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2024-2025学年广东省汕尾市高二下学期期末教学质量监测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.，则下列集合与相等的是 ．
A. B. C. D.
2.已知，则的虚部是 ．
A. B. C. D.
3.一物体沿直线运动，其位移单位：随时间单位：的变化关系为，则时，物体的瞬时速度大小为 ．
A. B. C. D.
4.某班级的名学生计划前往田墘红楼、红宫红场、金厢银滩、激石溪纪念园四个景点游玩，每位学生只能选择一个景点景点人数不限，则这名学生的旅游安排方式共有．
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.已知随机变量服从正态分布，且，则 ．
A. B. C. D.
6.如图，已知圆的弦的长度为，则的值是 ．
A. B. C. D.
7.在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，点在椭圆上，，点关于原点的对称点为若，则的离心率为 ．
A. B. C. D.
8.函数的图象由向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍后得到的，若函数在区间上均不成立，则的取值范围是 ．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.甲、乙进行道高考数学题解题比赛的得分如下表所示，则下列说法正确的是．
题号 题 题 题 题 题 题 题 题 题 题
甲
乙
A. 甲的平均数大于乙的平均数 B. 甲的极差大于乙的极差
C. 甲的众数小于乙的中位数 D. 甲的分位数大于乙的分位数
10.设复数满足，则以下结论正确的是 ．
A. 在复平面上对应的轨迹是圆 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 复数的虚部取值范围是
11.已知函数的定义域为，的定义域为，，且满足，下列说法正确的是 ．
A. 的周期为
B. 的图象关于对称
C. 的图象关于对称
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式的常数项是 ．
13.随机变量的分布列如表所示，且，则 ．
14.若复数满足，且，在复平面内，在所对应的点中随机取出三个点，则这三个点两两之间的距离都不超过的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，且．
写出函数的定义域并求出的值；
若曲线在点处的切线与函数的图象相切，求的值．
16.本小题分
已知数列的前项和为，且满足，，．
分别求出数列中的，，的值；
求数列的通项公式．
17.本小题分
已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上，过点的直线与椭圆交于，两点，直线的斜率存在．
若线段的中点的横坐标为，求椭圆的方程并计算点到轴的距离与点到轴的距离之和；
为椭圆的右焦点，若面积为，求直线的方程．
18.本小题分
如图，在平面多边形中，为直角三角形，，，如图，现将沿轴向上翻折到图中的处，此时，．
证明：；
证明：平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
已知随机变量的取值为非负整数，其分布列为：
其中，且由生成的函数为，．
若生成的函数为，当为奇数时，求的值；
在盒中有个红球，在盒中有个蓝球和个绿球，随机选盒取出个球，选择盒的概率为已知随机变量生成的函数为，其中分别对应取到红球、蓝球、绿球的概率．证明：，并计算的值；
已知三个自然数的和为，用表示这三个数中最小的数，此时由生成的函数记为，令，求的极小值点．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：函数的定义域为，求导得，
则，，所以．
由知，则，而，
因此曲线在点处的切线为，即，
法由，消去得，
而直线与函数的图象相切，则，所以．
法函数的导函数为，
令，解得，则，
于是切线与函数图象的切点为，
代入，即，所以．

16.解：解法当时，，
又，，
当时，，，
，，
，，．
解法：，，，
，解得，
又，，解得，
同理，解得，
，解得，
故，，．
解法由解法一知，，，
则，故时，有，
，
由，得，，即，
当为偶数时，，
当为奇数时，．
综上所述，数列的通项公式为或，
解法由解法一知，，，则，
故时，有，
当为奇数时，由，，，，，
由以上各式可得，，，，
可得，故．
当为偶数时，由，，，，，
以上各式两两相减，可得，，，，
可得，
又，，
综上所述，数列的通项公式为或，
解法由知，，且，，，，，
归纳上述结果，猜想．
当时，，猜想成立，
假设当时，，
那么，
即时，猜想成立．
综上所述，对任意，上述猜想都成立，
即．
解法当时，，
又，，
当时，，，
，，即，符合，
时，有．
，，，，，
又由知，，，
故当为奇数时，；当为偶数时，．
故数列的通项公式为或，

17.解：依题意有，，且，
又因为，解得，，
故椭圆的方程为，
设，，由题意，得直线的方程为，
联立，得，
由，
则，，
因为线段的中点的横坐标为，
所以，解得，故，
点到轴的距离与点到轴的距离之和为，
因为，，可知与异号，
故，
即点到轴的距离与点到轴的距离之和为．
由知，直线的方程为，
故点到直线的距离，
，
故，
解得，即，
故直线的方程为．

18.解：证明：如图，取的中点，连接，，
因为且，
所以四边形为菱形，故，
又因为，所以四边形为平行四边形，
故有，所以，
因为，、平面，，故平面，
因为平面，所以．
证明：如图，连接交于点，连接．
因为，且，
所以，所以为的三等分点，
又因为，所以为的三等分点，所以，
因为平面，平面，
所以平面．
由题意知，，，
因为，平面，与相交，所以平面．
以菱形的对角线交点为坐标原点，以为轴正方向，以为轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，由于，
则，，，，，
由知．
设平面的法向量为，
，，
所以，令，则，，
即，
设平面的法向量为，
，，
所以，令，则，，
即，
因为，
所以平面与平面夹角的余弦值为．

19.解：由生成的函数为，知．
所以，，，
因此，当为奇数时，．
恰好是取到红球、蓝球、绿球对应的概率，
故，，．
即，故，
所以生成的函数为，
故，，
所以，
因为，，
所以，故，
或
因为，
所以，
故．
的可能取值为，，，，
则，，
，．
则的分布列为
所以，
故，
故，令，解得，
故时，单调递减，时，单调递增，
故是的极小值点．

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