资源简介

1.5　平面上的距离
第1课时　距离公式 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学]
[课时目标]
1.掌握平面上两点间的距离公式,会用两点间的距离公式解决问题.
2.经历坐标法推导点到直线距离公式,掌握点到直线的距离公式及利用公式解决问题.
3.理解两条平行线间距离公式的推导.会求两条平行直线的距离.
逐点清(一)　两点间的距离公式
[多维理解]
条件 平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)
距离公式 P1P2=　　　　　　　　　
特别地 原点O(0,0)与任一点P(x,y)间的距离OP=　　　
中点坐标 公式 线段P1P2的中点M(x0,y0), 则x0=　　　　,y0=　　　　
[微点练明]
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)点A(0,a),点B(b,0)之间的距离为a-b. (　　)
(2)点A(a,0),点B(b,0)之间的距离为a-b. (　　)
(3)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),当x1=x2,y1≠y2时,AB=|y2-y1|. (　　)
(4)当A,B两点的连线与坐标轴平行或垂直时,两点间的距离公式不适用. (　　)
2.A(2,1),B(4,2)两点间的距离为 (　　)
A.3 B.3
C. D.2
3.已知A(a,2),B(-2,-3),C(1,6)三点,且AB=AC,则实数a的值为 (　　)
A.-2 B.-1
C.1 D.2
4.已知三角形的三个顶点A(2,4),B(3,-6),C(5,2),则BC边上中线的长为 (　　)
A.2 B.
C.11 D.3
逐点清(二)　点到直线的距离公式
[多维理解]
1.点到直线的距离
定义 点P到直线l的距离,就是从点P到直线l的垂线段的长度
公式 点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离为d=　　　　　　　(其中A,B不全为0)
|微|点|助|解|
(1)利用公式时直线的方程必须是一般式;
(2)分子含有绝对值;
(3)若直线方程为Ax+By+C=0,则当A=0或B=0时公式也成立,但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可用数形结合求解.
2.点到几种特殊直线的距离
(1)点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|;
(2)点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|;
(3)点P(x0,y0)到直线y=a的距离d=|y0-a|;
(4)点P(x0,y0)到直线x=b的距离d=|x0-b|.
[微点练明]
1.点P(-1,1)到直线l:y=-x的距离为 (　　)
A. B.
C. D.1
2.已知点P(-2,3),点Q是直线l:3x+4y+3=0上的动点,则PQ的最小值为 (　　)
A.2 B.
C. D.
3.已知点A(1,2),直线l:(λ+2)x+(1-λ)y+2λ+7=0(λ∈R),则点A到l的距离的最大值为 (　　)
A.3 B.
C.3 D.5
4.已知过点P(1,2)的直线l,且点A(2,3)与点B(0,-5)到直线l的距离相等,求直线l的方程.
逐点清(三)　两条平行直线间的距离公式
[多维理解]
两条平行直线间的距离 指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长
公式 两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0之间的距离d=　　　　　(其中A,B不全为0,且C1≠C2)
|微|点|助|解|
(1)使用此公式的两个条件:直线方程都为一般式;x,y的系数对应相等.
(2)①两条直线都与x轴垂直时,l1:x=x1,l2:x=x2,则d=|x2-x1|;
②两条直线都与y轴垂直时,l1:y=y1,l2:y=y2,则d=|y2-y1|.
[微点练明]
1.已知直线l1:2x+y-1=0,l2:4x+2y+1=0,则l1,l2间的距离为 (　　)
A. B.
C. D.
2.若直线l1:x+ay-2=0与l2:2x+(a2+1)y-2=0平行,则两条直线之间的距离为 (　　)
A. B.1
C. D.2
3.与l:x-y+1=0距离为的直线方程为 (　　)
A.x-y+1+=0或x-y+1-=0
B.x-y+2=0或x-y=0
C.x-y+2=0或x-y+1-=0
D.x-y+1+=0或x-y=0
4.若两条平行直线l1:x-2y+m=0(m>0)与l2:x+ny-3=0之间的距离是,则m+n= (　　)
A.0 B.1
C.-2 D.-1
第1课时　距离公式
[逐点清(一)]
[多维理解]　　　　
[微点练明]
1．(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．C　3.A　4.A
[逐点清(二)]
[多维理解]　1.
