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1.2　直线的方程
1.2.1　直线的点斜式方程 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
　　　 [课时目标]
1.了解由斜率公式推导直线点斜式方程的过程,掌握点斜式方程和斜截式方程的特点及适用范围.
2.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关问题,体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.
1.直线的点斜式方程
(1)过点P1(x1,y1),斜率为k的直线方程　　　　　　　　叫作直线的点斜式方程,简称点斜式.
(2)过点P1(x1,y1)且与x轴垂直的直线方程为　　　　.
|微|点|助|解|
(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在,若斜率不存在,则不能用此式.
(2)当直线与x轴平行或重合时方程可简写为y=y1,特别地,x轴的方程是y=0.当直线与y轴平行或重合时,不能应用点斜式方程,此时可将方程写成x=x1,特别地,y轴的方程是x=0.
2.直线的斜截式方程
(1)直线l与y轴的交点(0,b)的　　　　　称为直线l在y轴上的截距.
(2)方程　　　　叫作直线的斜截式方程,简称斜截式.
|微|点|助|解|
(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况,由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距.
(2)截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和0.当直线过原点时,它在 x 轴上的截距和在 y 轴上的截距都为0.
(3)斜截式方程与一次函数的解析式相同,都是y=kx+b的形式,但有区别:当k≠0时,y=kx+b为一次函数;当k=0时,y=b,不是一次函数.故一次函数y=kx+b(k≠0)一般可看成一条直线的斜截式方程.
3.曲线的方程和方程的曲线
一般地,当点P在曲线C上时,其坐标(x,y)满足方程F(x,y)=0,并且以方程F(x,y)=0的解为坐标的点(x,y)都在　　　　　　　上.这时,我们将方程F(x,y)=0称为曲线C的方程,也称曲线C为方程F(x,y)=0的曲线.
基础落实训练
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)对于直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)也可写成k=. (　　)
(2)直线y-3=k(x+1)恒过定点(-1,3). (　　)
(3)直线y-2=3(x+1)的斜率是3. (　　)
2.若直线l过点(-1,1)且斜率为1,则直线l的方程为 (　　)
A.x-y-2=0 B.x+y-2=0
C.x-y+2=0 D.x+y+2=0
3.直线l在y轴上的截距为2,且斜率为-1,则该直线方程为 (　　)
A.y=-x+2 B.y=x+2
C.y=x-2 D.y=-x-2
4.直线y=x+3在y轴上的截距为　　　　　　.
题型(一)　直线的点斜式方程
[例1]　写出下列直线的点斜式方程:
(1)经过点B(-1,4),倾斜角为135°;
(2)过点C(-1,2),且与y轴平行;
(3)过点D(2,1)和E(3,-4);
(4)经过点(2,-3),倾斜角是直线y=x倾斜角的2倍.
听课记录:
|思|维|建|模|
求直线的点斜式方程的思路
　　[针对训练]
1.[多选]已知直线l的倾斜角为45°,且过点(1,2),则在直线上的点是 (　　)
A.(0,1) B.(-2,-1)
C.(3,3) D.(3,2)
2.求满足下列条件的直线的点斜式方程.
(1)过点P(-3,-1),斜率k=;
(2)过点P(0,5),且与x轴平行;
(3)过点P(,1),倾斜角是120°.
题型(二)　直线的斜截式方程
[例2]　写出下列直线的斜截式方程:
(1)直线的斜率是3,在y轴上的截距是-3;
(2)直线的倾斜角是60°,在y轴上的截距是5;
(3)直线在x轴上的截距为4,在y轴上的截距为-2.
听课记录:
|思|维|建|模|
直线的斜截式方程的求解策略
(1)求直线的斜截式方程只要分别把直线的斜率和在y轴上的截距代入方程即可.
(2)当斜率和截距未知时,可结合已知条件,先求出斜率和截距,再写出直线的斜截式方程.
　　[针对训练]
3.如果直线l的斜率和在y轴上的截距分别为直线y=x+2的斜率的一半和在y轴上截距的两倍,那么直线l的方程是　　　　　　.
4.根据下列条件求直线的斜截式方程:
(1)斜率是,截距是-2;
(2)倾斜角是135°,截距是3;
(3)倾斜角为60°,与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
题型(三)　含参数的直线方程的几何特征
[例3]　已知直线l:y=kx+2+k.
