资源简介

1.2.3　直线的一般式方程 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
[课时目标]
1.了解直线的一般式方程的形式特征,理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系.
2.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化.能运用直线的一般式方程解决有关问题.
1.直线的一般式方程
任何一个关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B　　　　)都表示　　　　　.方程Ax+By+C=0(A,B,不全为0)叫作直线的一般式方程,简称一般式.
2.直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式方程的关系
|微|点|助|解|
(1)直线的一般式方程是关于x,y的二元一次方程,方程中等号的左侧自左向右一般按x,y,常数的先后顺序排列,x的系数一般不为分数和负数;
(2)当A≠0,B=0时,直线与x轴垂直,即直线与y轴平行或重合;
(3)当A=0,B≠0时,直线与y轴垂直,即直线与x轴平行或重合.
基础落实训练
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)任何直线方程都能表示为一般式. (　　)
(2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化. (　　)
(3)对于二元一次方程Ax+By+C=0,当A=0,B≠0时,方程表示斜率不存在的直线. (　　)
(4)当A,B同时为零时,方程Ax+By+C=0也可表示为一条直线. (　　)
2.直线x+y+1=0的倾斜角为 (　　)
A. B.
C. D.
3.[多选]直线l在平面直角坐标系中的位置如图,已知l∥x轴,则直线l的方程可以用下面哪种形式写出 (　　)
A.点斜式 B.斜截式
C.截距式 D.一般式
4.经过点A(8,-2),斜率为-2的直线方程为 (　　)
A.x+2y-4=0 B.x-2y-12=0
C.2x+y-14=0 D.x+2y+4=0
题型(一)　直线的一般式方程
[例1]　根据下列各条件分别写出直线的方程,并化成一般式.
(1)斜率是-,且经过点A(8,-6);
(2)在x轴和y轴上的截距分别是和-3;
(3)直线的倾斜角是直线y=-x+1的倾斜角的一半,且过点(-,2).
听课记录:
|思|维|建|模|
求直线的一般式方程的策略
(1)直线的一般式方程Ax+By+C=0中要求A,B不全为0.
(2)由直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程去分母、移项就可以转化为直线的一般式方程(化为一般式方程后原方程的限制条件就消失了);反过来,也可以由直线的一般式方程化为斜截式、截距式,注意斜截式、截距式的适用条件.
(3)解决与图象有关的问题时,常通过把直线的一般式方程化为斜截式,利用直线的斜率和纵截距作出判断.
　　[针对训练]
1.根据下列条件,写出直线的方程,并把它化为一般式.
(1)经过点A(8,-2),斜率是-;
(2)经过点B(4,2),平行于x轴;
(3)经过点P1(3,-2),P2(5,-4).
题型(二)　由截距、斜率的值求参数
[例2]　设直线l的方程为(m2-m-6)x+(3m2+5m-2)y=3m+6(m∈R,m≠-2),根据下列条件分别求m的值.
(1)l在x轴上的截距是-4;
(2)l的斜率为.
听课记录:
　　[变式拓展]
1.若本例中直线l的倾斜角为45°,试求m的值.
2.若本例中直线l在x轴和y轴上的截距相等,试求m的值.
3.若本例中直线l垂直于y轴,试求m的值.
|思|维|建|模|
(1)求一般式表示的直线的斜率与其在y轴上的截距,可将其化为斜截式,求其在x轴上的截距,可令y=0,解出x即为所求.
(2)涉及字母参数时,注意分母为零的讨论.
题型(三)　直线的一般式方程的应用
[例3]　已知直线l:(m+2)x-(2m+1)y-3=0(m∈R),直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A,B两点.
(1)证明:直线l过定点;
(2)已知点P(-1,-2),当·最小时,求实数m的值.
听课记录:
|思|维|建|模|
含参直线方程的研究策略
(1)明确各种形式方程的系数的几何意义.如点斜式中的斜率k和定点(x0,y0),斜截式中的斜率k和y轴上的截距b,两点式中的两点坐标,截距式中x轴和y轴上的截距a,b.
(2)对已知方程进行必要的转化.
　　[针对训练]
2.已知直线l:ax+(1-2a)y+1-a=0.