[微点练明]
1．A　2.B　3.D
4．解：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，点A(2,3)与点B(0，－5)到x＝1的距离为1，符合题意．当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则可设直线方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，由于点A(2,3)与点B(0，－5)到直线l的距离相等，则＝，解得k＝4，故直线l的方程为4x－y－2＝0，综上所述，直线l的方程为4x－y－2＝0或x＝1.
[逐点清(三)]
[多维理解]　
[微点练明]
1．C　2.C　3.B　4.A
1 / 4(共42张PPT)
1.5
平面上的距离
距离公式
[教学方式:基本概念课——逐点理清式教学]
第1课时
课时目标
1.掌握平面上两点间的距离公式，会用两点间的距离公式解决问题.
2.经历坐标法推导点到直线距离公式，掌握点到直线的距离公式及利用公式解决问题.
3.理解两条平行线间距离公式的推导.会求两条平行直线的距离.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一)　两点间的距离公式
逐点清(二)　点到直线的距离公式
逐点清(三)　两条平行直线间的
距离公式
4
课时检测
逐点清(一)　两点间的距离公式
01
多维理解
条件 平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)
距离公式 P1P2=_____________________________
特别地 原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离OP=_________
中点坐标 公式 线段P1P2的中点M(x0，y0)，则x0=_______，y0=______
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)点A(0，a)，点B(b，0)之间的距离为a-b.(　　)
(2)点A(a，0)，点B(b，0)之间的距离为a-b.(　　)
(3)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1=x2，y1≠y2时，AB=|y2-y1|.(　　)
(4)当A，B两点的连线与坐标轴平行或垂直时，两点间的距离公式不适用.(　　)
×
×
×
√
微点练明
2.A(2，1)，B(4，2)两点间的距离为 (　　)
A.3 B.3
C. D.2
解析：由两点间距离公式得AB==.
√
3.已知A(a，2)，B(-2，-3)，C(1，6)三点，且AB=AC，则实数a的值为 (　　)
A.-2 B.-1
C.1 D.2
解析：由两点间的距离公式及AB=AC可得，=，解得a=-2.
√
4.已知三角形的三个顶点A(2，4)，B(3，-6)，C(5，2)，则BC边上中线的长为 (　　)
A.2 B.
C.11 D.3
解析：设BC的中点为D(x，y)，由中点坐标公式得所以D(4，-2)，所以AD===2.故选A.
√
逐点清(二)　点到直线的距离公式
02
多维理解
1.点到直线的距离
定义 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段的长度
公式 点P(x0，y0)到直线l：Ax+By+C=0的距离为d=_______________
(其中A，B不全为0)
|微|点|助|解|
(1)利用公式时直线的方程必须是一般式；
(2)分子含有绝对值；
(3)若直线方程为Ax+By+C=0，则当A=0或B=0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解.
2.点到几种特殊直线的距离
(1)点P(x0，y0)到x轴的距离d=|y0|；
(2)点P(x0，y0)到y轴的距离d=|x0|；
(3)点P(x0，y0)到直线y=a的距离d=|y0-a|；
(4)点P(x0，y0)到直线x=b的距离d=|x0-b|.
微点练明
1.点P(-1，1)到直线l：y=-x的距离为(　　)
A. B.
C. D.1
√
解析：点P到直线l：3x+4y=0的距离d==.
2.已知点P(-2，3)，点Q是直线l：3x+4y+3=0上的动点，则PQ的最小值为 (　　)
A.2 B.
C. D.
解析：由题意知PQ的最小值为点P到直线l的距离.即(PQ)min==，
故选B.
√
3.已知点A(1，2)，直线l：(λ+2)x+(1-λ)y+2λ+7=0(λ∈R)，则点A到l的距离的最大值为 (　　)
A.3 B.
C.3 D.5
解析：将直线l的方程变形为λ(x-y+2)+2x+y+7=0，由得所以直线l过定点B(-3，-1)，当l⊥AB时，点A到l的距离最大，故最大距离为=5.故选D.
√
4.已知过点P(1，2)的直线l，且点A(2，3)与点B(0，-5)到直线l的距离相等，求直线l的方程.
解：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，点A(2，3)与点B(0，-5)到x=1的距离为1，符合题意.当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则可设直线方程为y-2=k(x-1)，即kx-y-k+2=0，由于点A(2，3)与点B(0，
-5)到直线l的距离相等，则=，解得k=4，故直线l的方程为4x-y-2=0，综上所述，直线l的方程为4x-y-2=0或x=1.
