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四川省南充高级中学2024—2025学年八年级下学期第二次随堂检测（5月）数学试题
一、单选题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）
1．（2025八下·南充月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·南充月考）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，，3 B．2，2，3 C．1，， D．
3．（2025八下·南充月考）下列命题中，假命题的是（　　）
A．四个角都相等的四边形是矩形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．四条边都相等的四边形是正方形
D．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形
4．（2025八下·南充月考）下列各点中，在函数y＝﹣2x的图象上的是（　　）
A．（，1） B．（﹣，1）
C．（﹣，﹣1）　　 D．（0，﹣1）
5．（2025八下·南充月考）如图，点、、、分别是四边形边、、、的中点．当时则四边形是（　　）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
6．（2025八下·南充月考）平行四边形的两条对角线分别为和，则其中一条边长的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八下·南充月考）如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，垂直平分于点E，则的长为（　　）
A．5 B． C． D．10
8．（2025八下·南充月考）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、．若，则四边形的面积为（　　）
A．12 B．16 C．20 D．24
9．（2025八下·南充月考）甲、乙两人从公园门口骑自行车沿同一路线匀速行驶，乙先出发，一段时间后甲再出发．甲、乙两人之间的路程差与乙行驶的时间的关系如图所示，则下列说法中，错误的是（　　）
A．乙的行驶速度为
B．甲的行驶速度为
C．
D．乙出发或时，甲、乙两人之间的路程差为
10．（2025八下·南充月考）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①AP＝EF且AP⊥EF；②∠PFE＝∠BAP；③△ADP一定是等腰三角形；④四边形PECF的周长为；⑤EF的最小值为；⑥ PB2＋PD2＝2PA2．其中正确结论的个数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．（2025八下·南充月考）已知函数是正比例函数，那么的值是　 　．
12．（2025八下·南充月考）若一个直角三角形的两直角边长分别为和，则其斜边上的中线长为　 　．
13．（2025八下·南充月考）已知实数满足，则的值　 　．
14．（2025八下·南充月考）如图，在菱形中，对角线分别为48和20，于点E，则　 　．
15．（2025八下·南充月考）如图，菱形中，，，，点P为对角线上的一个动点，则的最小值为　 　．
16．（2025八下·南充月考）如图，在中，点、分别是边、的中点，连接、，点、分别是、的中点，连接，若，，，则的长度为　 　．
三、解答题
17．（2025八下·南充月考）计算题
（1）
（2）先化简，再求值：，求的值
18．（2025八下·南充月考）如图在平面直角坐标系中，点A（-2，0），B（2，3），C（0，4）．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）点D为平面直角坐标系中的点，以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，写出所有满足条件的点D的坐标．
19．（2025八下·南充月考）已知与成正比例，且当时，．
（1）求关于的函数关系式；
（2）若点在该一次函数的图象上，求的值．
20．（2025八下·南充月考）已知：如图，在中，点、在对角线上，且，求证：四边形是平行四边形．
21．（2025八下·南充月考）如图，在长方形中，动点以厘米秒的速度，由A点出发，沿匀速运动，到点停止运动．设运动的时间为秒，三角形的面积为平方厘米．图为运动过程中，与的关系图象．
（1）由图可知，　 　厘米；
（2）当点在上运动时，求与的关系式；
（3）在整个运动过程中，当三角形的面积为平方厘米时，求的值．
22．（2025八下·南充月考）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，长．已知海港C到A的距离为，到B的距离为．台风的影响范围为台风中心周围内．
（1）海港C受台风影响吗？请说明理由．
（2）若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？
23．（2025八下·南充月考）如图，四边形是平行四边形，相交于点O，E为的中点，连接，过点E作于点F，过点O作于点G．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若四边形是菱形，，求的长．
24．（2025八下·南充月考）正方形ABCD中，E点为BC中点，连接AE，过B点作BF⊥AE，交CD于F点，交AE于G点，连接GD，过A点作AH⊥GD交GD于H点．
(1) 求证：△ABE≌△BCF；
(2) 若正方形边长为4，AH =，求△AGD的面积．
25．（2025八下·南充月考）如图，点M是正方形的边上一点，连接，点E是线段上一点，的平分线交延长线于点F．
（1）图1，若G为的中点，延长至N，使，连接，且，连接，求证：四边形为菱形；
（2）如图2，若点E为线段的中点，，求的长；
（3）如图3，若，求证：．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】A、，被开方数里含有能开得尽方的因数8，故本选项不符合题意；
B、符合最简二次根式的条件；故本选项符合题意；
C、，被开方数里含有分母；故本选项不符合题意．