(1)求证:直线l恒过一个定点;
(2)当-3听课记录:
　　[变式拓展]
1.若本例(2)条件改为直线不经过第四象限,求k的取值范围.
2.若本例条件变为直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,△AOB的面积为S,求S的最小值并求此时直线l的方程.
|思|维|建|模|
　　对于含参数k的直线方程y-y0=k(x-x0),该直线恒过定点(x0,y0).
　　[针对训练]
5.已知直线kx-y+1-3k=0,当k变化时,所有的直线恒过定点 (　　)
A.(1,3) B.(-1,-3)
C.(3,1) D.(-3,-1)
6.若直线y=x+k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1,则实数k的取值范围是　　　　　.
1.2.1　直线的点斜式方程
?课前预知教材
1．(1)y－y1＝k(x－x1)　(2)x＝x1
2．(1)纵坐标b　(2)y＝kx＋b　3.曲线C
[基础落实训练]
1．(1)×　(2)√　(3)√
2．选C　直线l的斜率为1，又直线l过点(－1，1)，则直线l的方程为y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0.
3．A
4．解析：由直线的斜截式可得，直线y＝x＋3在y轴上的截距为3.
答案：3
课堂题点研究
[题型(一)]
[例1]　解：(1)由题意知，直线的斜率k＝tan 135°＝－1，故所求直线的点斜式方程为y－4＝－[x－(－1)]．
(2)∵直线与y轴平行，∴斜率不存在，
∴直线的方程不能用点斜式表示．由于直线上所有点的横坐标都是－1，故这条直线的方程为x＝－1.
(3)∵直线过点D(2,1)和E(3，－4)，∴斜率k＝＝－5.故所求直线的点斜式方程为y－1＝－5(x－2)．
(4)∵y＝x的斜率是，∴直线y＝x的倾斜角为30°，
∴所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为.
∴所求直线的点斜式方程为y＋3＝(x－2)．
[针对训练]
1．选AB　直线的斜率k＝tan 45°＝1，方程为y－2＝x－1，即y＝x＋1，将A、B、C、D中各点代入知，A、B正确．
2．解：(1)∵直线过点P(－3，－1)，斜率k＝，
∴直线的点斜式方程为y＋1＝(x＋3)．
(2)∵与x轴平行的直线斜率为0，
∴直线的方程为y＝5.
(3)∵直线的倾斜角是120°，
∴k＝tan 120°＝－.又直线过点P(，1)，
∴直线的点斜式方程为y－1＝－(x－)．
[题型(二)]
[例2]　解：(1)由直线的斜截式方程可知，
所求方程为y＝3x－3.
(2)∵k＝tan 60°＝，
∴所求直线的斜截式方程为y＝x＋5.
(3)∵直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2，∴直线过点(4,0)和(0，－2)．
∴k＝＝，
∴所求直线的斜截式方程为y＝x－2.
[针对训练]
3．解析：直线y＝x＋2的斜率为，在y轴上的截距为2，则直线l的斜率为，在y轴上的截距为4，故直线l的方程是y＝x＋4.
答案：y＝x＋4
4．解：(1)由题意，当直线在y轴上的截距为－2时，直线的斜截式方程为y＝x－2；当直线在x轴上的截距为－2时，直线的方程为y＝(x＋2)，即直线的斜截式方程为y＝x＋.综上，直线的斜截式方程为y＝x－2或y＝x＋.
(2)由题意，直线倾斜角是135°，截距是3，所以斜率为k＝tan 135°＝－1.当直线在y轴上的截距为3时，直线的斜截式方程为y＝－x＋3；当直线在x轴上的截距为3时，直线的方程为y＝－(x－3)，所以直线的斜截式方程为y＝－x＋3.综上，直线的斜截式方程为y＝－x＋3.
(3)因为直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝.因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线的斜截式方程为y＝ x＋3或y＝ x－3.
[题型(三)]
[例3]　解：(1)证明：由y＝kx＋2＋k，得y－2＝k(x＋1)，由直线的点斜式方程可知，直线恒过定点(－1,2)．
(2)设y＝f(x)＝kx＋2＋k，因为当－3需满足即
解得－≤k≤1，
所以实数k的取值范围是.