(1)当直线l在x轴上的截距是它在y轴上的截距的3倍时,求实数a的值;
(2)当直线l不通过第四象限时,求实数a的取值范围.
1.2.3　直线的一般式方程
?课前预知教材
1．不全为0　一条直线
[基础落实训练]
1．(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2．选B　设直线的倾斜角为α，则直线斜率k＝－＝tan α，因为α∈[0，π)，则α＝，故选B.
3．ABD　4.C
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1]　解：(1)根据点斜式可得直线方程为y＋6＝－(x－8)，化简可得x＋2y＋4＝0.
(2)根据截距式可得直线方程为＋＝1，化简可得2x－y－3＝0.
(3)因为直线y＝－x＋1的斜率为－，所以直线y＝－x＋1的倾斜角为120°，所以由题意得所求直线的倾斜角为60°，则斜率k＝tan 60°＝.
设所求直线为y＝x＋c，将(－，2)代入可得2＝×(－)＋c，解得c＝5，
所以所求直线方程为y＝x＋5，
整理得x－y＋5＝0.
[针对训练]
1．解：(1)由点斜式写出直线方程y＝－(x－8)－2＝－x＋2，其一般式为x＋2y－4＝0.
(2)由点斜式写出直线方程y＝0×(x－4)＋2＝2，其一般式为y－2＝0.
(3)由两点式写出直线方程＝ ＝，其一般式为x＋y－1＝0.
[题型(二)]
[例2]　解：(1)令y＝0，得x＝，
由＝－4，解得m＝.
(2)直线l的斜率k＝－＝－.
由－＝，解得m＝.
[变式拓展]
1．解：由k＝－＝tan 45°，
即3－m＝3m－1，得m＝1.
2．解：当x＝0时，y＝＝，
当y＝0时，x＝，
则＝，即m＝－1.
3．解：由直线l的斜率k＝－＝0，
得m＝3.
[题型(三)]
[例3]　解：(1)证明：已知直线l：(m＋2)x－(2m＋1)y－3＝0(m∈R)，则(x－2y)m＋2x－y－3＝0，由解得即直线l过定点(2,1)．
(2)设直线的方程为＋＝1，a>0，b>0，则A(a,0)，B(0，b)，又直线l过定点(2,1)，
所以＋＝1.又点P(－1，－2)，则·＝(a＋1,2)·(1，b＋2)＝a＋2b＋5＝(a＋2b)＋5＝9＋＋≥9＋2＝13，当且仅当＝，即a＝4，b＝2时取等号，所以直线l的方程为x＋2y－4＝0，所以直线l过(4,0)，即4(m＋2)－3＝0，解得m＝－.
[针对训练]
2．解：(1)由条件知，a≠0且a≠，在直线l的方程中，令y＝0得x＝，令x＝0得y＝，∴＝×3，解得a＝1或a＝，经检验，a＝1，a＝均符合要求，故实数a的值为1或.
(2)当a＝时，直线l的方程为x＋＝0.
即x＝－1，此时直线l不通过第四象限；
当a≠时，直线l的方程为y＝x＋.直线l不通过第四象限，即解得1 / 4(共43张PPT)
1.2.3
直线的一般式方程
[教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学]
课时目标
1.了解直线的一般式方程的形式特征，理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系.
2.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化.能运用直线的一般式方程解决有关问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时检测
课前预知教材·自主落实基础
01
1.直线的一般式方程
任何一个关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(A，B__________)都表示____________.方程Ax+By+C=0(A，B，不全为0)叫作直线的一般式方程，简称一般式.
不全为0
一条直线
2.直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式方程的关系
|微|点|助|解|
(1)直线的一般式方程是关于x，y的二元一次方程，方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列，x的系数一般不为分数和负数；
(2)当A≠0，B=0时，直线与x轴垂直，即直线与y轴平行或重合；
(3)当A=0，B≠0时，直线与y轴垂直，即直线与x轴平行或重合.
