资源简介

第2课时　两条直线垂直 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
[课时目标]
1.理解并掌握两条直线垂直的条件.会运用垂直的条件判定两条直线是否垂直.
2.运用两直线垂直时斜率的关系解决相应问题.
1.斜率与两条直线垂直的关系
(1)对于两条不重合的直线l1:y=k1x+b1和l2:y=k2x+b2,l1⊥l2 　　　　　(k1,k2均存在).
(2)特殊地,当l1,l2中一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,两条直线　　　.
2.两条直线垂直时,一般式中系数的关系
设直线l1与l2的方程分别为A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全为0),A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全为0),l1⊥l2 　　　　　　　.
|微|点|助|解|
(1)l1⊥l2 k1k2=-1成立的条件是直线的斜率都存在.
(2)当直线l1⊥l2时,有k1k2=-1或其中一条直线垂直于x轴,另一条直线垂直于y轴;而若k1k2=-1,则一定有l1⊥l2.
(3)当两条直线的斜率都存在时,若两条直线有垂直关系,则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率.
基础落实训练
1.已知直线l1的斜率k1=2,直线l2的斜率k2=-,则l1与l2 (　　)
A.平行 B.垂直
C.重合 D.非以上情况
2.若直线l1,l2的倾斜角分别为α1,α2,且l1⊥l2,则有 (　　)
A.α1-α2=90° B.α2-α1=90°
C.|α2-α1|=90° D.α1+α2=180°
3.若经过点(m,3)和(2,m)的直线l与斜率为-4的直线互相垂直,则m的值是　　　　.
题型(一)　判定两直线垂直
[例1]　判断直线l1与l2是否垂直.
(1)l1的斜率为-10,l2经过点A(10,2),B(20,3);
(2)l1经过点A(3,4),B(3,10),l2经过点M(-10,40),N(10,40);
(3)l1经过点A(-1,2),B(5,-1),l2经过点C(1,0),D(4,6);
(4)直线l1:-3x+4y+1=0,直线l2:8x+6y-3=0.
听课记录:
|思|维|建|模|
判定两直线垂直的常用方法
(1)斜率法:有两斜率均存在和一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为零两种情形;
(2)系数法:用两直线一般式的系数等式(A1A2+B1B2=0).
　　[针对训练]
1.已知两条直线l1和l2,其斜率分别是一元二次方程k2+2 024k=1的两不等实数根,则其位置关系是 (　　)
A.平行 B.垂直
C.重合 D.异面
2.[多选]满足下列条件的直线l1与l2,其中l1⊥l2的是 (　　)
A.l1的倾斜角为45°,l2的斜率为1
B.l1的斜率为-,l2经过点A(2,0),B(3,)
C.l1经过点P(2,1),Q(-4,-5),l2经过点M(-1,2),N(1,0)
D.直线l1的斜率为,直线l2与直线2x+3y+1=0平行
题型(二)　根据两直线垂直求参数
[例2]　(1)若直线l1:ax+(1-a)y-3=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y-2=0互相垂直,则a的值是 (　　)
A.-3 B.1
C.0或- D.1或-3
(2)已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l1⊥l2,则a的值为　　　.
听课记录:
|思|维|建|模|
(1)由两直线垂直求参数,用A1A2+B1B2=0更方便,可避开讨论斜率是否存在的情形;
(2)由垂直关系求点的坐标,先设出点的坐标,再利用k1k2=-1求解.
　　[针对训练]
3.已知直线l1:ax-y+1=0,l2:x-by-2=0,则“=-1”是“l1⊥l2”的 (　　)
A.充分且不必要条件
B.必要且不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
4.在平面直角坐标系内点A(4,2),B(1,-2),若在x轴上存在点C,使∠ACB=,则点C的坐标为 (　　)
A.(3,0) B.(0,0)
C.(5,0) D.(0,0)或(5,0)
题型(三)　求与已知直线垂直的直线方程
[例3]　已知△ABC的三个顶点是A(4,0),B(6,7),C(0,4).