逐点清(三)　两条平行直线间的
距离公式
03
多维度理解
两条平行直线间的距离 指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长
公式 两条平行直线l1：Ax+By+C1=0与l2：
Ax+By+C2=0之间的距离d=___________
(其中A，B不全为0，且C1≠C2)
|微|点|助|解|
(1)使用此公式的两个条件：直线方程都为一般式；x，y的系数对应相等.
(2)①两条直线都与x轴垂直时，l1：x=x1，l2：x=x2，则d=|x2-x1|；
②两条直线都与y轴垂直时，l1：y=y1，l2：y=y2，则d=|y2-y1|.
微点练明
1.已知直线l1：2x+y-1=0，l2：4x+2y+1=0，则l1，l2间的距离为 (　　)
A. B.
C. D.
解析：将直线l1方程化为4x+2y-2=0，由平行直线的距离公式得d==.
√
2.若直线l1：x+ay-2=0与l2：2x+(a2+1)y-2=0平行，则两条直线之间的距离为 (　　)
A. B.1
C. D.2
解析：依题意，由两条直线平行可知2a=a2+1，解得a=1，所以两条直线分别为x+y-2=0，x+y-1=0，可得两条直线之间的距离为=，故选C.
√
3.与l：x-y+1=0距离为的直线方程为(　　)
A.x-y+1+=0或x-y+1-=0 B.x-y+2=0或x-y=0
C.x-y+2=0或x-y+1-=0 D.x-y+1+=0或x-y=0
解析：依题意，设所求直线方程为x-y+m=0，则两条平行直线间的距离d==，解得m=0或m=2，所以所求直线方程为x-y+2=0或x-y=0.
√
4.若两条平行直线l1：x-2y+m=0(m>0)与l2：x+ny-3=0之间的距离是，则m+n=(　　)
A.0 B.1
C.-2 D.-1
解析：由题意两条直线平行，则=，解得n=-2，又d==，而m>0，所以m=2.所以m+n=0.
√
课时检测
04
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3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
1.已知点(x，y)到原点的距离等于1，则实数x，y满足的条件是 (　　)
A.x2-y2=1 B.x2+y2=0
C.=1 D.=0
√
解析：由两点间的距离公式得=1.
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1
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2
3
4
2.已知直线y=x上的两点P，Q的横坐标分别是1，5，则PQ等于 (　　)
A.4 B.4
C.2 D.2
√
解析：∵P(1，1)，Q(5，5)，∴PQ==4.
16
1
5
6
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3
4
2
3.已知点A(6，0)，P在直线y=-x上，AP=3，则P点的个数是(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
√
解析：因为点A(6，0)到直线y=-x的距离为=3=AP，所以P点的个数是1.
16
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5
6
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3
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2
4.已知点(0，1)到直线mx+3y-2=0的距离是，那么m的值是(　　)
A.4 B.-3
C.4或-3 D.-4或4
√
解析：由题意，=，解得m=±4.
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3
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2
5.已知点P(-2，5)为平面直角坐标系内一点，线段PM的中点是(1，0)，那么点M到原点O的距离为 (　　)
A.41 B.
C. D.39
√
解析：设M(x，y)，由中点坐标公式得=1，=0，解得x=4，y=
-5.所以点M(4，-5).则OM==.故选B.
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6.已知两条平行直线2x-y+3=0和ax-y+4=0间的距离为d，则a，d分别为 (　　)
A.a=2，d= B.a=2，d=
C.a=-2，d= D.a=-2，d=
√
解析：因为直线2x-y+3=0与直线ax-y+4=0平行，所以-2+a=0，解得a=2，所以两直线分别为2x-y+3=0和2x-y+4=0，所以d==.
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7.在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(-4，7)，D为BC边的中点，则线段AD的长是 (　　)
A.2 B.3
C. D.
√
解析：由中点坐标公式可得，BC边的中点D.由两点间的距离公式得AD==.
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8.已知直线l过原点，若A(1，0)，B(0，1)两点到直线l的距离相等，则直线l的方程为 (　　)
A.x-y=0 B.x+y=0
C.x+y=0或x-y=0 D.x+y+1=0或x-y-1=0
√
解析：依题意，直线l过原点，A(1，0)，B(0，1)两点到直线l的距离相等，易知斜率存在，故直线l可设为y=kx，则=，解得k=±1，即直线l的方程为x+y=0或x-y=0.