基础落实训练
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何直线方程都能表示为一般式.(　　)
(2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化.(　　)
(3)对于二元一次方程Ax+By+C=0，当A=0，B≠0时，方程表示斜率不存在的直线.(　　)
(4)当A，B同时为零时，方程Ax+By+C=0也可表示为一条直线.(　　)
√
×
×
×
2.直线x+y+1=0的倾斜角为(　　)
A. B.
C. D.
解析：设直线的倾斜角为α，则直线斜率k=-=tan α，
因为α∈[0，π)，则α=，故选B.
√
3.[多选]直线l在平面直角坐标系中的位置如图，已知l∥x轴，则直线l的方程可以用下面哪种形式写出 (　　)
A.点斜式 B.斜截式
C.截距式 D.一般式
√
√
√
4.经过点A(8，-2)，斜率为-2的直线方程为 (　　)
A.x+2y-4=0 B.x-2y-12=0
C.2x+y-14=0 D.x+2y+4=0
√
课堂题点研究·迁移应用融通
02
题型(一)　直线的一般式方程
[例1]　根据下列各条件分别写出直线的方程，并化成一般式.
(1)斜率是-，且经过点A(8，-6)；
解：根据点斜式可得直线方程为y+6=-(x-8)，化简可得x+2y+4=0.
(2)在x轴和y轴上的截距分别是和-3；
解：根据截距式可得直线方程为+=1，化简可得2x-y-3=0.
(3)直线的倾斜角是直线y=-x+1的倾斜角的一半，且过点(-，2).
解：因为直线y=-x+1的斜率为-，所以直线y=-x+1的倾斜角为120°，所以由题意得所求直线的倾斜角为60°，
则斜率k=tan 60°=.
设所求直线为y=x+c，将(-，2)代入可得2=×(-)+c，
解得c=5，所以所求直线方程为y=x+5，
整理得x-y+5=0.
|思|维|建|模|
求直线的一般式方程的策略
(1)直线的一般式方程Ax+By+C=0中要求A，B不全为0.
(2)由直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程去分母、移项就可以转化为直线的一般式方程(化为一般式方程后原方程的限制条件就消失了)；反过来，也可以由直线的一般式方程化为斜截式、截距式，注意斜截式、截距式的适用条件.
(3)解决与图象有关的问题时，常通过把直线的一般式方程化为斜截式，利用直线的斜率和纵截距作出判断.
针对训练
1.根据下列条件，写出直线的方程，并把它化为一般式.
(1)经过点A(8，-2)，斜率是-；
解：由点斜式写出直线方程y=-(x-8)-2=-x+2，其一般式为x+2y-4=0.
(2)经过点B(4，2)，平行于x轴；
解：由点斜式写出直线方程y=0×(x-4)+2=2，其一般式为y-2=0.
(3)经过点P1(3，-2)，P2(5，-4).
解：由两点式写出直线方程= =，
其一般式为x+y-1=0.
题型(二)　由截距、斜率的值求参数
[例2]　设直线l的方程为(m2-m-6)x+(3m2+5m-2)y=3m+6(m∈R，m≠
-2)，根据下列条件分别求m的值.
(1)l在x轴上的截距是-4；
解：令y=0，得x=，由=-4，解得m=.
(2)l的斜率为.
解：直线l的斜率k=-=-.
由-=，解得m=.
1.若本例中直线l的倾斜角为45°，试求m的值.
变式拓展
解：由k=-=tan 45°，即3-m=3m-1，得m=1.
2.若本例中直线l在x轴和y轴上的截距相等，试求m的值.
解：当x=0时，y==，当y=0时，x=，则=，即m=-1.
3.若本例中直线l垂直于y轴，试求m的值.
解：由直线l的斜率k=-=0，得m=3.
|思|维|建|模|
(1)求一般式表示的直线的斜率与其在y轴上的截距，可将其化为斜截式，求其在x轴上的截距，可令y=0，解出x即为所求.
(2)涉及字母参数时，注意分母为零的讨论.
[例3]　已知直线l：(m+2)x-(2m+1)y-3=0(m∈R)，直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点.
(1)证明：直线l过定点；
题型(三)　直线的一般式方程的应用
解：证明：已知直线l：(m+2)x-(2m+1)y-3=0(m∈R)，
则(x-2y)m+2x-y-3=0，由解得
即直线l过定点(2，1).
