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山东省烟台市莱山区（五四制）2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题
一、单选题
1．已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．6
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．把多项式进行配方，结果为（ ）
A． B．
C． D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．是最简二次根式 B．
C． D．与可以合并
5．如图，已知，添加下列各选项中的条件后，不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
6．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
7．在同一直角坐标系中，函数与的大致图象可能为（ ）
A． B． C． D．
8．随着山西旅游热持续升温，某景区推出一款文创产品，每件成本30元，为了合理定价，现投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是50元时，平均每天能售出40件；当销售单价每降低2元时，平均每天就能多售出15件．该景区想要这款文创产品的销售利润平均每天达到1200元，每件应降价多少元？设这款文创产品每件降价元，根据题意可得方程（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AC，AB的中点，BD与CE交于点O，连接DE，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为1.6米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是6米，则车宽的长度为（ ）米．
A． B． C． D．
11．如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，的面积为4，则实数的值为（ ）
A．4 B． C． D．
12．如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题
13．最简二次根式与最简二次根式可以合并，则的值为 ．
14．反比例函数的图象经过点，则反比例函数的表达式为 ．
15．已知，，则代数式的值等于 ．
16．已知、是实数，且 ， 则 的立方根为 ；
17．黄金分割在生活中处处可见，例如：主持人如果站在舞台上的黄金分割点处，观众观感最好，若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是 ．
18．若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ．
19．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．小明同学依照此法测量学校操场边一棵树的高度，如图，点在同一水平线上，与相交于点D．测得，，，则树高 m．
20．如图所示， 在中， ， ， 点P从点A 出发， 沿以的速度向点B运动，同时点Q从C点出发，沿CA 以的速度向点A运动，设运动时间为x秒．当能与相似，x的值为 ．
三、解答题
21．（1）计算： ；
（2）解方程：．
22．如图，小华利用网络画板在平面直角坐标系中画出了的位似图形．
(1)与的位似中心的坐标为___________；
(2)以点为位似中心，在图中轴的左侧画出的位似图形，且与的位似比为．
23．列表法、表达式法、图像法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系：
1
1 ________
________ ________ 7
(1)求、的值，并补全表格；
(2)结合表格，当的图像在的图像上方时，直接写出的取值范围．
24．【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当地演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”具有这种现象的数还有许多，例如：
，等．
(1)【猜想】_____________；（不用化成最简二次根式）
(2)【推理证明】请你用一个正整数（为“穿墙”术，）表示含有上述规律的等式，并给出证明；
(3)【创新应用】按此规律，若（，为正整数），求的值．
25．如图，四边形中，为边上一点，连接，交于点，且，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
26．电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形．
(1)若车棚占地面积为，试求出电动车车棚的长和宽；
(2)若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
27．如图，直线分别交轴，轴于，两点，与双曲线交于点．
(1)求直线和双曲线的解析式；
(2)过点作轴于点，点在轴上，若以O，A，P为顶点的三角形与相似，请求出点的坐标．
28．综合与实践
(1)【问题发现】
在学习了“特殊平行四边形”后，兴趣小组的同学发现了这样一个问题：如图1，已知正方形，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接通过观察图形，直接写出与的数量关系：_________．
(2)【类比探究】
兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究．如图2，已知矩形，，，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接请判断线段与的数量关系，并说明理由．
(3)【拓展应用】