D、，被开方数里含有能开得尽方的因式；故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断可得答案。
2．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、，∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵，∴能构成直角三角形，故此选项符合题意；
D、，∴不能构成三角形，故此选项不符合题意；
故选C．
【分析】本题主要对勾股定理逆定理进行考查。
对三个选项中的数进行平方和计算，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，ABD均不合题意．
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】根据矩形、平行四边形、正方形、菱形的判定方法依次分析各选项即可作出判断。
【解答】A、四个角都相等的四边形是矩形，B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，D、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，均为真命题，不符合题意；
C、四条边都相等的四边形是菱形，不一定是正方形，故为假命题，本选项符合题意。
【点评】特殊四边形的的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握。
4．【答案】B
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】A、把（，1）代入函数y=-2x得：左边=1，右边=-1，左边≠右边，所以点（，1）不在函数y=-2x的图象上，故本选项不符合题意；
B、把（-，1）代入函数y=-2x得：左边=1，右边=1，左边=右边，所以点（-，1）在函数y=-2x的图象上，故本选项符合题意；
C、把（-，-1）代入函数y=-2x得：左边=-1，右边=1，左边≠右边，所以点（-，-1）不在函数y=-2x的图象上，故本选项不符合题意；
D、把（0，-1）代入函数y=-2x得：左边=-1，右边=0，左边≠右边，所以点（0，-1）不在函数y=-2x的图象上，故本选项不符合题意；
故选B．
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：在这条直线上的各点的坐标一定适合这条直线的解析式．分别将各选项的点带入解析式进行判断ACD均不合题意．
5．【答案】B
【知识点】菱形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点、、、分别是四边形边、、、的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴四边形是菱形；
故选：B．
【分析】本题主要对三角形的中位线、平行四边形和菱形的判定进行考察；
在中E、H分别为边AB、AD的中点，因此根据三角形的中位线定理可得，同理可得，因此有，所以四边形是平行四边形，由题意可知进而得到，所以四边相等，即四边形是菱形．
6．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：根据题意，设，，，画出下图，
∵四边形是平行四边形，且点O为角平分线交点
∴，，
∵三角形两边之和小于第三边，
∴中，，即，
∴，
故选：．
【分析】
本题主要对平行四边形的性质以及三角形的三边关系定理进行考查．
根据题意优先画出图形，在中根据平行四边形对角线互相平分，可得出，再根据三角形的性质：任意两边之和大于第三边，在中建立不等式并进行求解，解得．
7．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
，
∴，
；
故选：C．
【分析】此题主要对矩形的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识进行考查。
因为四边形ABCD为矩形，所以角平分线互相平分且相等，可得到，进而可证是等边三角形，所以，因此有，在中，根据勾股定理有．
8．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是菱形．
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
∴四边形的面积为．
故选：C
【分析】本题主要对矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识进行考查．
因为四边形ABCD为矩形，所以由，根据角平分线的性质可得到，根据垂直平分线的性质，可得到，，满足角边角判定条件，所以有，进一步得到，可证四边相等的平行四边形是菱形；在中，根据勾股定理得，又因为，，所以，解一元二次方程可得，进而得到．
9．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图可得，乙先出发，一段时间后甲再出发
乙的速度为：，A正确；
由图可得，乙出发小时后，到达目的地，
总路程为：，C正确；
当时，甲到达目的地，即甲走了小时，
则甲的速度为：B正确；
前，乙行驶的路程为：，
则甲、乙两人路程差为是在甲乙相遇之后，
设乙出发时，甲、乙两人路程差为，
，
解得，，
，得；
即乙出发或时，甲、乙两人路程差为．故D选项错误，符合题意，
故选：D．
【分析】本题主要对函数的图象，数形结合进行考查；根据题干与图像信息可求得甲速度25km/h，乙速度10km/h，两者最大路程差a=10，当甲乙相距有两种情况，在相遇前的第与相遇后的第路程差为7.5km．
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】①连接PC，延长FP交AB于点G，
∵PE⊥BC， PF⊥CD，
∴∠PEC=∠PFC=90°，
∵正方形ABCD中，∠BCD=90°，
∴∠EPF=90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴PC=EF，
由正方形的对称性知，AP=PC，
∴AP=EF；
∵AB∥CD，
∴PF⊥AB，
∵△APG和△FEP中，PE⊥PG，PF⊥AG，
∴AP⊥EF；
∴正确；
②∵PC=EF，PE=EP，
∴Rt△PCE≌Rt△EFP(HL)，
∴∠PFE=∠ECP，
∵∠BAP=∠BCP，
∴∠BAP=∠PFE；