(1)求BC边上的中线的直线方程;
(2)求BC边上的高的直线方程;
(3)求AC边的垂直平分线.
听课记录:
|思|维|建|模|
与已知直线垂直的直线方程的求法
(1)由已知直线求出斜率,再利用垂直直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率,由点斜式写出所求直线方程.但要注意一条直线斜率为0,另一条直线斜率不存在的情况.
(2)待定系数法:与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0,再由直线所过的点确定m.
　　[针对训练]
5.已知△ABC的三个顶点分别是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),则BC边上的高所在直线的方程为　　　　　　　.
6.求与直线4x-3y+5=0垂直,且与两坐标轴围成的△AOB周长为10的直线方程.
第2课时　两条直线垂直
?课前预知教材
1．(1)k1k2＝－1　(2)垂直
2．A1A2＋B1B2＝0
[基础落实训练]
1．选B　根据斜率乘积为－1，可知两条直线垂直．
2．C
3．解析：由题意可知m≠2，则kl＝＝，解得m＝.
答案：
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1]　解：(1)设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1＝－10，k2＝＝，
因为k1k2＝－1，所以l1⊥l2.
(2)由点A，B的横坐标相等，得l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴，设直线l2的斜率为k2，
则k2＝＝0，
所以l2∥x轴，故l1⊥l2.
(3)直线l1的斜率k1＝＝－，
直线l2的斜率k2＝＝2，
因为k1k2＝－1，所以l1⊥l2.
(4)由－3x＋4y＋1＝0得其斜率为k1＝，由8x＋6y－3＝0得其斜率为k2＝－，
故k1k2＝－1，所以这两条直线互相垂直．
[针对训练]
1．选B　由题意，设两条直线l1和l2的斜率分别为k1，k2，且为一元二次方程k2＋2 024k＝1的两不等实数根，则k1k2＝－1，所以l1⊥l2.
2．选BC　kl1＝tan 45°＝1，kl2＝1，kl1kl2≠－1，故A不正确；kl2＝＝，kl1kl2＝－×＝－1，故B正确；kl1＝＝1，kl2＝＝－1，kl1kl2＝－1，故C正确；直线l1的斜率k1＝，直线l2的斜率k2＝－，k1k2≠－1，所以l1与l2不垂直，故D不正确．
[题型(二)]
[例2]　(1)选D　∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，即(a－1)(a＋3)＝0，解得a＝1或a＝－3.
(2)解析：因为直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，且2≠－1，所以l2的斜率存在，而l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，则其斜率可能不存在，当l1的斜率不存在时，a－2＝3，即a＝5，此时l2的斜率为0，则l1⊥l2，满足题意；当l1的斜率存在时，a－2≠3，即a≠5，此时直线l1，l2的斜率均存在，由l1⊥l2得k1k2＝－1，即·＝－1，解得a＝0.综上，a的值为0或5.
答案：0或5
[针对训练]
3．选A　因为直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x－by－2＝0，所以当l1⊥l2时，a·1＋(－1)(－b)＝0，即a＋b＝0，即＝－1或a＝b＝0，所以“＝－1”能推出“l1⊥l2”，“l1⊥l2”不能推出“＝－1”，所以“＝－1”是“l1⊥l2”的充分且不必要条件．
4．选D　设C(x0,0)，则kAC＝，kBC＝.∵∠ACB＝，∴AC⊥BC，则kAC·kBC＝－1，即·＝－1，解得x0＝0或x0＝5，∴点C的坐标为(0,0)或(5,0)．故选D.
[题型(三)]
[例3]　解：(1)由B(6,7)，C(0,4)和中点坐标公式得BC的中点为，又A(4,0)，由直线方程的两点式得BC边上的中线的直线方程为＝，整理得11x＋2y－44＝0.
(2)由B(6,7)，C(0,4)，得kBC＝＝，所以BC边上的高的直线的斜率为－2.又A(4,0)，则BC边上的高的直线方程为y－0＝－2(x－4)，整理得2x＋y－8＝0.