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9.与点M(2，1)之间的距离为2，且在x轴上的截距为4的直线是 (　　)
A.x=4 B.3x-4y-12=0
C.x=4或3x-4y-12=0 D.y=4或3x-4y-12=0
√
解析： x=4与M(2，1)的距离为2，且在x轴上的截距为4，故x=4符合要求；对于直线3x-4y-12=0，有d==2，且当y=0时，x=4，故也符合要求；y=4与M(2，1)的距离为3且与x轴无交点，不符合要求.∴x=4，3x-4y-12=0都是与点M(2，1)距离为2且在x轴上的截距为4的直线.故选C.
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10.已知P，Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点，则PQ的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
√
解析：易知直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0平行，故PQ的最小值即两条平行直线间的距离，故d==.
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2
11.(5分)已知直线l1：x+y-1=0，l2：x+y+a=0，且两直线间的距离为，则a=_________.
解析：由两平行直线间的距离公式得
d==，即|a+1|=2，
∴a=-3或a=1.
-3或1
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2
12.(5分)已知直线l与m：x-y+c=0(c<0)平行，且l，m之间的距离与点A(0，2)到l的距离均为1，则l在y轴上的截距为__________.
解析：由直线l与m：x-y+c=0(c<0)平行，设直线l的方程为x-y+t=0，因为l，m之间的距离与点A(0，2)到l的距离均为1，则解得所以直线l的方程为x-y=0，即y=x，故直线l在y轴上的截距为0.
0
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13.(5分)已知A(5，2a-1)，B(a+1，a-4)，当AB取最小值时，实数a的值为_________.
解析：∵A(5，2a-1)，B(a+1，a-4)，
∴AB====，∴当a=时，AB取得最小值.
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14.(5分)已知A(-2，-3)，B(2，-1)，C(0，2)，则△ABC的面积为_________.
解析：由A(-2，-3)，B(2，-1)可得直线AB方程为= x-2y-4=0，AB==2，点C(0，2)到直线AB的距离为=，所以△ABC的面积为×2×=8.
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15.(10分)已知直线ax+2y-1=0和x轴，y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点到原点的距离为，求a的值.
解：由题易知a≠0，在直线ax+2y-1=0中，令y=0，有x=，则A，令x=0，有y=，则B，故AB的中点为，∵线段AB的中点到原点的距离为，∴=，解得a=±2.所以a的值为2或-2.
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16.(15分)已知直线l1：2x+3y+18=0，l2：2x+3y-8=0，在l1上任取点A，在l2上任取点B，过线段AB的中点作l2的平行线l3.
(1)求直线l1与l2之间的距离；(7分)
解：易知l1与l2平行，所以两平行直线l1与l2间的距离为d==2.
(2)求直线l3的方程.(8分)
解：由l3与l2平行可知，设l3的方程为2x+3y+C=0(-816课时检测(八)　距离公式
(标的题目为推荐讲评题,配有精品课件.选择、填空题请在后面的答题区内作答)
1.已知点(x,y)到原点的距离等于1,则实数x,y满足的条件是 (　　)
A.x2-y2=1 B.x2+y2=0
C.=1 D.=0
2.已知直线y=x上的两点P,Q的横坐标分别是1,5,则PQ等于 (　　)
A.4 B.4
C.2 D.2
3.已知点A(6,0),P在直线y=-x上,AP=3,则P点的个数是 (　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
4.已知点(0,1)到直线mx+3y-2=0的距离是,那么m的值是 (　　)
A.4 B.-3
C.4或-3 D.-4或4
5.已知点P(-2,5)为平面直角坐标系内一点,线段PM的中点是(1,0),那么点M到原点O的距离为 (　　)
A.41 B.