[变式拓展]
1．解：∵直线l：y＝kx＋2＋k不经过第四象限，∴解得k≥0，故k的取值范围是[0，＋∞)．
2．解：如图所示，直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，则k>0，直线l：kx－y＋2＋k＝0中，令y＝0，解得x＝－，令x＝0，解得y＝2＋k，∴S△AOB＝×OA×OB＝××(2＋k)＝＝＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当＝，即k＝2时等号成立．∴S的最小值为4，此时的直线方程为2x－y＋4＝0.
[针对训练]
5．选C　直线kx－y＋1－3k＝0变形为y－1＝k(x－3)，由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1)．
6．解析：令x＝0，得y＝k.令y＝0，得x＝－2k.所以|k|·|－2k|≥1，即k2≥1.
解得k≤－1或k≥1.
答案：(－∞，－1]∪[1，＋∞)
1 / 4(共53张PPT)
1.2.1
直线的点斜式方程
[教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学]
课时目标
1.了解由斜率公式推导直线点斜式方程的过程，掌握点斜式方程和斜截式方程的特点及适用范围.
2.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关问题，体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时检测
课前预知教材·自主落实基础
01
1.直线的点斜式方程
(1)过点P1(x1，y1)，斜率为k的直线方程______________叫作直线的点斜式方程，简称点斜式.
(2)过点P1(x1，y1)且与x轴垂直的直线方程为_________.
y-y1=k(x-x1)
x=x1
|微|点|助|解|
(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能用此式.
(2)当直线与x轴平行或重合时方程可简写为y=y1，特别地，x轴的方程是y=0.当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程，此时可将方程写成x=x1，特别地，y轴的方程是x=0.
2.直线的斜截式方程
(1)直线l与y轴的交点(0，b)的____________称为直线l在y轴上的截距.
(2)方程____________叫作直线的斜截式方程，简称斜截式.
纵坐标b
y=kx+b
|微|点|助|解|
(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况，由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距.
(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在 x 轴上的截距和在 y 轴上的截距都为0.
(3)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y=kx+b的形式，但有区别：当k≠0时，y=kx+b为一次函数;当k=0时，y=b，不是一次函数.故一次函数y=kx+b(k≠0)一般可看成一条直线的斜截式方程.
3.曲线的方程和方程的曲线
一般地，当点P在曲线C上时，其坐标(x，y)满足方程F(x，y)=0，并且以方程F(x，y)=0的解为坐标的点(x，y)都在__________上.这时，我们将方程F(x，y)=0称为曲线C的方程，也称曲线C为方程F(x，y)=0的曲线.
曲线C
基础落实训练
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)也可写成k=.(　　)
(2)直线y-3=k(x+1)恒过定点(-1，3).(　　)
(3)直线y-2=3(x+1)的斜率是3. (　　)
×
√
√
2.若直线l过点(-1，1)且斜率为1，则直线l的方程为 (　　)
A.x-y-2=0 B.x+y-2=0
C.x-y+2=0 D.x+y+2=0
解析：直线l的斜率为1，又直线l过点(-1，1)，则直线l的方程为y-1=
x+1，即x-y+2=0.
√
3.直线l在y轴上的截距为2，且斜率为-1，则该直线方程为 (　　)
A.y=-x+2 B.y=x+2
C.y=x-2 D.y=-x-2
√
4.直线y=x+3在y轴上的截距为_______________.
解析：由直线的斜截式可得，直线y=x+3在y轴上的截距为3.
3
课堂题点研究·迁移应用融通
02
题型(一)　直线的点斜式方程
[例1]　写出下列直线的点斜式方程：
(1)经过点B(-1，4)，倾斜角为135°;
解：由题意知，直线的斜率k=tan 135°=-1，故所求直线的点斜式方程为y-4=-[x-(-1)].
(2)过点C(-1，2)，且与y轴平行;
解：∵直线与y轴平行，∴斜率不存在，
∴直线的方程不能用点斜式表示.由于直线上所有点的横坐标都是-1，故这条直线的方程为x=-1.