(2)已知点P(-1，-2)，当·最小时，求实数m的值.
解：设直线的方程为+=1，a>0，b>0，则A(a，0)，B(0，b)，
又直线l过定点(2，1)，
所以+=1.又点P(-1，-2)，则·=(a+1，2)·(1，b+2)=a+2b+5=(a+2b)+5=9++≥9+2=13，当且仅当=，即a=4，b=2时取等号，所以直线l的方程为x+2y-4=0，所以直线l过(4，0)，即4(m+2)-3=0，解得m=-.
|思|维|建|模|
含参直线方程的研究策略
(1)明确各种形式方程的系数的几何意义.如点斜式中的斜率k和定点(x0，y0)，斜截式中的斜率k和y轴上的截距b，两点式中的两点坐标，截距式中x轴和y轴上的截距a，b.
(2)对已知方程进行必要的转化.
针对训练
2.已知直线l：ax+(1-2a)y+1-a=0.
(1)当直线l在x轴上的截距是它在y轴上的截距的3倍时，求实数a的值；
解：由条件知，a≠0且a≠，在直线l的方程中，令y=0得x=，
令x=0得y=，
∴=×3，解得a=1或a=，
经检验，a=1，a=均符合要求，故实数a的值为1或.
(2)当直线l不通过第四象限时，求实数a的取值范围.
解：当a=时，直线l的方程为x+=0.即x=-1，此时直线l不通过第四象限；当a≠时，直线l的方程为y=x+.
直线l不通过第四象限，即
解得课时检测
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1.直线+=1化成一般式方程为(　　)
A.y=-x+4 B.y=-(x-3)
C.4x+3y-12=0 D.4x+3y=12
√
解析：由+=1可得4x+3y=12，即4x+3y-12=0.
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2.若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线，则实数m满足 (　　)
A.m≠0 B.m≠-
C.m≠1 D.m≠1，m≠，m≠0
√
15
解析：因为方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线，所以2m2+m-3=0，m2-m=0不能同时成立，解得m≠1.
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3.经过点(1，)，倾斜角为120°的直线方程为(　　)
A.x+y-2=0 B.x-y=0
C.x+y-4=0 D.x-y+2=0
√
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解析：因为直线斜率为tan 120°=-，所以该直线方程为y-=
-(x-1)，即x+y-2=0.
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4.如果AC<0，BC>0，那么直线Ax+By+C=0不通过 (　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
√
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解析：因为AC<0，且BC>0，所以A，B，C均不为零，由直线方程Ax+By+C=0，可化为y=-x-，因为AC<0，且BC>0，可得k=
->0，y轴截距-<0，所以直线通过第一、三、四象限，不通过第二象限.
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5.若直线a2x+y-1=0的斜率大于-4，则a的取值范围为 (　　)
A.(-2，2) 　　B.(-2，0)∪(0，2)
C.(-∞，2) 　　D.(-∞，-2)∪(2，+∞)
√
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解析：直线a2x+y-1=0，即y=-a2x+1，则直线的斜率为-a2，即-a2>-4，
解得-21
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6.已知直线l的斜率与直线3x+4y-5=0的斜率相等，且l和两坐标轴在第一象限内所围成三角形面积是24，则直线l的方程是 (　　)
A.3x+4y-12=0 B.3x+4y+12=0
C.3x+4y-24=0 D.3x+4y+24=0
15
解析：直线3x+4y-5=0的斜率为-，可设l的方程为y=-x+b.令y=0，得x=b，由题可知·bb=24，得b=±6，由于直线l在第一象限与坐标轴围成三角形，所以b=6，所以选C.
√
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7.若直线l：(a-2)x+ay+2a-3=0经过第四象限，则a的取值范围为 (　　)
A.(-∞，0)∪(2，+∞)
B.(-∞，0)∪[2，+∞)
C.(-∞，0)∪
D.(-∞，0)∪
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√
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解析：若a=0，则l的方程为x=-，不经过第四象限.若a=2，则l的方程为y=-，经过第四象限.若a≠0且a≠2，将l的方程转化为y=-x-，因为l经过第四象限，所以-<0或解得a<0或2.综上，a的取值范围为(-∞，0)∪，故选C.