∴正确；
③∵∠ADP=45°，
∴∠DAP+∠DPA=135°，
∵∠DAP＜∠DAB=90°，∠DPA＞∠DBA=45°，
∴只有当∠DAP=∠DPA=67.5°时，或∠PAD=∠PDA=45°时，△ADP才是等腰三角形，除此之外都不是等腰三角形；
∴不正确；
④∵∠BDC=∠DBC=45°，∠DFP=∠PEB=90°，
∴∠BPE=90-∠PBE=45°，∠DPF=90-∠PDF=45°，
∴BE=PE，DF=PF，
∴PE+EC+PF+CF=(BE+EC)+(DF+CF)=BC+CD=4+4=8；
∴不正确；
⑤连接AC，设AC与BD交点为O，
则AC⊥BD，
∴AP≥AO，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴EF的最小值为；
∴正确；
⑥∵，PE=BE，PF=DF，
∴，
即；
∴正确．
故选：B．
【分析】本题主要对正方形，矩形，全等三角形，轴对称，等腰三角形，勾股定理等知识点进行考查；
① 首先，连接PC并延长FP，交AB于点G。由于已知PE垂直于BC，PF垂直于CD，并且在正方形ABCD中，∠BCD为90°，我们可以得出四边形PECF是矩形，因此PC等于EF。根据正方形的对称性，进一步推导出AP等于PC，即AP=EF。接下来，由于PE垂直于PG，PF垂直于AG，因此我们也可以得出AP垂直于EF。故①是正确的；
② 由于PC=EF，且PE=EP，我们可以得出直角三角形PCE与EFP是全等的（Rt△PCE ≌ Rt△EFP）。因此，∠PFE=∠ECP。又根据已知条件∠BAP=∠BCP，我们可以推导出∠BAP=∠PFE。故②是正确的；
③ 根据∠ADP=45°，可以得出∠DAP+∠DPA=135°。同时，已知∠DAP＜∠DAB=90°，并且∠DPA＞∠DBA=45°。因此，只有在∠DAP=∠DPA=67.5°或∠PAD=∠PDA=45°的情况下，△ADP才会是等腰三角形。除此之外，△ADP都不是等腰三角形。故③的结论是不正确的；
④ 根据已知条件∠BDC=∠DBC=45°，以及∠DFP=∠PEB=90°，我们可以得出∠BPE=45°和∠DPF=45°。由此，得出BE=PE和DF=PF。因此，PE+EC+PF+CF可以表示为（BE+EC）+（DF+CF），即BC+CD。根据题设，BC=4，CD=4，因此PE+EC+PF+CF=4+4=8。故④的结论是不正确的；
⑤连接AC，设AC与BD交点为O，得到AC⊥BD，AP≥AO，根据题干信息，可得，所以，得到，推出EF的最小值为；⑤正确；
⑥根据，PE=BE，PF=DF，得到，得到；⑥正确．
11．【答案】
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：函数是正比例函数，
，且，
解得：，
故答案为：．
【分析】本题主要对正比例函数的定义进行考查；因为该函数为正比例函数，所以系数为不为0，且x的幂为1，列得方程组解得．
12．【答案】5
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：一个直角三角形的两直角边长分别为和，
根据勾股定理，这个直角三角形的斜边是，
其斜边上的中线长为中线的一半，即为，
故答案为：．
【分析】
本题对勾股定理，直角三角形的斜边中线定理进行考查，根据勾股定理求出斜边长，由勾3股4弦5可直接得出斜边长为10，再根据直角三角形的斜边中线定理斜边中线等于斜边的一半，所以斜边中线长为5．
13．【答案】401
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：由根式下的数大于0，得：，
∴
∴原方程可化为，
∴
∴，
∴
故答案为：
【分析】
本题主要对二次根式有意义的条件、绝对值的化简以及方程的变形进行考查.
如果要二次根式有意义，则需要，即a的范围为，所以恒成立，整理等式得出.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；面积及等积变换
【解析】【解答】解：如图，设对角线交于点O，
∵四边形是菱形，对角线分别为48和20，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：．
故答案为：
【分析】本题主要对勾股定理，菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．设对角线交于点O，根据菱形的性质-对角线互相垂直且平分，因此有，在中，根据勾股定理有，根据面积法可列得，解得．
15．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接，，过作于，
由菱形的对称性可得：，
∴，
当三点共线时，最短，
∵菱形中，，，
∴，为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为：；
故答案为：
【分析】本题主要对菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用等知识进行考查；连接，，过作于，因为四边形ABCD为菱形，所以有，进而可列出不等关系，根据不等式可知，当三点共线时，最短，可解得，即最小值为．
16．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接并延长交于点，连接，作交的延长线于点，
点、分别是、的中点
∴，
∵四边形是平行四边形
，
，
，
点、分别是边、的中点
，
，
∵
，
，
∵G，H分别为CE，CK的中点
故答案为：．
【分析】
先根据 点、分别是边、的中点， 分别求出AE，CF的长，再证明，得到 ，，又因为G为CE的中点，根据中位线性质可得：，把求GH转化为求EK，再证明△ALE为等腰直角三角形，求出AL和EL，从而可以求出DL，最后再根据勾股定理：求出EK即可.
17．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
，
，
，
原式．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；分母有理化；二次根式的化简求值；实数的绝对值
【解析】【分析】本题主要对二次根式的化简求值，完全平方公式的应用，零次幂，负整数指数幂的含义进行考查．
（1）根据化简原式各项，再计算加减得出结果为；
（2）优先对原式进行整理，原式，因此只需得到的值即可求解，计算得，所以原式=17.