(3)过点D(2，1)和E(3，-4);
解：∵直线过点D(2，1)和E(3，-4)，∴斜率k==-5.故所求直线的点斜式方程为y-1=-5(x-2).
(4)经过点(2，-3)，倾斜角是直线y=x倾斜角的2倍.
解：∵y=x的斜率是，∴直线y=x的倾斜角为30°，
∴所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为.
∴所求直线的点斜式方程为y+3=(x-2).
|思|维|建|模|
求直线的点斜式方程的思路
针对训练
1.[多选]已知直线l的倾斜角为45°，且过点(1，2)，则在直线上的点是 (　　)
A.(0，1) B.(-2，-1)
C.(3，3) D.(3，2)
解析：直线的斜率k=tan 45°=1，方程为y-2=x-1，即y=x+1，将A、B、C、D中各点代入知，A、B正确.
√
√
2.求满足下列条件的直线的点斜式方程.
(1)过点P(-3，-1)，斜率k=;
解：∵直线过点P(-3，-1)，斜率k=，∴直线的点斜式方程为y+1=(x+3).
(2)过点P(0，5)，且与x轴平行;
解：∵与x轴平行的直线斜率为0，
∴直线的方程为y=5.
(3)过点P(，1)，倾斜角是120°.
解：∵直线的倾斜角是120°，
∴k=tan 120°=-.又直线过点P(，1)，
∴直线的点斜式方程为y-1=-(x-).
题型(二)　直线的斜截式方程
[例2]　写出下列直线的斜截式方程：
(1)直线的斜率是3，在y轴上的截距是-3;
解：由直线的斜截式方程可知，所求方程为y=3x-3.
(2)直线的倾斜角是60°，在y轴上的截距是5;
解：∵k=tan 60°=，
∴所求直线的斜截式方程为y=x+5.
(3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为-2.
解：∵直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为-2，
∴直线过点(4，0)和(0，-2).∴k==，
∴所求直线的斜截式方程为y=x-2.
|思|维|建|模|
直线的斜截式方程的求解策略
(1)求直线的斜截式方程只要分别把直线的斜率和在y轴上的截距代入方程即可.
(2)当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和截距，再写出直线的斜截式方程.
针对训练
3.如果直线l的斜率和在y轴上的截距分别为直线y=x+2的斜率的一半和在y轴上截距的两倍，那么直线l的方程是______________.
解析：直线y=x+2的斜率为，在y轴上的截距为2，则直线l的斜率为，在y轴上的截距为4，故直线l的方程是y=x+4.
y=x+4
4.根据下列条件求直线的斜截式方程：
(1)斜率是，截距是-2;
解：由题意，当直线在y轴上的截距为-2时，直线的斜截式方程为y=x-2;当直线在x轴上的截距为-2时，直线的方程为y=(x+2)，即直线的斜截式方程为y=x+.综上，直线的斜截式方程为y=x-2或y=x+.
(2)倾斜角是135°，截距是3;
解：由题意，直线倾斜角是135°，截距是3，所以斜率为k=tan 135°
=-1.当直线在y轴上的截距为3时，直线的斜截式方程为y=-x+3;当直线在x轴上的截距为3时，直线的方程为y=-(x-3)，所以直线的斜截式方程为y=-x+3.综上，直线的斜截式方程为y=-x+3.
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
解：因为直线的倾斜角为60°，所以斜率k=tan 60°=.
因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，
所以直线在y轴上的截距b=3或b=-3，
故所求直线的斜截式方程为y=x+3或y=x-3.
[例3]　已知直线l：y=kx+2+k.
(1)求证：直线l恒过一个定点;
题型(三)　含参数的直线方程的几何特征
解：证明：由y=kx+2+k，得y-2=k(x+1)，由直线的点斜式方程可知，直线恒过定点(-1，2).
(2)当-3解：设y=f(x)=kx+2+k，因为当-3需满足即
解得-≤k≤1，所以实数k的取值范围是.
1.若本例(2)条件改为直线不经过第四象限，求k的取值范围.
变式拓展
解：∵直线l：y=kx+2+k不经过第四象限，
∴解得k≥0，故k的取值范围是[0，+∞).
2.若本例条件变为直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程.