(3)因为A(4,0)，C(0,4)，所以其中点坐标为(2,2)，而kAC＝＝－1，则AC边的垂直平分线的斜率为1，所以其方程为y－2＝x－2，即x－y＝0.
[针对训练]
5．解析：设BC边上的高为AD，D为垂足，则BC⊥AD，所以kAD·kBC＝－1，因为kBC＝＝－，所以－·kAD＝－1，解得kAD＝.所以BC边上的高所在直线的方程为y－0＝(x＋5)，即3x－5y＋15＝0.
答案：3x－5y＋15＝0
6．解：由题意，可设所求直线的方程为3x＋4y＋b＝0.
令x＝0，可得y＝－，即A，令y＝0，可得x＝－，即B，
又∵△AOB的周长为10，即OA＋OB＋AB＝10，∴＋＋＝10，解得b＝±10.
故所求直线的方程为3x＋4y＋10＝0或3x＋4y－10＝0.
1 / 3(共47张PPT)
两条直线垂直
[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
第2课时
课时目标
1.理解并掌握两条直线垂直的条件.会运用垂直的条件判定两条直线是否垂直.
2.运用两直线垂直时斜率的关系解决相应问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时检测
课前预知教材·自主落实基础
01
1.斜率与两条直线垂直的关系
(1)对于两条不重合的直线l1：y=k1x+b1和l2：y=k2x+b2，l1⊥l2 ____________(k1，k2均存在).
(2)特殊地，当l1，l2中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线__________.
k1k2=-1
垂直
2.两条直线垂直时，一般式中系数的关系
设直线l1与l2的方程分别为A1x+B1y+C1=0(A1，B1不全为0)，A2x+B2y+C2=0(A2，B2不全为0)，l1⊥l2 ___________________.
A1A2+B1B2=0
|微|点|助|解|
(1)l1⊥l2 k1k2=-1成立的条件是直线的斜率都存在.
(2)当直线l1⊥l2时，有k1k2=-1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2=-1，则一定有l1⊥l2.
(3)当两条直线的斜率都存在时，若两条直线有垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率.
1.已知直线l1的斜率k1=2，直线l2的斜率k2=-，则l1与l2(　　)
A.平行 B.垂直
C.重合 D.非以上情况
解析：根据斜率乘积为-1，可知两条直线垂直.
√
基础落实训练
2.若直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，且l1⊥l2，则有 (　　)
A.α1-α2=90° B.α2-α1=90°
C.|α2-α1|=90° D.α1+α2=180°
√
3.若经过点(m，3)和(2，m)的直线l与斜率为-4的直线互相垂直，则m的值是__________.
解析：由题意可知m≠2，则kl==，解得m=.
课堂题点研究·迁移应用融通
02
题型(一)　判定两直线垂直
[例1]　判断直线l1与l2是否垂直.
(1)l1的斜率为-10，l2经过点A(10，2)，B(20，3)；
解：设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，
则k1=-10，k2==，因为k1k2=-1，所以l1⊥l2.
(2)l1经过点A(3，4)，B(3，10)，l2经过点M(-10，40)，N(10，40)；
解：由点A，B的横坐标相等，得l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴，
设直线l2的斜率为k2，则k2==0，所以l2∥x轴，故l1⊥l2.
(3)l1经过点A(-1，2)，B(5，-1)，l2经过点C(1，0)，D(4，6)；
解：直线l1的斜率k1==-，直线l2的斜率k2==2，
因为k1k2=-1，所以l1⊥l2.
(4)直线l1：-3x+4y+1=0，直线l2：8x+6y-3=0.
解：法一　由-3x+4y+1=0得其斜率为k1=，由8x+6y-3=0得其斜率为k2=-，故k1k2=-1，所以这两条直线互相垂直.
法二　因为A1A2+B1B2=-3×8+4×6=0，所以这两条直线互相垂直.
|思|维|建|模|
判定两直线垂直的常用方法
(1)斜率法：有两斜率均存在和一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为零两种情形；
(2)系数法：用两直线一般式的系数等式(A1A2+B1B2=0).