（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
，
，
，
原式．
18．【答案】解：（1）∵，，∴
∴△ACB是直角三角形；
（2） D1(0，-1)，D2（-4，1），D3（4，7）
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质；直角三角形的判定
【解析】【分析】本题主要对直角三角形的判定，平行四边形的性质和判定，平面直角坐标系中点的坐标等知识点进行考查．（1）根据勾股定理计算各边边长，再判断△ABC的形状；
（2）根据已知三点，且D点与其他三点可组成平行四边形，所以存在三种情况，分别找到三个点完成求解．
19．【答案】（1）解：与成正比例，
设一次函数的关系式为：，
当时，时，
代入得，
解得，
与的函数关系式为：，
即；
（2）解：点在这个函数图象上，
把，，代入，
得，
解得．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；正比例函数的概念
【解析】【分析】（1）根据与成正比例，设一次函数的关系式，再把时，．代入求得，所以关系式为；
（2）因为点再该一次函数图象上，所把代入一次函数得，解得．
（1）解：与成正比例，
设一次函数的关系式为：，
当时，时，
代入得，
解得，
与的函数关系式为：，
即；
（2）解：点在这个函数图象上，
把，，代入，
得，
解得．
20．【答案】证明：连接交于点，∵四边形是平行四边形，点是对角线、的交点，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】本题主要对平行四边形的判定与性质进行考查，根据平行四边形的性质：对角线互相平分，可得，，根据题干信息可得到，因为且， 四边形是平行四边形得证。
21．【答案】（1）6
（2）
（3）解：当点在线段上时，，
，此时，
当点在线段上时，根据对称性可知，
，
综上所述，满足条件的的值为或．
【知识点】函数解析式；通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：（1）解：观察图可知，，．
故答案为：；
【分析】本题主要对图象法解决问题、三角形面积计算、图像对称性等知识点进行考查。
根据题干信息可知，点P在AB上运动时面积增大，再BC边上运动时面积不变，在CD上运动时面积减小，所以第6秒P点运动到B点，所以；
利用三角形面积公式S可由底乘高进行计算，以边AD为底，边AP为高，则有；
当点在线段上时，由（2）所得关系式可得对应到CD边时有，所以的值为或．
（1）解：观察图可知，，．
故答案为：；
（2）解：∵四边形是长方形，
，，
当点在线段上时，；
（3）解：当点在线段上时，，
，此时，
当点在线段上时，根据对称性可知，
，
综上所述，满足条件的的值为或．
22．【答案】（1）解：海港C受台风影响．理由如下：
如图，过点C作于D，
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，
∴海港C受到台风影响，
（2）解：如图，当，时，正好影响C港口，∵，
∴，
∵台风的速度为，
∴（小时），
即台风影响该海港持续的时间为1.4小时．
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的实际应用-（台风、噪音、触礁、爆破）影响范围问题；面积及等积变换
【解析】【分析】本题对勾股定理在实际生活中的运用进行考查．
（1）根据已知信息绘制相对图形，由题干信息有，，，根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，根据三角形面积关系，所以有解得，因此海港C是否受台风影响；
（2）由勾股定理计算出所以，台风影响该海港持续的时间（小时）．
（1）解：海港C受台风影响．理由如下：
如图，过点C作于D，
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，
∴海港C受到台风影响，
（2）解：如图，当，时，正好影响C港口，
∵，
∴，
∵台风的速度为，
∴（小时），
即台风影响该海港持续的时间为1.4小时．
23．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
点是的中点，
．
，
，
于点，于点，
，
四边形是平行四边形
，
，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是菱形，
，，，，
，，
，，
在中，，
，
即，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的性质等知识点进行考查；（1）因为四边形ABCD是平行四边形，两对角线互相平分，所以，因为E为AB中点，所以，因此，于点，于点，则，可证明四边形EFGO为平行四边形，又因为，所以，因此四边形是矩形得证；
（2）因为四边形ABCD是菱形，所以对角线互相垂直，即，在中，，根据面积法有，可解得．
24．【答案】解：证明：（1）正方形ABCD中，∠ABE=90°，∴∠1+∠2=90°，
又AE⊥BF，∴∠3+∠2=90°，则∠1=∠3 ，又∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC
在△ABE和△BCF中，
∠1=∠3，AB=BC，∠ABE=∠BCF，∴△ABE≌△BCF（ASA）
（2）延长BF交AD延长线于M点，
∴∠MDF=90°
由（1）知△ABE≌△BCF，
∴CF=BE
∵E点是BC中点，
∴BE=BC，即CF=CD=FD，
在△BCF和△MDF中，
∠BCF=∠MDF，CF=DF，∠BFC=∠MFD，
∴△BCF≌△MDF（ASA）
∴BC=DM，即DM=AD，D是AM中点
又AG⊥GM，即△AGM为直角三角形，
∴GD=AM=AD
又∵正方形边长为4，
∴GD=4
S△AGD=GD AH=×4×=．
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】本题主要对正方形的性质与全等三角形的判定与性质进行综合考查。（1）结合正方形ABCD与AE⊥BF，可得到∠1=∠3，因为∠1=∠3，AB=BC，∠ABE=∠BCF，所以两三角形全等得证；
（2）延长BF交AD延长线于M点，根据△ABE≌△BCF，可得BE=BC，即CF=CD=FD，进一步证明△BCF≌△MDF，所以有BC=DM，即DM=AD，D是AM中点，进而证明△AGM为直角三角形，所以S△AGD=GD AH=×4×=．
25．【答案】（1）证明：如图所示：
∵G为的中点，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形为菱形；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，
∵在中，点E为斜边的中点，，
∴，
由勾股定理得，
即，
∴，
∴；

（3）证明：过点A作交延长线于H，过点D作于点P，如图所示：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；菱形的判定；正方形的性质