解：如图所示，直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，则k>0，直线l：kx-y+2+k=0中，令y=0，解得x=-，
令x=0，解得y=2+k，∴S△AOB=×OA×OB
=××(2+k)==++2≥2+2=4，
当且仅当=，即k=2时等号成立.
∴S的最小值为4，此时的直线方程为2x-y+4=0.
|思|维|建|模|
　　对于含参数k的直线方程y-y0=k(x-x0)，该直线恒过定点(x0，y0).
5.已知直线kx-y+1-3k=0，当k变化时，所有的直线恒过定点 (　　)
A.(1，3) B.(-1，-3)
C.(3，1) D.(-3，-1)
针对训练
解析：直线kx-y+1-3k=0变形为y-1=k(x-3)，由直线的点斜式可得直线恒过定点(3，1).
√
6.若直线y=x+k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是___________________.
解析：令x=0，得y=k.令y=0，得x=-2k.所以|k|·|-2k|≥1，即k2≥1.
解得k≤-1或k≥1.
(-∞，-1]∪[1，+∞)
课时检测
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2
1.方程y=k(x-2)表示 (　　)
A.通过点(-2，0)的所有直线
B.通过点(2，0)的所有直线
C.通过点(2，0)且不垂直于x轴的所有直线
D.通过点(2，0)且除去x轴的所有直线
√
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解析：易验证直线通过点(2，0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴.
1
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2
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2.已知直线l的方程为y+=(x-1)，则l在y轴上的截距为(　　)
A.9 B.-9
C. D.-
√
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解析：由y+=(x-1)，得y=x-9，∴l在y轴上的截距为-9.
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2
3.已知直线方程为y=-x+2，则直线的倾斜角为 (　　)
A. B.
C. D.
√
15
16
解析：设直线y=-x+2的倾斜角为θ，可知tan θ=k=-1 ，又 0≤θ<π，所以θ=.
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2
4.已知直线l1：y=k1x+b1与l2：y=k2x+b2的位置关系如图所示，则有 (　　)
A.k1b2
C.k1>k2且b1>b2 D.k1>k2且b1√
15
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解析：设直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2.由题图可知90°<α1<α2<180°，所以k10，
所以b17
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5.[多选]下列说法正确的是 (　　)
A.若直线过点(-3，-2)且与x轴平行，则该直线的方程为y=-2
B.直线y=ax-3a+2过定点(3，2)
C.方程x+my-2=0(m∈R)能表示平行于y轴的直线
D.经过点P(1，1)，倾斜角为θ的直线方程为y-1=tan θ(x-1)
√
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√
√
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2
解析：对于A，因为直线与x轴平行，故斜率为0，所以直线方程为y=-2;
对于B，直线y=ax-3a+2，整理得y-2=a(x-3)，所以无论a取何值，点(3，2)都满足方程，故B正确;
对于C，当m=0时，x=2，表示平行于y轴的直线，故C正确;
对于D，当θ=90°时，该直线斜率不存在，故D错误.
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6.[多选]已知直线l过点(-1，2)，倾斜角为θ，若sin θ=，则直线l的方程可能是(　　)
A.3x-4y+11=0 B.4x-3y+10=0
C.3x+4y-5=0 D.4x+3y-2=0
√
解析：因为sin θ=，θ∈[0，π)，所以cos θ=±.所以直线l的斜率k==±.当k=时，直线l的方程为y-2=(x+1)，即3x-4y+11=0;
当k=-时，直线l的方程为y-2=-(x+1)，即3x+4y-5=0.
√
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7.一次函数y=-x+的图象经过第一、三、四象限的必要不充分条件是(　　)
A.m>1，且n<1 B.mn<0
C.m>0，且n<0 D.m<0，且n<0
√
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解析：由直线y=-x+经过第一、三、四象限，得->0，<0，∴m>0，n<0.因此一次函数y=-x+的图象经过第一、三、四象限的必要不充分条件为mn<0.
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8.(5分)在y轴上的截距为-6，且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程是_____________________.
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解析：因为直线与y轴相交成30°角，所以直线的倾斜角为60°或120°，所以直线的斜率为或-.又因为在y轴上的截距为-6，所以直线的斜截式方程是y=x-6或y=-x-6.
y=x-6或y=-x-6
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9.(5分)已知两点A，B，则直线AB的斜率k的值是________，直线AB在y轴上的截距是_________.