针对训练
1.已知两条直线l1和l2，其斜率分别是一元二次方程k2+2 024k=1的两不等实数根，则其位置关系是 (　　)
A.平行 B.垂直
C.重合 D.异面
解析：由题意，设两条直线l1和l2的斜率分别为k1，k2，且为一元二次方程k2+2 024k=1的两不等实数根，则k1k2=-1，所以l1⊥l2.
√
2.[多选]满足下列条件的直线l1与l2，其中l1⊥l2的是 (　　)
A.l1的倾斜角为45°，l2的斜率为1
B.l1的斜率为-，l2经过点A(2，0)，B(3，)
C.l1经过点P(2，1)，Q(-4，-5)，l2经过点M(-1，2)，N(1，0)
D.直线l1的斜率为，直线l2与直线2x+3y+1=0平行
√
√
解析：=tan 45°=1，=1，≠-1，故A不正确；===-×=-1，故B正确；==1，==-1，=-1，故C正确；直线l1的斜率k1=，
直线l2的斜率k2=-，k1k2≠-1，所以l1与l2不垂直，故D不正确.
题型(二)　根据两直线垂直求参数
[例2]　(1)若直线l1：ax+(1-a)y-3=0与直线l2：(a-1)x+(2a+3)y-2=0互相垂直，则a的值是 (　　)
A.-3 B.1
C.0或- D.1或-3
解析：∵l1⊥l2，∴a(a-1)+(1-a)(2a+3)=0，即(a-1)(a+3)=0，解得a=1或a=-3.
√
(2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a-2，3)，直线l2经过点C(2，3)，D(-1，a-2)，若l1⊥l2，则a的值为___________.
解析：因为直线l2经过点C(2，3)，D(-1，a-2)，且2≠-1，所以l2的斜率存在，而l1经过点A(3，a)，B(a-2，3)，则其斜率可能不存在，当l1的斜率不存在时，a-2=3，即a=5，此时l2的斜率为0，则l1⊥l2，满足题意；当l1的斜率存在时，a-2≠3，即a≠5，此时直线l1，l2的斜率均存在，由l1⊥l2得k1k2=-1，即·=-1，解得a=0.综上，a的值为0或5.
0或5
|思|维|建|模|
(1)由两直线垂直求参数，用A1A2+B1B2=0更方便，可避开讨论斜率是否存在的情形；
(2)由垂直关系求点的坐标，先设出点的坐标，再利用k1k2=-1求解.
针对训练
3.已知直线l1：ax-y+1=0，l2：x-by-2=0，则“=-1”是“l1⊥l2”的(　　)
A.充分且不必要条件
B.必要且不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
√
解析：因为直线l1：ax-y+1=0，l2：x-by-2=0，所以当l1⊥l2时，a·1+
(-1)(-b)=0，即a+b=0，即=-1或a=b=0，所以“=-1”能推出“l1⊥l2”，“l1⊥l2”不能推出“=-1”，所以“=-1”是“l1⊥l2”的充分且不必要条件.
4.在平面直角坐标系内点A(4，2)，B(1，-2)，若在x轴上存在点C，使∠ACB=，则点C的坐标为(　　)
A.(3，0) B.(0，0)
C.(5，0) D.(0，0)或(5，0)
解析：设C(x0，0)，则kAC=，kBC=.∵∠ACB=，∴AC⊥BC，则kAC·kBC=-1，即·=-1，解得x0=0或x0=5，∴点C的坐标为(0，0)或(5，0).故选D.
√
[例3]　已知△ABC的三个顶点是A(4，0)，B(6，7)，C(0，4).
(1)求BC边上的中线的直线方程；
题型(三)　求与已知直线垂直的直线方程
解：由B(6，7)，C(0，4)和中点坐标公式得BC的中点为，
又A(4，0)，由直线方程的两点式得BC边上的中线的直线方程为=，整理得11x+2y-44=0.