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的判定方法求出四边形为平行四边形，再求出，最后根据菱形的判定方法证明求解即可；
（2）根据正方形的性质求出，再求出AM的值，最后利用勾股定理计算求解即可；
（3）根据题意先求出是等腰直角三角形，再利用SAS证明，最后利用全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质等证明求解即可。
（1）解：∵G为的中点，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形为菱形；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，
∵在中，点E为斜边的中点，，
∴，
由勾股定理得，即，
∴，
∴；
（3）证明：过点A作交延长线于H，过点D作于点P，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴．
1 / 1四川省南充高级中学2024—2025学年八年级下学期第二次随堂检测（5月）数学试题
一、单选题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）
1．（2025八下·南充月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】A、，被开方数里含有能开得尽方的因数8，故本选项不符合题意；
B、符合最简二次根式的条件；故本选项符合题意；
C、，被开方数里含有分母；故本选项不符合题意．
D、，被开方数里含有能开得尽方的因式；故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断可得答案。
2．（2025八下·南充月考）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，，3 B．2，2，3 C．1，， D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、，∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵，∴能构成直角三角形，故此选项符合题意；
D、，∴不能构成三角形，故此选项不符合题意；
故选C．
【分析】本题主要对勾股定理逆定理进行考查。
对三个选项中的数进行平方和计算，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，ABD均不合题意．
3．（2025八下·南充月考）下列命题中，假命题的是（　　）
A．四个角都相等的四边形是矩形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．四条边都相等的四边形是正方形
D．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】根据矩形、平行四边形、正方形、菱形的判定方法依次分析各选项即可作出判断。
【解答】A、四个角都相等的四边形是矩形，B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，D、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，均为真命题，不符合题意；
C、四条边都相等的四边形是菱形，不一定是正方形，故为假命题，本选项符合题意。
【点评】特殊四边形的的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握。
4．（2025八下·南充月考）下列各点中，在函数y＝﹣2x的图象上的是（　　）
A．（，1） B．（﹣，1）
C．（﹣，﹣1）　　 D．（0，﹣1）
【答案】B
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】A、把（，1）代入函数y=-2x得：左边=1，右边=-1，左边≠右边，所以点（，1）不在函数y=-2x的图象上，故本选项不符合题意；
B、把（-，1）代入函数y=-2x得：左边=1，右边=1，左边=右边，所以点（-，1）在函数y=-2x的图象上，故本选项符合题意；
C、把（-，-1）代入函数y=-2x得：左边=-1，右边=1，左边≠右边，所以点（-，-1）不在函数y=-2x的图象上，故本选项不符合题意；
D、把（0，-1）代入函数y=-2x得：左边=-1，右边=0，左边≠右边，所以点（0，-1）不在函数y=-2x的图象上，故本选项不符合题意；
故选B．
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：在这条直线上的各点的坐标一定适合这条直线的解析式．分别将各选项的点带入解析式进行判断ACD均不合题意．
5．（2025八下·南充月考）如图，点、、、分别是四边形边、、、的中点．当时则四边形是（　　）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【答案】B
【知识点】菱形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点、、、分别是四边形边、、、的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴四边形是菱形；
故选：B．
【分析】本题主要对三角形的中位线、平行四边形和菱形的判定进行考察；
在中E、H分别为边AB、AD的中点，因此根据三角形的中位线定理可得，同理可得，因此有，所以四边形是平行四边形，由题意可知进而得到，所以四边相等，即四边形是菱形．
6．（2025八下·南充月考）平行四边形的两条对角线分别为和，则其中一条边长的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：根据题意，设，，，画出下图，
∵四边形是平行四边形，且点O为角平分线交点
∴，，
∵三角形两边之和小于第三边，
∴中，，即，
∴，
故选：．
【分析】
本题主要对平行四边形的性质以及三角形的三边关系定理进行考查．
根据题意优先画出图形，在中根据平行四边形对角线互相平分，可得出，再根据三角形的性质：任意两边之和大于第三边，在中建立不等式并进行求解，解得．
7．（2025八下·南充月考）如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，垂直平分于点E，则的长为（　　）
A．5 B． C． D．10
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
，
∴，
；
故选：C．
【分析】此题主要对矩形的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识进行考查。
因为四边形ABCD为矩形，所以角平分线互相平分且相等，可得到，进而可证是等边三角形，所以，因此有，在中，根据勾股定理有．
8．（2025八下·南充月考）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、．若，则四边形的面积为（　　）