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8.(5分)若直线(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5m=0的倾斜角是45°，则实数m的值是___________.
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解析：由已知得∴m=3.
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9.(5分)若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，请写出一条与l垂直的直线方程________
_____________.
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解析：设直线方程为Ax+By+C=0，变换后：A(x+3)+B(y-1)+C=0，即Ax+By+C+3A-B=0，故3A-B=0.一条与l垂直的直线方程为Bx-Ay=0，即y=3x.
y=3x
(答案不唯一)
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10.(5分)已知两条直线a1x+b1y+4=0和a2x+b2y+4=0都过点A(2，3)，则过P1(a1，b1)，P2(a2，b2)两点的直线方程为______________.
15
解析：由题意得2a1+3b1+4=0，2a2+3b2+4=0，因此过P1(a1，b1)，P2(a2，b2)两点的直线的方程为2x+3y+4=0.
2x+3y+4=0
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11.(5分)已知点M(-1，2)，N(2，3)，直线l：mx+y-m+2=0与线段MN有交点，则m的取值范围为___________________.
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解析：因为l：mx+y-m+2=0 y+2=-m(x-1)，即直线l过定点Q(1，-2)，斜率为-m，
因为kQM==-2，kQN==5，
如图所示，所以-m≤-2或-m≥5，
解得m≥2或m≤-5.
(-∞，-5]∪[2，+∞)
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12.(10分)已知在△ABC中，点A的坐标为(1，3)，边AB，AC上的中线所在直线的方程分别为x-2y+1=0和y-1=0，求△ABC各边所在直线的方程.
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解：设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点，∵点B在中线BE：y-1=0上，∴设点B坐标为(x，1).又点A坐标为(1，3)，D为AB的中点，由中点坐标公式得点D坐标为.又∵点D在中线CD：x-2y+1=0上，∴-2×2+1=0，解得x=5，∴点B坐标为(5，1).同理可求出点C坐标是(-3，-1).故可求出△ABC三边AB，BC，AC所在直线的方程分别为x+2y-7=0，x-4y-1=0，x-y+2=0.
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13.(10分)已知直线l1：3kx-(k+2)y+6=0，直线l2：kx+(2k-3)y+2=0.若这两条直线的倾斜角互补，求k的值.
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解：若l1的斜率不存在，则k=-2，此时直线l2：2x+7y-2=0，斜率为-，不符合题意，舍去.若l2的斜率不存在，则k=，此时直线l1：9x-7y+
12=0，斜率为，不符合题意，舍去.当l1，l2的斜率都存在时，因为这两条直线的倾斜角互补.所以+=0，即5k2-11k=0，解得k=0或k=.当k=0时，l1，l2的斜率都为0，不符合题意，舍去.综上，k=.
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14.(15分)已知直线l：(2λ+1)x+(λ+1)y-7λ-4=0.
(1)求证：不论实数λ取何值，直线l恒过一定点P；(8分)
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解：证明：由直线l：(2λ+1)x+(λ+1)y-7λ-4=0变形得λ(2x+y-7)+x+y-4=0，
令解得由于不论实数λ取何值，总是方程(2λ+1)x+(λ+1)y-7λ-4=0的一个解，
所以直线l恒过定点P(3，1).
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(2)在(1)的条件下，若直线l与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且P恰为线段AB的中点，求直线l的斜截式方程.(7分)
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解：设A(a，0)，B(0，b)，则由已知有
解得a=6，b=2.所以直线l的截距式方程为+=1，
即x+3y-6=0，故直线l的斜截式方程为y=-x+2.
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15.(15分)已知直线l的方程为(a+1)x+y-2-a=0(a∈R，a≠-1).
(1)若直线l与两坐标轴所围成的三角形为等腰直角三角形，求直线l的方程；(6分)
15
解：令x=0，则y=2+a，令y=0，则x=(a≠-1).
由题意得=|2+a|，解得a=0或a=-2.当a=-2时，直线l的方程为x-y=0，此时直线与两坐标轴不能围成三角形，不满足题意；当a=0时，直线l的方程为x+y-2=0，此时直线与两坐标轴所围成的三角形为等腰直角三角形，满足题意.综上，直线l的方程为x+y-2=0.