(2)求BC边上的高的直线方程；
解：由B(6，7)，C(0，4)，得kBC==，所以BC边上的高的直线的斜率为-2.又A(4，0)，则BC边上的高的直线方程为y-0=-2(x-4)，整理得2x+y-8=0.
(3)求AC边的垂直平分线.
解：因为A(4，0)，C(0，4)，所以其中点坐标为(2，2)，而kAC==
-1，则AC边的垂直平分线的斜率为1，所以其方程为y-2=x-2，
即x-y=0.
|思|维|建|模|
与已知直线垂直的直线方程的求法
(1)由已知直线求出斜率，再利用垂直直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写出所求直线方程.但要注意一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在的情况.
(2)待定系数法：与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0，再由直线所过的点确定m.
5.已知△ABC的三个顶点分别是A(-5，0)，B(3，-3)，C(0，2)，则BC边上的高所在直线的方程为____________________.
针对训练
解析：设BC边上的高为AD，D为垂足，则BC⊥AD，所以kAD·kBC=-1，因为kBC==-，
所以-·kAD=-1，解得kAD=.所以BC边上的高所在直线的方程为
y-0=(x+5)，即3x-5y+15=0.
3x-5y+15=0
6.求与直线4x-3y+5=0垂直，且与两坐标轴围成的△AOB周长为10的直线方程.
解：由题意，可设所求直线的方程为3x+4y+b=0.
令x=0，可得y=-，即A，
令y=0，可得x=-，即B，
又∵△AOB的周长为10，即OA+OB+AB=10，
∴++=10，解得b=±10.故所求直线的方程为3x+4y+10=0或3x+4y-10=0.
课时检测
03
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
1.直线l1，l2的斜率分别为-，-，若l1⊥l2，则实数a的值是(　　)
A.- B.-
C. D.
√
解析：∵l1⊥l2，∴-×=-1，∴a=-.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
2.已知直线l1的倾斜角α1=30°，若l1⊥l2，则直线l2的斜率为 (　　)
A.- B.
C.- D.
√
15
解析：如图，直线l1的倾斜角α1=30°，直线l1⊥l2，则l2的倾斜角等于30°+90°=120°，
所以直线l2的斜率为tan 120°=-.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
3.已知l1：(a+sin 30°)x+y+1=0，l2：x+(tan 120°)y+2=0，若l1⊥l2，则实数a的值为(　　)
A.- B.-
C. D.
√
15
解析：由题意l1⊥l2，则当且仅当(a+sin 30°)×1+1×tan 120°=0，即a+-3=0，解得a=.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
4.已知A(-2，1)，C(0，5)，则AC的垂直平分线所在直线方程为 (　　)
A.x+2y-5=0 B.2x+y-5=0
C.x-2y+5=0 D.2x-y+5=0
√
15
解析：因为A(-2，1)，C(0，5)，所以其中点坐标是(-1，3)，又kAC==2，所以AC的垂直平分线所在直线方程为y-3=-(x+1)，
即x+2y-5=0.故选A.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
5.已知四边形MNPQ的顶点M(1，1)，N(3，-1)，P(4，0)，Q(2，2)，则四边形MNPQ的形状为 (　　)
A.平行四边形 B.菱形
C.梯形 D.矩形
√
15
解析：因为kMN=-1，kPQ=-1，所以MN∥PQ，又因为kMQ=1，kNP=1，所以MQ∥NP，所以四边形MNPQ为平行四边形.又因为kMN·kMQ=-1，所以MN⊥MQ，所以四边形MNPQ为矩形.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
6.[多选]已知直线l1：ax-3y+1=0，l2：x-by+2=0，则 (　　)
A.若l1⊥l2，则=-3
B.若l1∥l2，则ab=3
C.若l1与坐标轴围成的三角形面积为1，则a=±
D.当b<0时，l2不经过第一象限
15
√
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
解析：当l1⊥l2时，a+3b=0，解得=-3或a=b=0，故A错误.当l1∥l2时，-ab+3=0，解得ab=3.故B正确.在直线l1：ax-3y+1=0中，当x=0时，y=，当y=0时，x=-，所以l1与坐标轴围成的三角形面积为S=··=1，解得a=±，故C正确.由题知当b<0时，
l2：y=x+的图象如图所示，故D正确.