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解析：根据题意，得直线AB的斜率k==3，则直线AB的点斜式方程为y-(-1)=3，变形可得y=3x-，则直线AB在y轴上的截距是-.
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10.(5分)将直线y=x+-1绕其上面一点(1，)沿逆时针方向旋转15°，所得到的直线的点斜式方程是____________________.
15
16
解析：由y=x+-1得直线的斜率为1，倾斜角为45°.∵沿逆时针方向旋转15°后，倾斜角变为60°，∴所求直线的斜率为.又∵直线过点(1，)，∴由直线的点斜式方程可得y-=(x-1).
y-=(x-1)
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11.(5分)已知直线l的斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的周长是30，则直线l的方程为___________________________.
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解析：由直线l的斜率为，可设直线l的方程为y=x+b.令x=0，得y=b;令y=0，得x=-b.
由题意得b+-b+=30，
∴b+b+b=30，∴b=±5.
∴所求直线l的方程为y=x±5，即5x-12y+60=0或5x-12y-60=0.
5x-12y+60=0或5x-12y-60=0
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12.(5分)设点A(-1，0)，B(1，0)，若直线2x+y-b=0与线段AB相交，则b的取值范围是_____________.
15
16
解析：b为直线y=-2x+b在y轴上的截距，如图，当直线y=-2x+b过点
A(-1，0)和点B(1，0)时，b分别取得最小值和最大值.所以b的取值范围是[-2，2].
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[-2，2]
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13.(5分)已知直线l过点(2，2)，且与x轴和直线y=x围成的三角形的面积为2，则直线l的方程为________________.
15
16
解析：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，经检验符合题目要求.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y-2=k(x-2)，即y=kx-2k+2.
当k=0时，显然不符合题意;
当k≠0时，令y=0，得x=，由三角形的面积为2，得××2=2，解得k=，故直线l的方程为y-2=(x-2)，即x-2y+2=0.
综上所述，直线l的方程为x=2或x-2y+2=0.
x=2或x-2y+2=0
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14.(10分)求倾斜角是直线y=-x+1的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程.
(1)经过点(，-1);(5分)
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解：∵直线y=-x+1的斜率k=-，∴其倾斜角α=120°.
由题意，得所求直线的倾斜角α1=α=30°，
故所求直线的斜率k1=tan 30°=.
∵所求直线经过点(，-1)，斜率为，
∴所求直线方程是y+1=(x-)，即x-3y-6=0.
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(2)在y轴上的截距是-5.(5分)
15
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解：∵所求直线的斜率是，在y轴上的截距为-5，
∴所求直线的方程为y=x-5，
即x-3y-15=0.
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15.(15分)在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(1，1)，B(5，1)，点C在x轴上，且∠CAB=.
(1)求直线AC的斜率;(7分)
15
16
解：如图，A(1，1)，B(5，1)，可知直线AB平行于x轴，已知点C在x轴上且∠CAB=，可知直线AC与x轴非负半轴
所夹角度为，即直线AC的倾斜角为，
故直线AC的斜率kAC=tan =-1.
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(2)求直线BC的方程.(8分)
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解：由(1)可知kAC=-1，可得直线AC的方程为y-1=-1(x-1)，
即lAC：x+y-2=0，
将y=0代入，即求得C点坐标为(2，0).
已知B(5，1)，kBC==，可得直线BC的方程为y-0=(x-2)，
化简得lBC：x-3y-2=0.
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16.(15分)已知t∈(0，5]，由t确定两个点P(t，t)，Q(10-t，0).
(1)写出直线PQ的方程(答案含t);(5分)
15
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解：由题意知当直线斜率存在时，kPQ=，
当t=5时，直线PQ的方程为x=5，当t≠5时，
直线PQ的方程为y-t=(x-t).
即(2t-10)y=t(x+t-10).