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(2)若a>-1，直线l与x，y轴分别交于M，N两点，O为坐标原点，求△OMN面积取得最小值时直线l的方程.(9分)
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解：由直线方程可得M，N(0，2+a)，因为a>-1，所以>0，2+a>0，所以S△OMN=××(2+a)=×=
≥=2，当且仅当a+1=，即a=0时，S△OMN取得最小值.此时直线l的方程为x+y-2=0.课时检测(四)　直线的一般式方程
(标的题目为推荐讲评题,配有精品课件.选择、填空题请在后面的答题区内作答)
1.直线+=1化成一般式方程为 (　　)
A.y=-x+4 B.y=-(x-3)
C.4x+3y-12=0 D.4x+3y=12
2.若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线,则实数m满足 (　　)
A.m≠0 B.m≠-
C.m≠1 D.m≠1,m≠,m≠0
3.经过点(1,),倾斜角为120°的直线方程为 (　　)
A.x+y-2=0 B.x-y=0
C.x+y-4=0 D.x-y+2=0
4.如果AC<0,BC>0,那么直线Ax+By+C=0不通过 (　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5.若直线a2x+y-1=0的斜率大于-4,则a的取值范围为 (　　)
A.(-2,2)
B.(-2,0)∪(0,2)
C.(-∞,2)
D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
6.已知直线l的斜率与直线3x+4y-5=0的斜率相等,且l和两坐标轴在第一象限内所围成三角形面积是24,则直线l的方程是 (　　)
A.3x+4y-12=0 B.3x+4y+12=0
C.3x+4y-24=0 D.3x+4y+24=0
7.若直线l:(a-2)x+ay+2a-3=0经过第四象限,则a的取值范围为 (　　)
A.(-∞,0)∪(2,+∞)
B.(-∞,0)∪[2,+∞)
C.(-∞,0)∪
D.(-∞,0)∪
8.(5分)若直线(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5m=0的倾斜角是45°,则实数m的值是　　　　.
9.(5分)若直线l沿x轴向左平移3个单位长度,再沿y轴向上平移1个单位长度后,回到原来的位置,请写出一条与l垂直的直线方程　　　　.
10.(5分)已知两条直线a1x+b1y+4=0和a2x+b2y+4=0都过点A(2,3),则过P1(a1,b1),P2(a2,b2)两点的直线方程为　　　　　.
11.(5分)已知点M(-1,2),N(2,3),直线l:mx+y-m+2=0与线段MN有交点,则m的取值范围为　　　　　　　　.
12.(10分)已知在△ABC中,点A的坐标为(1,3),边AB,AC上的中线所在直线的方程分别为x-2y+1=0和y-1=0,求△ABC各边所在直线的方程.
13.(10分)已知直线l1:3kx-(k+2)y+6=0,直线l2:kx+(2k-3)y+2=0.若这两条直线的倾斜角互补,求k的值.
14.(15分)已知直线l:(2λ+1)x+(λ+1)y-7λ-4=0.
(1)求证:不论实数λ取何值,直线l恒过一定点P;(8分)
(2)在(1)的条件下,若直线l与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,且P恰为线段AB的中点,求直线l的斜截式方程.(7分)
15.(15分)已知直线l的方程为(a+1)x+y-2-a=0(a∈R,a≠-1).
(1)若直线l与两坐标轴所围成的三角形为等腰直角三角形,求直线l的方程;(6分)
(2)若a>-1,直线l与x,y轴分别交于M,N两点,O为坐标原点,求△OMN面积取得最小值时直线l的方程.(9分)
课时检测(四)
1．选C　由＋＝1可得4x＋3y＝12，即4x＋3y－12＝0.
2．选C　因为方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，所以2m2＋m－3＝0，m2－m＝0不能同时成立，解得m≠1.