15
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
7.已知点P(3，1)，Q(0，t)是y轴上的动点，若在x轴上存在点M，使得MP⊥MQ，则实数t的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
15
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
解析：设M(x，0).①当x=3时，PM⊥x轴，点Q在原点，此时t=0；②当x=0时，kMQ不存在，kMP=，不合题意；③当x≠0且x≠3时，则由kMP·kMQ=×=-1，得t=-x2+3x=-+≤且t≠0.综上所述，实数t的取值范围是.
15
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
8.(5分)过原点作直线l的垂线，若垂足为(-2，3)，则直线l的方程是_____________.
15
解析：设垂足为A，则kOA==-，由题意可知kl=-=，所以直线l的方程是y-3=(x+2)，整理得2x-3y+13=0.
2x-3y+13=0
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
9.(5分)当直线l1：(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2：(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直时，a=__________.
15
解析：∵l1⊥l2，∴(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0，解得a=±1.将a=±1代入方程，均满足题意.故a=±1.
±1
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
10.(5分)已知m，n为正数，且直线x-(n-2)y+5=0与直线nx+my-3=0互相垂直，则m+2n的最小值为__________.
15
解析：∵直线x-(n-2)y+5=0与直线nx+my-3=0互相垂直，
∴n-(n-2)m=0，∴2m+n=mn，∴+=1.
∴m+2n=(m+2n)
=5++≥5+2=9，
当且仅当m=n=3时取等号.
9
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
11.(5分)已知直线l的倾斜角为30°，点P(2，1)在直线l上，直线l绕点P(2，1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m-1)，B(m，2)，则m=___________.
15
解析：如图，直线l1的倾斜角为30°+30°=60°，
∴直线l1的斜率k1=tan 60°=.由l1∥l2知，
直线l2的斜率k2=k1=.
∴直线AB的斜率存在，且kAB=-=-.
∴=-，解得m=4+.
4+
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
12.(10分)判断下列两条直线是否垂直，并说明理由.
(1)l1：y=-3x+2，l2：y=x+5；(3分)
15
解：∵k1=-3，k2=，∴k1k2=-1，则l1⊥l2.
(2)l1：4x+3y=10，l2：3x-4y=5；(3分)
解：∵k1=-，k2=，∴k1k2=-1，则l1⊥l2.
(3)l1：y=2 025，l2：x=2 024.(4分)
解：∵l1的斜率为0，l2的斜率不存在，∴l1⊥l2.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
13.(10分)如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0，0)，P(1，t)，Q (1-2t，2+t)，R(-2t，2)，其中t>0.试判断四边形OPQR的形状.
15
解：由斜率公式得kOP==t，kQR===t，kOR==-，
kPQ===-.所以kOP=kQR，kOR=kPQ，
从而OP∥QR，OR∥PQ.所以四边形OPQR为平行四边形.
又kOP·kOR=-1，所以OP⊥OR，故四边形OPQR为矩形.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
14.(10分)已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，-1)，C(4，2)，D(2，2)，求m和n的值，使得四边形ABCD为直角梯形.
15
解：当A=D=90°时，如图①所示.∵四边形ABCD为直角梯形，
∴AB∥DC且AD⊥AB，易求得m=2，n=-1.
当A=B=90°时，如图②所示.∵四边形ABCD为直角梯形，
∴AD∥BC且AB⊥BC，
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
∴kAD=kBC，kAB·kBC=-1，
∴解得
综上所述，m=2，n=-1或m=，n=-.
15
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
15.(15分)已知M(1，-1)，N(2，2)，P(3，0).
(1)求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ；(7分)
15
解：设Q(x，y)，由已知得kMN=3，
由PQ⊥MN，得kPQ·kMN=-1，
即×3=-1①.
