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2024-2025学年福建省福州市部分校高二下学期7月质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，不共线，若与共线，则实数的值是( )
A. B. C. D.
4.某初级中学对本校八年级的名男生进行米跑步体能测试，据统计，名男生跑完米所用的时间分钟服从正态分布，若，则这名男生跑完米所用的时间不少于分钟的人数大约为( )
A. B. C. D.
5.若，则( )
A. B. C. D.
6.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则图象的一条对称轴为( )
A. B. C. D.
7.已知正四棱台的上底面的四个顶点，，，都在圆锥的侧面上，下底面的四个顶点，，，都在圆锥的底面圆周上，且，，则圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，，，将的图象绕原点旋转后所得图象与原图象重合，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
10.下列说法正确的是( )
A.
B. 若，都是非零实数，且，则
C. 若，则的最小值为
D. 若，满足，则的最大值为
11.已知锐角中，，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.身高不相等的人站成一排照相，要求最高的人排在中间，按身高向两侧递减，则共有 种不同的排法．
13.若，则在“函数的定义域为”的条件下，“函数为奇函数”的概率为 ．
14.已知个样本数据的平均值为，方差为，则这个数据的分位数的最大值为 ____．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合．
用区间表示集合；
若，求，的取值范围．
16.本小题分
已知．
求的值；
若，，且，求的值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，分别为棱，的中点．

证明：平面平面；
利用题中条件能否得出平面？若不能，试添加一个适当的条件后证明平面．
18.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且．
若，求的值；
若为锐角三角形，求证：；
若的面积为，求边的最小值．
19.本小题分
六一儿童节，某商场为了刺激消费提升营业额，推出了消费者凭当天在该商场的消费单据参加抽奖的活动，奖品是款不同造型的玩具摩托车与款不同造型的玩具跑车每款车的数量都充足，主办方将大小相同的个乒乓球上分别标注，，，，，，，，其中标注数字，，，的乒乓球分别代表款不同造型的摩托车，，，，的乒乓球分别代表款不同造型的跑车，并将这个乒乓球放在一个不透明箱子内．活动规定：儿童节当天在该商场消费满元的消费者可从摸奖箱内摸出个乒乓球，然后再放回箱内；消费满元可先从摸奖箱内摸出个乒乓球，放回后再从中摸出个乒乓球，然后再放回箱内；消费满元可先从摸奖箱内摸出个乒乓球，放回后再从中摸出个乒乓球，放回后再从中摸出个乒乓球，然后再放回箱内；，依此类推，消费者根据自己摸出的乒乓球标注的数字即可获得相应的奖品．
若小明的家长当天在该商场消费恰好满元，求这位家长能获得款相同造型摩托车与款不同造型跑车的概率；
若本次活动小明家获得的奖品是台不同造型的摩托车和台不同造型的跑车，小英家也获得台不同造型的摩托车和台不同造型的跑车．
从他们两家获得的这台车中随机抽取台，如果抽出的台车中有台摩托车，求的分布列和数学期望；
若小明和小英将他们家本次活动获得的奖品每次各取一件进行交换，第一次交换的奖品也可以参加第二次交换，求两次交换后小明家仍有台摩托车和台跑车的概率．
参考答案
1.
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4.
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12.
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14.
15.解：由，有，解得或，
所以．
因为，所以，
不等式可化为．
时，则，解得但不满足，舍去，
时，因为但，不满足，舍去，
时，解得或，
因为，所以解得，
所以．

16.解：因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
．
由，可得，
则，
因为，所以，又，则，
因为，又，则，
所以，所以．

17.解：因为，，为棱的中点
所以，，
所以四边形是平行四边形，所以．
因为平面，平面，且，所以平面，
因为分别是，的中点，所以，
又平面，平面，且，所以平面，
因为平面，平面，，平面，
所以平面平面．
利用题中条件不能得出平面，
添加条件，
证明如下：
因为，，，平面，
所以平面．
【详解】因为，，为棱的中点
所以，，
所以四边形是平行四边形，所以．
因为平面，平面，且，所以平面，
因为分别是，的中点，所以，
又平面，平面，且，所以平面，
因为平面，平面，，平面，
所以平面平面．
利用题中条件不能得出平面，
添加条件，
证明如下：
因为，，，平面，
所以平面．

18.解：若，由正弦定理得，
又，所以，
又，解得或舍，
所以．
因为，
所以，
即，
所以，
所以，
又，，所以，即，
所以，
又为锐角三角形，所以，
所以．
因为，由正弦定理得，
所以，
因为的面积
，
所以，
因为，且，
所以，所以，
所以当，即时，取得最小值，
即边的最小值为．

19.解：记“小明的家长得到台相同造型摩托车与台不同造型跑车”为事件，
则，
所以小明的家长获得台相同造型摩托车与台不同造型跑车的概率为．
依题意，的所有取值为，，，，
，
的分布列为：
所以数学期望．
两次交换后小明家仍有台摩托车和台跑车，包括种情况：
第一次交换后小明家是台摩托车台跑车，
其概率；
第一次交换后小明家是台摩托车台跑车，
其概率；
第一次交换后小明家是台摩托车台跑车，
其概率，
因此所求概率．

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