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(2)在△OPQ内作内接正方形ABCD，顶点A，B在边OQ上，顶点C在边PQ上.若OA=a，当正方形ABCD的面积最大时，求a，t的值.(10分)
15
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解：由P(t，t)和四边形ABCD为正方形可知OA=AD=AB，因为OA=a，所以A(a，0)，B(2a，0)，C(2a，a)，因为点C(2a，a)在直线PQ上，所以(2t-10)a=t(2a+t-10)，所以a=t(10-t)=-(t-5)2+
.又当正方形ABCD的面积最大时，a最大，所以
当t=5时，a=，此时四边形ABCD的面积最大.
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11课时检测(二)　直线的点斜式方程
(标的题目为推荐讲评题,配有精品课件.选择、填空题请在后面的答题区内作答)
1.方程y=k(x-2)表示 (　　)
A.通过点(-2,0)的所有直线
B.通过点(2,0)的所有直线
C.通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线
D.通过点(2,0)且除去x轴的所有直线
2.已知直线l的方程为y+=(x-1),则l在y轴上的截距为 (　　)
A.9 B.-9
C. D.-
3.已知直线方程为y=-x+2,则直线的倾斜角为 (　　)
A. B.
C. D.
4.已知直线l1:y=k1x+b1与l2:y=k2x+b2的位置关系如图所示,则有 (　　)
A.k1b2
C.k1>k2且b1>b2 D.k1>k2且b15.[多选]下列说法正确的是 (　　)
A.若直线过点(-3,-2)且与x轴平行,则该直线的方程为y=-2
B.直线y=ax-3a+2过定点(3,2)
C.方程x+my-2=0(m∈R)能表示平行于y轴的直线
D.经过点P(1,1),倾斜角为θ的直线方程为y-1=tan θ(x-1)
6.[多选]已知直线l过点(-1,2),倾斜角为θ,若sin θ=,则直线l的方程可能是 (　　)
A.3x-4y+11=0
B.4x-3y+10=0
C.3x+4y-5=0
D.4x+3y-2=0
7.一次函数y=-x+的图象经过第一、三、四象限的必要不充分条件是 (　　)
A.m>1,且n<1 B.mn<0
C.m>0,且n<0 D.m<0,且n<0
8.(5分)在y轴上的截距为-6,且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程是　　　　　　　　.
9.(5分)已知两点A,B,则直线AB的斜率k的值是　　　,直线AB在y轴上的截距是　　　　.
10.(5分)将直线y=x+-1绕其上面一点(1,)沿逆时针方向旋转15°,所得到的直线的点斜式方程是　　　　　　　　　.
11.(5分)已知直线l的斜率为,且与坐标轴所围成的三角形的周长是30,则直线l的方程为　　　　 　　.
12.(5分)设点A(-1,0),B(1,0),若直线2x+y-b=0与线段AB相交,则b的取值范围是　　　　.
13.(5分)已知直线l过点(2,2),且与x轴和直线y=x围成的三角形的面积为2,则直线l的方程为　　　　.
14.(10分)求倾斜角是直线y=-x+1的倾斜角的,且分别满足下列条件的直线方程.
(1)经过点(,-1);(5分)
(2)在y轴上的截距是-5.(5分)
15.(15分)在平面直角坐标系Oxy中,已知点A(1,1),B(5,1),点C在x轴上,且∠CAB=.
(1)求直线AC的斜率;(7分)
(2)求直线BC的方程.(8分)
16.(15分)已知t∈(0,5],由t确定两个点P(t,t),Q(10-t,0).
(1)写出直线PQ的方程(答案含t);(5分)
(2)在△OPQ内作内接正方形ABCD,顶点A,B在边OQ上,顶点C在边PQ上.若OA=a,当正方形ABCD的面积最大时,求a,t的值.(10分)
课时检测(二)
1．选C　易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴．
2．选B　由y＋＝(x－1)，得y＝x－9，∴l在y轴上的截距为－9.
3．选B　设直线y＝－x＋2的倾斜角为θ，可知tan θ＝k＝－1 ，又 0≤θ<π，所以θ＝.