由已知得kPN=-2，由PN∥MQ，得kPN=kMQ，即=-2②.
联立①②，解得x=0，y=1，即Q(0，1).
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
(2)若点Q在x轴上，且∠NQP=∠NPQ，求直线MQ的倾斜角.(8分)
15
解：设Q(x，0)，∵∠NQP=∠NPQ，∴kNQ=-kNP，
又∵kNQ=，kNP=-2，
∴=2，即x=1，∴Q(1，0).
又∵M(1，-1)，∴MQ⊥x轴，
故直线MQ的倾斜角为90°.课时检测(六)　两条直线垂直
(标的题目为推荐讲评题,配有精品课件.选择、填空题请在后面的答题区内作答)
1.直线l1,l2的斜率分别为-,-,若l1⊥l2,则实数a的值是 (　　)
A.- B.-
C. D.
2.已知直线l1的倾斜角α1=30°,若l1⊥l2,则直线l2的斜率为 (　　)
A.- B.
C.- D.
3.已知l1:(a+sin 30°)x+y+1=0,l2:x+(tan 120°)y+2=0,若l1⊥l2,则实数a的值为 (　　)
A.- B.-
C. D.
4.已知A(-2,1),C(0,5),则AC的垂直平分线所在直线方程为 (　　)
A.x+2y-5=0 B.2x+y-5=0
C.x-2y+5=0 D.2x-y+5=0
5.已知四边形MNPQ的顶点M(1,1),N(3,-1),P(4,0),Q(2,2),则四边形MNPQ的形状为 (　　)
A.平行四边形 B.菱形
C.梯形 D.矩形
6.[多选]已知直线l1:ax-3y+1=0,l2:x-by+2=0,则 (　　)
A.若l1⊥l2,则=-3
B.若l1∥l2,则ab=3
C.若l1与坐标轴围成的三角形面积为1,则a=±
D.当b<0时,l2不经过第一象限
7.已知点P(3,1),Q(0,t)是y轴上的动点,若在x轴上存在点M,使得MP⊥MQ,则实数t的取值范围是 (　　)
A. B.
C. D.
8.(5分)过原点作直线l的垂线,若垂足为(-2,3),则直线l的方程是　　　　　　　　　　　　.
9.(5分)当直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直时,a=　　　.
10.(5分)已知m,n为正数,且直线x-(n-2)y+5=0与直线nx+my-3=0互相垂直,则m+2n的最小值为　　　　.
11.(5分)已知直线l的倾斜角为30°,点P(2,1)在直线l上,直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置,此时直线l1与l2平行,且l2是线段AB的垂直平分线,其中A(1,m-1),B(m,2),则m=　　　　.
12.(10分)判断下列两条直线是否垂直,并说明理由.
(1)l1:y=-3x+2,l2:y=x+5;(3分)
(2)l1:4x+3y=10,l2:3x-4y=5;(3分)
(3)l1:y=2 025,l2:x=2 024.(4分)
13.(10分)如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q (1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t>0.试判断四边形OPQR的形状.
14.(10分)已知四边形ABCD的顶点A(m,n),B(5,-1),C(4,2),D(2,2),求m和n的值,使得四边形ABCD为直角梯形.
15.(15分)已知M(1,-1),N(2,2),P(3,0).
(1)求点Q的坐标,满足PQ⊥MN,PN∥MQ;(7分)
(2)若点Q在x轴上,且∠NQP=∠NPQ,求直线MQ的倾斜角.(8分)
课时检测(六)
1．选A　∵l1⊥l2，∴－×＝－1，
∴a＝－.
2．选C　如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，则l2的倾斜角等于30°＋90°＝120°，所以直线l2的斜率为tan 120°＝－.
3．选C　由题意l1⊥l2，则当且仅当(a＋sin 30°)×1＋1×tan 120°＝0，即a＋－3＝0，解得a＝.
4．选A　因为A(－2,1)，C(0,5)，所以其中点坐标是(－1,3)，又kAC＝＝2，所以AC的垂直平分线所在直线方程为y－3＝－(x＋1)，即x＋2y－5＝0.故选A.