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是菱形．
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
∴四边形的面积为．
故选：C
【分析】本题主要对矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识进行考查．
因为四边形ABCD为矩形，所以由，根据角平分线的性质可得到，根据垂直平分线的性质，可得到，，满足角边角判定条件，所以有，进一步得到，可证四边相等的平行四边形是菱形；在中，根据勾股定理得，又因为，，所以，解一元二次方程可得，进而得到．
9．（2025八下·南充月考）甲、乙两人从公园门口骑自行车沿同一路线匀速行驶，乙先出发，一段时间后甲再出发．甲、乙两人之间的路程差与乙行驶的时间的关系如图所示，则下列说法中，错误的是（　　）
A．乙的行驶速度为
B．甲的行驶速度为
C．
D．乙出发或时，甲、乙两人之间的路程差为
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图可得，乙先出发，一段时间后甲再出发
乙的速度为：，A正确；
由图可得，乙出发小时后，到达目的地，
总路程为：，C正确；
当时，甲到达目的地，即甲走了小时，
则甲的速度为：B正确；
前，乙行驶的路程为：，
则甲、乙两人路程差为是在甲乙相遇之后，
设乙出发时，甲、乙两人路程差为，
，
解得，，
，得；
即乙出发或时，甲、乙两人路程差为．故D选项错误，符合题意，
故选：D．
【分析】本题主要对函数的图象，数形结合进行考查；根据题干与图像信息可求得甲速度25km/h，乙速度10km/h，两者最大路程差a=10，当甲乙相距有两种情况，在相遇前的第与相遇后的第路程差为7.5km．
10．（2025八下·南充月考）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①AP＝EF且AP⊥EF；②∠PFE＝∠BAP；③△ADP一定是等腰三角形；④四边形PECF的周长为；⑤EF的最小值为；⑥ PB2＋PD2＝2PA2．其中正确结论的个数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】①连接PC，延长FP交AB于点G，
∵PE⊥BC， PF⊥CD，
∴∠PEC=∠PFC=90°，
∵正方形ABCD中，∠BCD=90°，
∴∠EPF=90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴PC=EF，
由正方形的对称性知，AP=PC，
∴AP=EF；
∵AB∥CD，
∴PF⊥AB，
∵△APG和△FEP中，PE⊥PG，PF⊥AG，
∴AP⊥EF；
∴正确；
②∵PC=EF，PE=EP，
∴Rt△PCE≌Rt△EFP(HL)，
∴∠PFE=∠ECP，
∵∠BAP=∠BCP，
∴∠BAP=∠PFE；
∴正确；
③∵∠ADP=45°，
∴∠DAP+∠DPA=135°，
∵∠DAP＜∠DAB=90°，∠DPA＞∠DBA=45°，
∴只有当∠DAP=∠DPA=67.5°时，或∠PAD=∠PDA=45°时，△ADP才是等腰三角形，除此之外都不是等腰三角形；
∴不正确；
④∵∠BDC=∠DBC=45°，∠DFP=∠PEB=90°，
∴∠BPE=90-∠PBE=45°，∠DPF=90-∠PDF=45°，
∴BE=PE，DF=PF，
∴PE+EC+PF+CF=(BE+EC)+(DF+CF)=BC+CD=4+4=8；
∴不正确；
⑤连接AC，设AC与BD交点为O，
则AC⊥BD，
∴AP≥AO，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴EF的最小值为；
∴正确；
⑥∵，PE=BE，PF=DF，
∴，
即；
∴正确．
故选：B．
【分析】本题主要对正方形，矩形，全等三角形，轴对称，等腰三角形，勾股定理等知识点进行考查；
① 首先，连接PC并延长FP，交AB于点G。由于已知PE垂直于BC，PF垂直于CD，并且在正方形ABCD中，∠BCD为90°，我们可以得出四边形PECF是矩形，因此PC等于EF。根据正方形的对称性，进一步推导出AP等于PC，即AP=EF。接下来，由于PE垂直于PG，PF垂直于AG，因此我们也可以得出AP垂直于EF。故①是正确的；
② 由于PC=EF，且PE=EP，我们可以得出直角三角形PCE与EFP是全等的（Rt△PCE ≌ Rt△EFP）。因此，∠PFE=∠ECP。又根据已知条件∠BAP=∠BCP，我们可以推导出∠BAP=∠PFE。故②是正确的；
③ 根据∠ADP=45°，可以得出∠DAP+∠DPA=135°。同时，已知∠DAP＜∠DAB=90°，并且∠DPA＞∠DBA=45°。因此，只有在∠DAP=∠DPA=67.5°或∠PAD=∠PDA=45°的情况下，△ADP才会是等腰三角形。除此之外，△ADP都不是等腰三角形。故③的结论是不正确的；
④ 根据已知条件∠BDC=∠DBC=45°，以及∠DFP=∠PEB=90°，我们可以得出∠BPE=45°和∠DPF=45°。由此，得出BE=PE和DF=PF。因此，PE+EC+PF+CF可以表示为（BE+EC）+（DF+CF），即BC+CD。根据题设，BC=4，CD=4，因此PE+EC+PF+CF=4+4=8。故④的结论是不正确的；
⑤连接AC，设AC与BD交点为O，得到AC⊥BD，AP≥AO，根据题干信息，可得，所以，得到，推出EF的最小值为；⑤正确；
⑥根据，PE=BE，PF=DF，得到，得到；⑥正确．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．（2025八下·南充月考）已知函数是正比例函数，那么的值是　 　．
【答案】
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：函数是正比例函数，
，且，
解得：，
故答案为：．
【分析】本题主要对正比例函数的定义进行考查；因为该函数为正比例函数，所以系数为不为0，且x的幂为1，列得方程组解得．
12．（2025八下·南充月考）若一个直角三角形的两直角边长分别为和，则其斜边上的中线长为　 　．
【答案】5
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：一个直角三角形的两直角边长分别为和，
根据勾股定理，这个直角三角形的斜边是，
其斜边上的中线长为中线的一半，即为，
故答案为：．
【分析】
本题对勾股定理，直角三角形的斜边中线定理进行考查，根据勾股定理求出斜边长，由勾3股4弦5可直接得出斜边长为10，再根据直角三角形的斜边中线定理斜边中线等于斜边的一半，所以斜边中线长为5．
13．（2025八下·南充月考）已知实数满足，则的值　 　．
【答案】401
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：由根式下的数大于0，得：，
∴
∴原方程可化为，
∴
∴，
∴
故答案为：
【分析】
本题主要对二次根式有意义的条件、绝对值的化简以及方程的变形进行考查.
