人比赛．一局结束后，败者作为下一局裁判，原裁判与胜者进行下一局比赛，按此规则共进行三局比赛，每局比赛结果相互独立且每局比赛无平局．
设事件“两个骰子点数和能被整除”，求事件的概率；
若在每一局比赛中，甲胜乙、甲胜丙的概率均为现已决定出乙作为第一局的裁判，求甲恰好胜一局的概率．
18.本小题分
在如图所示的几何体中，，平面平面为的中点．
证明：平面；
点在正方形内，且．
(ⅰ)求直线与平面所成角：
(ⅱ)若，求点到平面距离的最小值．
19.本小题分
刘徽、祖冲之等数学家都曾用“割圆术”即用圆的内接正多边形面积近似等于圆的面积来计算圆周率的近似值．
设圆的内接正边形的面积为，其中且例如，单位圆的内接正四边形的边所对圆心角，则．
请仿照以上方法，用表示；
数学家韦达在研究“割圆术”时发现：当充分大时，令，
当充分大时，求的值；
判断等式是否成立？请说明理由．
参考答案
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14.
15.【详解】因为，解得，所以的定义域为．
又，
所以为奇函数．
，
当时，，解得，因为，所以；
当时，，解得，因为，所以．
综上所述：当时，；当时，．

16.【详解】因为，由余弦定理，
因，则得．
因，由余弦定理，
可得：，即，
解得或舍，
所以．

17.【详解】因为骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型，
样本空间：共个样本点，
事件含有：
共个样本点，故．
记事件为第局甲胜，，由题意知，
记事件为甲恰好胜一局，有如下两种情况：
第局甲胜，第局甲败，第局甲败，第局甲胜，
因为每局比赛结果相互独立，所以事件与与也独立，则
，
，
因为，且事件与互斥，
所以，
所以甲恰好胜一局的概率为．

18.【详解】证明：在四边形中，是中点，
所以且，从而四边形是平行四边形，
所以，又平面平面，
所以平面．
连接，因为平面平面，
平面平面，所以平面，
因为平面，所以，
又，平面，
所以平面，又平面，故，
从而点在以为圆心为半径的上半圆上，
因为，，所以四边形为平行四边形，
所以，所以平面，
所以为所求直线与平面所成角，
所以，故，
所以直线与平面所成角为．
(ⅱ)由可知四点共面，
从而点到平面的距离即为点到平面的距离，
设点到平面距离为，
由，有，
所以，
，
，
由动点的轨迹可知，的最小值为，
所以到平面距离的最小值．

19.【详解】圆的内接正边形其中一条边所对的圆心角，
于是该边形面积．
，
因当充分大时，
此时，；
因，，
由(ⅰ)可得，
．
由于，
而，所以，
同理，，得到，
以此类推，
可得
，其中充分大，
由(ⅰ)可知：，故，
故等式成立．

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