5．选D　因为kMN＝－1，kPQ＝－1，所以MN∥PQ，又因为kMQ＝1，kNP＝1，所以MQ∥NP，所以四边形MNPQ为平行四边形．又因为kMN·kMQ＝－1，所以MN⊥MQ，所以四边形MNPQ为矩形．
6．选BCD　当l1⊥l2时，a＋3b＝0，解得＝－3或a＝b＝0，故A错误．当l1∥l2时，－ab＋3＝0，解得ab＝3.故B正确．在直线l1：ax－3y＋1＝0中，当x＝0时，y＝，当y＝0时，x＝－，所以l1与坐标轴围成的三角形面积为S＝··＝1，解得a＝±，故C正确．由题知当b<0时，l2：y＝x＋的图象如图所示，故D正确．
7．选B　设M(x,0)．①当x＝3时，PM⊥x轴，点Q在原点，此时t＝0；②当x＝0时，kMQ不存在，kMP＝，不合题意；③当x≠0且x≠3时，则由kMP·kMQ＝×＝－1，得t＝－x2＋3x＝－2＋≤且t≠0.综上所述，实数t的取值范围是.
8．解析：设垂足为A，则kOA＝＝－，由题意可知kl＝－＝，所以直线l的方程是y－3＝(x＋2)，整理得2x－3y＋13＝0.
答案：2x－3y＋13＝0
9．解析：∵l1⊥l2，∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)·(2a＋3)＝0，解得a＝±1.将a＝±1代入方程，均满足题意．故a＝±1.
答案：±1
10．解析：∵直线x－(n－2)y＋5＝0与直线nx＋my－3＝0互相垂直，∴n－(n－2)m＝0，∴2m＋n＝mn，∴＋＝1.
∴m＋2n＝(m＋2n)
＝5＋＋≥5＋2＝9，
当且仅当m＝n＝3时取等号．
答案：9
11．解析：如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，∴直线l1的斜率k1＝tan 60°＝.由l1∥l2知，直线l2的斜率k2＝k1＝.∴直线AB的斜率存在，且kAB＝－＝－.∴＝－，解得m＝4＋.
答案：4＋
12．解：(1)∵k1＝－3，k2＝，∴k1k2＝－1，则l1⊥l2.
(2)∵k1＝－，k2＝，∴k1k2＝－1，则l1⊥l2.
(3)∵l1的斜率为0，l2的斜率不存在，∴l1⊥l2.
13．解：由斜率公式得kOP＝＝t，
kQR＝＝＝t，
kOR＝＝－，
kPQ＝＝＝－.
所以kOP＝kQR，kOR＝kPQ，
从而OP∥QR，OR∥PQ.所以四边形OPQR为平行四边形．又kOP·kOR＝－1，所以OP⊥OR，故四边形OPQR为矩形．
14．解：当A＝D＝90°时，如图①所示．
∵四边形ABCD为直角梯形，
∴AB∥DC且AD⊥AB，易求得m＝2，n＝－1.
当A＝B＝90°时，如图②所示．
∵四边形ABCD为直角梯形，
∴AD∥BC且AB⊥BC，
∴kAD＝kBC，kAB·kBC＝－1，
∴解得
综上所述，m＝2，n＝－1或m＝，n＝－.
15．解：(1)设Q(x，y)，由已知得kMN＝3，
由PQ⊥MN，得kPQ·kMN＝－1，
即×3＝－1①.
由已知得kPN＝－2，由PN∥MQ，得kPN＝kMQ，即＝－2②.
联立①②，解得x＝0，y＝1，即Q(0,1)．
(2)设Q(x,0)，∵∠NQP＝∠NPQ，
∴kNQ＝－kNP，又∵kNQ＝，kNP＝－2，
∴＝2，即x＝1，∴Q(1,0)．
又∵M(1，－1)，∴MQ⊥x轴，
故直线MQ的倾斜角为90°.
1 / 2

展开更多......

收起↑