4．选A　设直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2.由题图可知90°<α1<α2<180°，所以k10，所以b15．选ABC　对于A，因为直线与x轴平行，故斜率为0，所以直线方程为y＝－2；对于B，直线y＝ax－3a＋2，整理得y－2＝a(x－3)，所以无论a取何值，点(3,2)都满足方程，故B正确；对于C，当m＝0时，x＝2，表示平行于y轴的直线，故C正确；对于D，当θ＝90°时，该直线斜率不存在，故D错误．
6．选AC　因为sin θ＝，θ∈[0，π)，所以cos θ＝±.所以直线l的斜率k＝＝±.当k＝时，直线l的方程为y－2＝(x＋1)，即3x－4y＋11＝0；当k＝－时，直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即3x＋4y－5＝0.
7．选B　由直线y＝－x＋经过第一、三、四象限，得－>0，<0，∴m>0，n<0.因此一次函数y＝－x＋的图象经过第一、三、四象限的必要不充分条件为mn<0.
8．解析：因为直线与y轴相交成30°角，所以直线的倾斜角为60°或120°，所以直线的斜率为或－.又因为在y轴上的截距为－6，所以直线的斜截式方程是y＝x－6或y＝－x－6.
答案：y＝x－6或y＝－x－6
9．解析：根据题意，得直线AB的斜率k＝＝3，则直线AB的点斜式方程为y－(－1)＝3，变形可得y＝3x－，则直线AB在y轴上的截距是－.
答案：3　－
10．解析：由y＝x＋－1得直线的斜率为1，倾斜角为45°.∵沿逆时针方向旋转15°后，倾斜角变为60°，∴所求直线的斜率为.
又∵直线过点(1，)，∴由直线的点斜式方程可得y－＝(x－1)．
答案：y－＝(x－1)
11．解析：由直线l的斜率为，可设直线l的方程为y＝x＋b.令x＝0，得y＝b；
令y＝0，得x＝－b.由题意得b＋－b＋ ＝30，
∴b＋b＋b＝30，∴b＝±5.
∴所求直线l的方程为y＝x±5，即5x－12y＋60＝0或5x－12y－60＝0.
答案：5x－12y＋60＝0或5x－12y－60＝0
12．解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值．所以b的取值范围是[－2,2]．
答案：[－2,2]
13．解析：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，经检验符合题目要求．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x－2)，即y＝kx－2k＋2.
当k＝0时，显然不符合题意；
当k≠0时，令y＝0，得x＝，由三角形的面积为2，得××2＝2，解得k＝，故直线l的方程为y－2＝(x－2)，即x－2y＋2＝0.综上所述，直线l的方程为x＝2或x－2y＋2＝0.
答案：x＝2或x－2y＋2＝0
14．解：∵直线y＝－x＋1的斜率k＝－，
∴其倾斜角α＝120°.
由题意，得所求直线的倾斜角α1＝α＝30°，
故所求直线的斜率k1＝tan 30°＝.
(1)∵所求直线经过点(，－1)，斜率为，
∴所求直线方程是y＋1＝(x－)，
即x－3y－6＝0.
(2)∵所求直线的斜率是，在y轴上的截距为－5，∴所求直线的方程为y＝x－5，
即x－3y－15＝0.
15．解：(1)如图，A(1,1)，B(5,1)，可知直线AB平行于x轴，
已知点C在x轴上且∠CAB＝，可知直线AC与x轴非负半轴所夹角度为，即直线AC的倾斜角为，故直线AC的斜率kAC＝tan＝－1.
(2)由(1)可知kAC＝－1，可得直线AC的方程为y－1＝－1(x－1)，即lAC：x＋y－2＝0，
将y＝0代入，即求得C点坐标为(2,0)．
已知B(5,1)，kBC＝＝，可得直线BC的方程为y－0＝(x－2)，化简得lBC：x－3y－2＝0.
16．解：(1)由题意知当直线斜率存在时，kPQ＝，
当t＝5时，直线PQ的方程为x＝5，当t≠5时，直线PQ的方程为y－t＝(x－t)．
即(2t－10)y＝t(x＋t－10)．
(2)由P(t，t)和四边形ABCD为正方形可知OA＝AD＝AB，因为OA＝a，所以A(a,0)，B(2a，0)，C(2a，a)，因为点C(2a，a)在直线PQ上，所以(2t－10)a＝t(2a＋t－10)，所以a＝t(10－t)＝－(t－5)2＋.又当正方形ABCD的面积最大时，a最大，所以当t＝5时，a＝，此时四边形ABCD的面积最大．
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