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2024-2025学年吉林省长春市G8教考联盟高二下学期期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则 ．
A. B. C. D.
2.对四组数据进行统计，获得以下散点图，将四组数据对应的相关系数进行比较，则( )
A. B.
C. D.
3.是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知，都是定义域为的奇函数，则函数的部分图象可能为( )
A. B.
C. D.
5.从名男生和名女生中选出人参加比赛，如果人中须既有男生又有女生，选法有种
A. B. C. D.
6.已知函数，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知正实数，满足，则的最小值为 ．
A. B. C. D.
8.已知函数若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列叙述正确的是( )
A. 不等式的解集是
B. 函数与是同一函数
C. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为
D. 若函数，则
10.下列叙述正确的是( )
A. 甲、乙、丙等人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有种排法
B. 用数字，，，这四个数可以组成没有重复数字的四位数共有个
C. 个人分别从个景点中选择一处游览，有种不同选法
D. 正十二边形的对角线的条数是
11.已知函数与的定义域均为，且，，若的图象关于点对称，则( )
A. B.
C. 是奇函数 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的二项展开式中，常数项为 ．
13.若函数，是定义在上的增函数，则实数的取值范围是 ．
14.甲、乙两名同学参加汉语听写比赛，每次由其中一人听写，规则如下：若听写正确则此人继续听写，若未听写正确则换对方听写，无论之前听写情况如何，甲每次听写的正确率均为，乙每次听写的正确率均为，第次听写的人是甲、乙的概率各为，则第二次听写的人是甲的概率 ；第次听写的人是甲的概率 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数在处切线的方程；
求函数的极值．
16.本小题分
为了研究高中学生平时的数学成缆和整理数学错题习惯的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校抽取名学生进行调查统计．数据如下：
整理数学错题习惯 数学成绩 合计
优秀 非优秀
有
没有
合计
依据小概率值的独立性检验，是否认为数学成绩优秀与整理数学错题集习惯有关联；
在调查统计有整理数学错题集习惯的名学生中，采用比例分配的分层随机抽样的方法选取人组建研讨小组，再从人研讨小组中随机抽取人进行访谈，用表示访谈时成绩优秀的人数，求的分布列及数学期望．
附：
17.本小题分
已知函数．
求的单调区间及最值；
求出方程的解的个数．
18.本小题分
已知定义域都为的函数与满足：是偶函数，是奇函数，且．
求函数、的解析式；
直接说明函数的单调性，并解关于不等式：；
设，，对于，都，使得，求实数的取值范围．
19.本小题分
设随机变量的概率分布为，，其中是大于的常数，为自然对数的底数．则称服从参数为的泊松分布，记为
若，求；
已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，有请用泊松分布近似二项分布解决下列问题：
若，，，求实数的取值范围；
若，，且，的任意取值均相互独立，记，试判断随机变量是否服从泊松分布，如果服从，请求出泊松分布对应的参数，如果不服从，请说明理由．参考数据：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.

15.解：因为函数，
所以求导得．
所以又，
所以函数在处的切线方程为，即．
因为．
令，解得或．
当或时，；当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减．
所以的极大值为，极小值为．

16.解：零假设：数学成绩优秀与整理数学错题集习惯无关联
由题设，
故依据小概率值的独立性检验，不能认为零假设成立，
故认为数学成绩优秀与整理数学错题集习惯有关联；
由分层抽样的等比例性质，人中有人优秀，人非优秀，
所以优秀学生人数，且，，，
故分布列如下，
则．

17.解：由题设，故时有，时有，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
当趋向时趋向，趋向时趋向，故
综上，的递减区间为，递增区间为，最小值为，无最大值；
由分析，可得的大致图象如下：
当时，无解；
当时，有两个不同解；
当或时，有且仅有一个解．

18.解：由题设，，且，
，
两式相减可得；
由在上均单调递增，故在上单调递增，
由，则，
所以，即，可得或，
所以解集为；
时，，又，故，
时，，
令，则，
则，
由，都，使得，只需，即．

19.解：若，则；
由题，
其中，，
令，则，故在单调递减，
又，所以的解为，
即，即，
由题：且．
．
所以∽，即随机变量服从泊松分布，对应的参数是．
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