C. D.39
6.已知两条平行直线2x-y+3=0和ax-y+4=0间的距离为d,则a,d分别为 (　　)
A.a=2,d= B.a=2,d=
C.a=-2,d= D.a=-2,d=
7.在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),D为BC边的中点,则线段AD的长是 (　　)
A.2 B.3
C. D.
8.已知直线l过原点,若A(1,0),B(0,1)两点到直线l的距离相等,则直线l的方程为 (　　)
A.x-y=0
B.x+y=0
C.x+y=0或x-y=0
D.x+y+1=0或x-y-1=0
9.与点M(2,1)之间的距离为2,且在x轴上的截距为4的直线是 (　　)
A.x=4
B.3x-4y-12=0
C.x=4或3x-4y-12=0
D.y=4或3x-4y-12=0
10.已知P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则PQ的最小值为 (　　)
A. B.
C. D.
11.(5分)已知直线l1:x+y-1=0,l2:x+y+a=0,且两直线间的距离为,则a=　　　　.
12.(5分)已知直线l与m:x-y+c=0(c<0)平行,且l,m之间的距离与点A(0,2)到l的距离均为1,则l在y轴上的截距为　　　　.
13.(5分)已知A(5,2a-1),B(a+1,a-4),当AB取最小值时,实数a的值为　　　　.
14.(5分)已知A(-2,-3),B(2,-1),C(0,2),则△ABC的面积为　　　　.
15.(10分)已知直线ax+2y-1=0和x轴,y轴分别交于A,B两点,且线段AB的中点到原点的距离为,求a的值.
16.(15分)已知直线l1:2x+3y+18=0,l2:2x+3y-8=0,在l1上任取点A,在l2上任取点B,过线段AB的中点作l2的平行线l3.
(1)求直线l1与l2之间的距离;(7分)
(2)求直线l3的方程.(8分)
课时检测(八)
1．选C　由两点间的距离公式得＝1.
2．选B　∵P(1,1)，Q(5,5)，∴PQ＝＝4.
3．选B　因为点A(6,0)到直线y＝－x的距离为＝3＝AP，所以P点的个数是1.
4．选D　由题意，＝，解得m＝±4.
5．选B　设M(x，y)，由中点坐标公式得＝1，＝0，解得x＝4，y＝－5.所以点M(4，－5)．则OM＝＝.故选B.
6．选B　因为直线2x－y＋3＝0与直线ax－y＋4＝0平行，所以－2＋a＝0，解得a＝2，所以两直线分别为2x－y＋3＝0和2x－y＋4＝0，所以d＝＝.
7．选C　由中点坐标公式可得，BC边的中点D.由两点间的距离公式得AD＝＝.
8．选C　依题意，直线l过原点，A(1,0)，B(0,1)两点到直线l的距离相等，易知斜率存在，故直线l可设为y＝kx，则＝，解得k＝±1，即直线l的方程为x＋y＝0或x－y＝0.
9．选C　x＝4与M(2,1)的距离为2，且在x轴上的截距为4，故x＝4符合要求；对于直线3x－4y－12＝0，有d＝＝2，且当y＝0时，x＝4，故也符合要求；y＝4与M(2,1)的距离为3且与x轴无交点，不符合要求．∴x＝4,3x－4y－12＝0都是与点M(2,1)距离为2且在x轴上的截距为4的直线．故选C.
10．选C　易知直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0平行，故PQ的最小值即两条平行直线间的距离，故d＝＝.
11．解析：由两平行直线间的距离公式得
d＝＝，即|a＋1|＝2，
∴a＝－3或a＝1.
答案：－3或1
12．解析：由直线l与m：x－y＋c＝0(c<0)平行，设直线l的方程为x－y＋t＝0，因为l，m之间的距离与点A(0,2)到l的距离均为1，则解得所以直线l的方程为x－y＝0，即y＝x，故直线l在y轴上的截距为0.
答案：0
13．解析：∵A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，
∴AB＝＝＝＝，∴当a＝时，AB取得最小值．
答案：
14．解析：由A(－2，－3)，B(2，－1)可得直线AB方程为＝ x－2y－4＝0，AB＝＝2，点C(0,2)到直线AB的距离为＝，所以△ABC的面积为×2×＝8.
答案：8
15．解：由题易知a≠0，在直线ax＋2y－1＝0中，令y＝0，有x＝，则A，令x＝0，有y＝，则B，故AB的中点为，∵线段AB的中点到原点的距离为，∴＝，解得a＝±2.所以a的值为2或－2.
16．解：(1)易知l1与l2平行，所以两平行直线l1与l2间的距离为d＝＝2.
(2)由l3与l2平行可知，设l3的方程为2x＋3y＋C＝0(－81 / 2

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