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2024-2025学年山西省部分学校高一下学期7月期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若向量，且，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，则的整数元素的个数为( )
A. B. C. D.
3.年我国居民人均可支配收入单位：元分别为，，，，，则这组数据的分位数是( )
A. B. C. D.
4.在平行四边形中，，则( )
A. B. C. D.
5.若，则( )
A. B. C. D.
6.已知是在上单调递增的奇函数，则函数在上的图象可能为( )
A. B. C. D.
7.已知，，，则( )
A. B.
C. D.
8.冒险棋是一种多人参与的休闲益智类棋类游戏，其核心玩法如下：玩家从起点出发，通过掷骰子决定棋子移动步数，并结合陷阱等特殊路径机制行进，先到达终点者获胜掷到几点，棋子就前进几步，若棋子停止的格子上有冒险文字，则玩家需按照冒险文字指示完成相应操作如图，已知甲执红棋、乙执蓝棋来到了同一个位置，甲先掷一次骰子，乙再掷一次骰子，则红棋比蓝棋更靠近终点的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 经过个点的平面有且只有一个
B. 若直线平面，则平面内有无数条直线与平行
C. 若平面满足，，则
D. 若直线满足，则
10.如图，在一个古典概型的样本空间与事件，，中，，，，，，则( )
A. B.
C. 事件与事件互斥 D. 事件与事件相互独立
11.已知的内角的对边分别为，是分别线段上的两点不包括端点，，且，下列结论正确的是( )
A. B. 若，则
C. 若，则 D. 是定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一支探险队有男生人，女生人，按照性别采用分层随机抽样的方法从该探险队中抽取一个容量为的样本，则女生被抽取的人数为 ．
13.已知上底面半径为，下底面半径为的圆台的体积为；上底面边长为，下底面边长为的正四棱台的体积为若该圆台与正四棱台的高相等，则 ．
14.已知函数有且仅有个零点，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．
求的解析式；
求的单调递减区间；
求在上的值域．
16.本小题分
年月日，贵港市港南区香江端午龙舟赛激情开赛，香江码头热闹非凡，鼓声阵阵、人潮涌动．此次龙舟赛，还为观众带来了动力滑翔伞队表演、传统手工艺品展示、民俗技艺互动体验等活动，让大家尽享节日的快乐．据统计，当天共吸引了约万名观众前来观赛助威，网络平台观看人数更是超过万人次．某统计人员在现场随机抽取了名观众对此次活动进行打分满分分，将得到的数据按，，分为组，如下表所示：
分数
频数
频率
求，，；
请在图中画出频率分布直方图；
估计这名观众打分的平均数．同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表
17.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
求；
若，，求．
18.本小题分
甲、乙两人进行投篮比赛，规则如下：每轮由其中一人进行投篮，若投中，则投篮者得分，对方得分，且下一轮继续投篮；若未投中，则投篮者得分，对方得分，且下一轮由对方投篮；当一方领先对方分时，领先者获胜，比赛结束．已知甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为，且每轮投篮相互独立．第一轮甲先进行投篮．
求第二轮投篮后乙获胜的概率；
求第四轮投篮后甲获胜的概率；
求第六轮投篮后甲获胜的概率．
19.本小题分
如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别为棱，，的中点．
证明：平面；
证明：；
若直线与平面所成角的正弦值为，求平面和平面所成角锐角的正切值．
参考答案
1.
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14.
15.【详解】由题意得．
由，
得，
所以的单调递减区间为．
由，得，
由正弦函数的图象可知，．
故在上的值域为．

16.【详解】由题意得，则，．
的频率为，故频率组距为，同理可得其他组的频率组距，
作图如下：
估计这名观众打分的平均数为分．

17.【详解】因为，所以，
得，
得．
由正弦定理得，即．
由知，又，，
由余弦定理，
得，得．
因为，
所以．

18.【详解】解：设甲投中为事件，乙投中为事件，
要使得第二轮投篮后乙获胜，则第一轮甲未中，第二轮乙投中，
所以第二轮投篮后乙获胜的概率．
解：要使得第四轮投篮后甲获胜，则甲乙的比分为，则或，
所以第四轮投篮后甲获胜的概率为．
解：要使得第六轮投篮后甲获胜，则甲乙的比分为，
则满足或或或，
所以第六轮投篮后甲获胜的概率：

19.【详解】，分别为棱，的中点，．
平面，平面，平面．
取的中点，连接，．
，分别为棱，的中点，．
平面，平面平面，．
，分别为棱，的中点，，．
，，平面，平面．
平面，．
平面，平面，．
，，，平面，平面，
即为直线与平面所成的角，．
设，则，，．
如图，连接易得平面和平面的交线为过点作，交的延长线于点，连接．
平面，平面，平面，，．
，，，平面，平面．
又平面，，即为平面和平面所成的角．
过点作于点．
，，，与全等，．
由可得，．
，
即平面和平面所成的角的正切值为．

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