如果要二次根式有意义，则需要，即a的范围为，所以恒成立，整理等式得出.
14．（2025八下·南充月考）如图，在菱形中，对角线分别为48和20，于点E，则　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；面积及等积变换
【解析】【解答】解：如图，设对角线交于点O，
∵四边形是菱形，对角线分别为48和20，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：．
故答案为：
【分析】本题主要对勾股定理，菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．设对角线交于点O，根据菱形的性质-对角线互相垂直且平分，因此有，在中，根据勾股定理有，根据面积法可列得，解得．
15．（2025八下·南充月考）如图，菱形中，，，，点P为对角线上的一个动点，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接，，过作于，
由菱形的对称性可得：，
∴，
当三点共线时，最短，
∵菱形中，，，
∴，为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为：；
故答案为：
【分析】本题主要对菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用等知识进行考查；连接，，过作于，因为四边形ABCD为菱形，所以有，进而可列出不等关系，根据不等式可知，当三点共线时，最短，可解得，即最小值为．
16．（2025八下·南充月考）如图，在中，点、分别是边、的中点，连接、，点、分别是、的中点，连接，若，，，则的长度为　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接并延长交于点，连接，作交的延长线于点，
点、分别是、的中点
∴，
∵四边形是平行四边形
，
，
，
点、分别是边、的中点
，
，
∵
，
，
∵G，H分别为CE，CK的中点
故答案为：．
【分析】
先根据 点、分别是边、的中点， 分别求出AE，CF的长，再证明，得到 ，，又因为G为CE的中点，根据中位线性质可得：，把求GH转化为求EK，再证明△ALE为等腰直角三角形，求出AL和EL，从而可以求出DL，最后再根据勾股定理：求出EK即可.
三、解答题
17．（2025八下·南充月考）计算题
（1）
（2）先化简，再求值：，求的值
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
，
，
，
原式．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；分母有理化；二次根式的化简求值；实数的绝对值
【解析】【分析】本题主要对二次根式的化简求值，完全平方公式的应用，零次幂，负整数指数幂的含义进行考查．
（1）根据化简原式各项，再计算加减得出结果为；
（2）优先对原式进行整理，原式，因此只需得到的值即可求解，计算得，所以原式=17.
（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
，
，
，
原式．
18．（2025八下·南充月考）如图在平面直角坐标系中，点A（-2，0），B（2，3），C（0，4）．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）点D为平面直角坐标系中的点，以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，写出所有满足条件的点D的坐标．
【答案】解：（1）∵，，∴
∴△ACB是直角三角形；
（2） D1(0，-1)，D2（-4，1），D3（4，7）
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质；直角三角形的判定
【解析】【分析】本题主要对直角三角形的判定，平行四边形的性质和判定，平面直角坐标系中点的坐标等知识点进行考查．（1）根据勾股定理计算各边边长，再判断△ABC的形状；
（2）根据已知三点，且D点与其他三点可组成平行四边形，所以存在三种情况，分别找到三个点完成求解．
19．（2025八下·南充月考）已知与成正比例，且当时，．
（1）求关于的函数关系式；
（2）若点在该一次函数的图象上，求的值．
【答案】（1）解：与成正比例，
设一次函数的关系式为：，
当时，时，
代入得，
解得，
与的函数关系式为：，
即；
（2）解：点在这个函数图象上，
把，，代入，
得，
解得．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；正比例函数的概念
【解析】【分析】（1）根据与成正比例，设一次函数的关系式，再把时，．代入求得，所以关系式为；
（2）因为点再该一次函数图象上，所把代入一次函数得，解得．
（1）解：与成正比例，
设一次函数的关系式为：，
当时，时，
代入得，
解得，
与的函数关系式为：，
即；
（2）解：点在这个函数图象上，
把，，代入，
得，
解得．
20．（2025八下·南充月考）已知：如图，在中，点、在对角线上，且，求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：连接交于点，∵四边形是平行四边形，点是对角线、的交点，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】本题主要对平行四边形的判定与性质进行考查，根据平行四边形的性质：对角线互相平分，可得，，根据题干信息可得到，因为且， 四边形是平行四边形得证。
21．（2025八下·南充月考）如图，在长方形中，动点以厘米秒的速度，由A点出发，沿匀速运动，到点停止运动．设运动的时间为秒，三角形的面积为平方厘米．图为运动过程中，与的关系图象．
（1）由图可知，　 　厘米；
（2）当点在上运动时，求与的关系式；