3．选A　因为直线斜率为tan 120°＝－，所以该直线方程为y－＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
4．选B　因为AC<0，且BC>0，所以A，B，C均不为零，由直线方程Ax＋By＋C＝0，可化为y＝－x－，因为AC<0，且BC>0，可得k＝－>0，y轴截距－<0，所以直线通过第一、三、四象限，不通过第二象限．
5．选A　直线a2x＋y－1＝0，即y＝－a2x＋1，则直线的斜率为－a2，即－a2>－4，解得－26．选C　直线3x＋4y－5＝0的斜率为－，可设l的方程为y＝－x＋b.令y＝0，得x＝b，由题可知·bb＝24，得b＝±6，由于直线l在第一象限与坐标轴围成三角形，所以b＝6，所以选C.
7．选C　若a＝0，则l的方程为x＝－，不经过第四象限．若a＝2，则l的方程为y＝－，经过第四象限．若a≠0且a≠2，将l的方程转化为y＝－x－，因为l经过第四象限，所以－<0或解得a<0或2.综上，a的取值范围为(－∞，0)∪，故选C.
8．解析：由已知得∴m＝3.
答案：3
9．解析：设直线方程为Ax＋By＋C＝0，变换后：A(x＋3)＋B(y－1)＋C＝0，即Ax＋By＋C＋3A－B＝0，故3A－B＝0.一条与l垂直的直线方程为Bx－Ay＝0，即y＝3x.
答案：y＝3x(答案不唯一)
10．解析：由题意得2a1＋3b1＋4＝0,2a2＋3b2＋4＝0，因此过P1(a1，b1)，P2(a2，b2)两点的直线的方程为2x＋3y＋4＝0.
答案：2x＋3y＋4＝0
11．解析：因为l：mx＋y－m＋2＝0 y＋2＝－m(x－1)，即直线l过定点Q(1，－2)，斜率为－m，因为kQM＝＝－2，kQN＝＝5，如图所示，所以－m≤－2或－m≥5，解得m≥2或m≤－5.
答案：(－∞，－5]∪[2，＋∞)
12．解：设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点，∵点B在中线BE：y－1＝0上，∴设点B坐标为(x,1)．又点A坐标为(1,3)，D为AB的中点，由中点坐标公式得点D坐标为.又∵点D在中线CD：x－2y＋1＝0上，∴－2×2＋1＝0，解得x＝5，
∴点B坐标为(5,1)．同理可求出点C坐标是(－3，－1)．故可求出△ABC三边AB，BC，AC所在直线的方程分别为x＋2y－7＝0，x－4y－1＝0，x－y＋2＝0.
13．解：若l1的斜率不存在，则k＝－2，此时直线l2：2x＋7y－2＝0，斜率为－，不符合题意，舍去．若l2的斜率不存在，则k＝，此时直线l1：9x－7y＋12＝0，斜率为，不符合题意，舍去．当l1，l2的斜率都存在时，因为这两条直线的倾斜角互补．
所以＋＝0，即5k2－11k＝0，解得k＝0或k＝.当k＝0时，l1，l2的斜率都为0，不符合题意，舍去．综上，k＝.
14．解：(1)证明：由直线l：(2λ＋1)x＋(λ＋1)y－7λ－4＝0变形得λ(2x＋y－7)＋x＋y－4＝0，
令解得由于不论实数λ取何值，总是方程(2λ＋1)x＋(λ＋1)y－7λ－4＝0的一个解，
所以直线l恒过定点P(3,1)．
(2)设A(a,0)，B(0，b)，则由已知有解得a＝6，b＝2.所以直线l的截距式方程为＋＝1，即x＋3y－6＝0，故直线l的斜截式方程为y＝－x＋2.
15．解：(1)令x＝0，则y＝2＋a，令y＝0，
则x＝(a≠－1)．
由题意得＝|2＋a|，解得a＝0或a＝－2.当a＝－2时，直线l的方程为x－y＝0，此时直线与两坐标轴不能围成三角形，不满足题意；当a＝0时，直线l的方程为x＋y－2＝0，此时直线与两坐标轴所围成的三角形为等腰直角三角形，满足题意．
综上，直线l的方程为x＋y－2＝0.
(2)由直线方程可得M，N(0,2＋a)，因为a>－1，所以>0,2＋a>0，所以S△OMN＝××(2＋a)＝×＝≥＝2，当且仅当a＋1＝，即a＝0时，S△OMN取得最小值．此时直线l的方程为x＋y－2＝0.
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