在（2）的条件下，点E在对角线上运动，当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长．
参考答案
1．A
解：已知点在反比例函数的图象上，将点坐标代入函数解析式：
当时，，代入得，
两边同时乘以，得，
因此，的值为，
故选A．
2．C
解：A．无法合并为，因为二次根式加减需被开方数相同，故错误；
B．=，而非，计算错误；
C．==，符合二次根式乘法法则，正确；
D．===，结果为而非，故错误．
故选C．
3．B
解：
故选B．
4．D
解：，故选项不符合题意；
，故选项不符合题意；
C、，故选项C不符合题意；
，，即与可以合并，故选项符合题意．
故选：．
5．D
解：∵，
∴，即，
选项A，添加，运用两角分别相等的两个三角形相似，可证．
选项B，添加，用两角分别相等的两个三角形相似，可证．
选项C，添加，运用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证．
选项D，添加，两边对应成比例，但不是夹角相等，不能判定．
故选：D．
6．D
解：关于的一元二次方程有实数根，
，且，
解得且．
故选D．
7．D
解：①当时，，
一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限；
②当时，，
一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数经过第一、三象限；
故选：D．
8．C
解：设这款文创产品每件降价元，则每件的销售利润为元，每天的销售量是件，根据题意得：
，
故选：C．
9．B
解：∵点D，E分别是边AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC且，②正确；
∴∠ODE=∠OBC、∠OED=∠OCB，
∴△ODE∽△OBC，
∴，①错误；
，③错误；
∵，
∴，④正确；
故选B．
10．D
解：如图，过点作，垂足为，交于点，
则，设米，
由得，，
四边形是矩形，
，
∴，
，
即，
，
，
，
解得，，
故选：D．
11．B
解：点，的面积为4，
，
，
故，
将代入，
，
．
故选B．
12．C
解：，由折叠可得：，，
∵矩形，
∴，
∴，
设的长为x，则，
∵矩形，
∴，
∵矩形与原矩形相似，
∴，即，
解得：（负值不符合题意，舍去）
∴，
故选：C．
13．3
解：∵最简二次根式与可以合并，
∴与是同类二次根式，
∴，解得，
故答案为：3．
14．
解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式为．
15．
解：
，
当，时，
原式，
．
故答案为： ．
16．
解：由题意知，，，
解得，
，
则 的立方根为，
故答案为：．
17．
解：如图：设米，
由题意知 米，米，
由黄金分割可得：，
，
故答案为：．
18．6
解：∵一元二次方程的两个根为，，
∴，
∴
故答案为：6．
19．
解：∵和均为直角，
，
，
，
，，，
，
故答案为：．
20．5或
解：设经过，能与相似．
∵， ，点P从点A 出发， 沿以的速度向点B运动，同时点Q从C点出发，沿CA 以的速度向点A运动，设运动时间为x秒，
∴，，，
当时，则即，
解得；
经检验，是方程的根；
当时，则即，
解得，；
经检验，，都是方程的根；
但是舍去，
故，
故答案为：5或．
21．（1）；（2），
解：（1）
；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，．
22．(1)
(2)如图所示
（1）解：与的位似中心为点M，
位似中心的坐标为；
故答案为：；
（2）解：如图所示．
．
23．(1)，补全表格见解析
(2)的取值范围为或；
（1）解：当时，，即，
当时，，即，
∴，
解得：，
∴一次函数为，
当时，，
∵当时，，即，
∴反比例函数为：，
当时，，
当时，，
当时，，
补全表格如下：
1
1
7
（2）由表格信息可得：两个函数的交点坐标分别为，，
∴当的图像在的图像上方时，的取值范围为或；
24．(1)
(2)，证明见解析
(3)
（1）解： ，
证明如下，
，
故答案为：；
（2）解：，
证明如下，
；
（3）解：，
，，
，
，
故答案为：．
25．(1)见解析
(2)6
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，即，
∴．
26．(1)电动车车棚的长为，宽为；
(2)不能围成占地面积为的电动车车棚，见解析．
（1）解：设车棚宽为，则车棚长为，
由题意，得，
整理，得，
解得：，，
当时，（不合题意，舍去），
当时，．
答：电动车车棚的长为，宽为．
（2）解：不能围成占地面积为的电动车车棚，理由如下：
设车棚宽为，则车棚长为，
由题意，得，
整理，得，
，
原方程无解，
不能围成占地面积为的电动车车棚．
27．(1)直线解析式为，双曲线解析式为
(2)点P坐标为或或或
（1）解：直线经过两点，
∴，解得：，
∴，
当时，，解得：，
∴，
∴，
∴；
（2）解：令，则，
∴，
∵，，，
∴，，，，
当以O，A，P为顶点的三角形与相似时，分两种情况进行讨论：
①当，则：，
∴，
∴，
∴或；
②当，则：，
∴，
∴，
∴或；
综上：点P坐标为或或或．
28．(1)
(2)；理由见解析
(3)的长为或1
（1）解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：；理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：分以下两种情况讨论：
①当四边形关于所在直线对称时，如图3，此时交于点H，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
∵四边形是矩形，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴；
②当四边形为矩形时，如图4，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上所述，线段的长为或1．

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