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2024-2025学年吉林省“BEST合作体”高二下学期期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在等差数列中，为其前项的和，若，则为( )
A. B. C. D.
3.已知函数且，则 ．
A. B. C. D.
4.已知函数的导函数是，若，则( )
A. B. C. D.
5.若，则的大小关系是 ．
A. B. C. D.
6.若函数为奇函数，则实数( )
A. B. C. D.
7.设数列的通项公式为，则“”是“数列为单调递增数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.若是奇函数，且是函数的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图为函数的导函数的图象，则下列判断正确的是( )
A. 在处取得极大值
B. 是的极小值点
C. 在上单调递减，在上单调递增
D. 是的极小值点
10.下列说法中正确的为( )
A. 集合，若集合有且仅有个子集，则的值为
B. 若一元二次不等式的解集为，则的取值范围为
C. 设集合，，则“”是“”的充分不必要条件
D. 若正实数，，满足，则
11.数列的前项和为，则下列说法不正确的是( )
A. 若，则数列的前项和最大
B. 若等比数列是递减数列，则公比满足
C. 已知等差数列的前项和为，若，则
D. 已知为等差数列，则数列也是等差数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若数列满足，则数列前项的和 ．
13.已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为 ．
14.设函数，若函数的图象与直线有三个交点，则实数的取值范围 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在处有极值，其图象经过点，且．
求函数的解析式；
求函数在处的切线方程．
16.本小题分
如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，设面积为
求关于的函数；
求面积的最大值以及所对应的值．
17.本小题分
已知数列满足，数列满足．
求证：数列是等差数列；
设，求满足不等式的所有正整数的值．
18.本小题分
已知函数，．
若函数在区间内单调递增，求实数的取值范围；
记函数，若的最小值是，求的值．
19.本小题分
设是等差数列，是各项都为正整数的等比数列，且，，，．
求，的通项公式；
若数列满足，，且，试求的通项公式；
若，求数列的前项和．
参考答案
1.
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14.
15.解：因为，所以，
因为函数在处有极值，其图象经过点，且，
所以，解得，
此时，满足在处有极值，
所以．
由知，
所以，，
所以函数在处的切线方程为，即

16.解：设，，
，
即．
，即
，
解得，
，
，．
即，．
由知，．
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
故面积的最大值为，此时．
证明：由得，计算中，得，
即得满足不等式的所有正整数的值为，，．
【详解】试题分析：根据题干条件将表达式变形为：，即得，从而证得式子是等差数列；根据第一问的结论得到数列的通项，进而求和，解不等式即可．
解析：
证明：由得，则．
代入中，得，即得．
所以数列是等差数列．
解：因为数列是首项为，公差为等差数列，
则则从而有．
故
则，由得．
即，得．
故满足不等式的所有正整数的值为，，．
【详解】设，，
，
即．
，即
，
解得，
，
，．
即，．
由知，．
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
故面积的最大值为，此时．

17.解：证明：由得，则．
代入中，得，即得．
所以数列是等差数列．
解：因为数列是首项为，公差为等差数列，
则则从而有．
故
则，由得．
即，得．
故满足不等式的所有正整数的值为，，．

18.解：解：因为，则，
由题意知在区间内恒成立，
所以，在区间内恒成立．
令，，因为恒成立，
所以在区间内单调递减，
所以，所以，即实数的取值范围为．
解：，其中．
因为，
当时，对任意的恒成立，
所以在区间内单调递增，此时，无最小值，不合题意；
当时，令，则或舍去，
当时，；当时，．
所以，函数在区间内单调递减，在区间内单调递增，
则是函数的极小值点，也是最小值点，
所以，
解得，合乎题意．
综上所述，．

19.解：设的公差为，的公比为，则依题意有，
根据题意得
解得：，
由于是各项都为正整数的等比数列，所以，
，；
，，，
，两式相除：，
由，，，
得：，，，是以为首项，以为公比的等比数列；
，，，是以为首项，以为公比的等比数列，
当为偶数时，
当为奇数时，，
所以；
为奇数时，
设数列的前项和中奇数项的和为，
则，
，
两式作差得：，
化简得；
为偶数时，
设数列的前项和中偶数项的和为，
则
则．
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