（3）在整个运动过程中，当三角形的面积为平方厘米时，求的值．
【答案】（1）6
（2）
（3）解：当点在线段上时，，
，此时，
当点在线段上时，根据对称性可知，
，
综上所述，满足条件的的值为或．
【知识点】函数解析式；通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：（1）解：观察图可知，，．
故答案为：；
【分析】本题主要对图象法解决问题、三角形面积计算、图像对称性等知识点进行考查。
根据题干信息可知，点P在AB上运动时面积增大，再BC边上运动时面积不变，在CD上运动时面积减小，所以第6秒P点运动到B点，所以；
利用三角形面积公式S可由底乘高进行计算，以边AD为底，边AP为高，则有；
当点在线段上时，由（2）所得关系式可得对应到CD边时有，所以的值为或．
（1）解：观察图可知，，．
故答案为：；
（2）解：∵四边形是长方形，
，，
当点在线段上时，；
（3）解：当点在线段上时，，
，此时，
当点在线段上时，根据对称性可知，
，
综上所述，满足条件的的值为或．
22．（2025八下·南充月考）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，长．已知海港C到A的距离为，到B的距离为．台风的影响范围为台风中心周围内．
（1）海港C受台风影响吗？请说明理由．
（2）若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】（1）解：海港C受台风影响．理由如下：
如图，过点C作于D，
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，
∴海港C受到台风影响，
（2）解：如图，当，时，正好影响C港口，∵，
∴，
∵台风的速度为，
∴（小时），
即台风影响该海港持续的时间为1.4小时．
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的实际应用-（台风、噪音、触礁、爆破）影响范围问题；面积及等积变换
【解析】【分析】本题对勾股定理在实际生活中的运用进行考查．
（1）根据已知信息绘制相对图形，由题干信息有，，，根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，根据三角形面积关系，所以有解得，因此海港C是否受台风影响；
（2）由勾股定理计算出所以，台风影响该海港持续的时间（小时）．
（1）解：海港C受台风影响．理由如下：
如图，过点C作于D，
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，
∴海港C受到台风影响，
（2）解：如图，当，时，正好影响C港口，
∵，
∴，
∵台风的速度为，
∴（小时），
即台风影响该海港持续的时间为1.4小时．
23．（2025八下·南充月考）如图，四边形是平行四边形，相交于点O，E为的中点，连接，过点E作于点F，过点O作于点G．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若四边形是菱形，，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
点是的中点，
．
，
，
于点，于点，
，
四边形是平行四边形
，
，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是菱形，
，，，，
，，
，，
在中，，
，
即，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的性质等知识点进行考查；（1）因为四边形ABCD是平行四边形，两对角线互相平分，所以，因为E为AB中点，所以，因此，于点，于点，则，可证明四边形EFGO为平行四边形，又因为，所以，因此四边形是矩形得证；
（2）因为四边形ABCD是菱形，所以对角线互相垂直，即，在中，，根据面积法有，可解得．
24．（2025八下·南充月考）正方形ABCD中，E点为BC中点，连接AE，过B点作BF⊥AE，交CD于F点，交AE于G点，连接GD，过A点作AH⊥GD交GD于H点．
(1) 求证：△ABE≌△BCF；
(2) 若正方形边长为4，AH =，求△AGD的面积．
【答案】解：证明：（1）正方形ABCD中，∠ABE=90°，∴∠1+∠2=90°，
又AE⊥BF，∴∠3+∠2=90°，则∠1=∠3 ，又∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC
在△ABE和△BCF中，
∠1=∠3，AB=BC，∠ABE=∠BCF，∴△ABE≌△BCF（ASA）
（2）延长BF交AD延长线于M点，
∴∠MDF=90°
由（1）知△ABE≌△BCF，
∴CF=BE
∵E点是BC中点，
∴BE=BC，即CF=CD=FD，
在△BCF和△MDF中，
∠BCF=∠MDF，CF=DF，∠BFC=∠MFD，
∴△BCF≌△MDF（ASA）
∴BC=DM，即DM=AD，D是AM中点
又AG⊥GM，即△AGM为直角三角形，
∴GD=AM=AD
又∵正方形边长为4，
∴GD=4
S△AGD=GD AH=×4×=．
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】本题主要对正方形的性质与全等三角形的判定与性质进行综合考查。（1）结合正方形ABCD与AE⊥BF，可得到∠1=∠3，因为∠1=∠3，AB=BC，∠ABE=∠BCF，所以两三角形全等得证；
（2）延长BF交AD延长线于M点，根据△ABE≌△BCF，可得BE=BC，即CF=CD=FD，进一步证明△BCF≌△MDF，所以有BC=DM，即DM=AD，D是AM中点，进而证明△AGM为直角三角形，所以S△AGD=GD AH=×4×=．
25．（2025八下·南充月考）如图，点M是正方形的边上一点，连接，点E是线段上一点，的平分线交延长线于点F．
（1）图1，若G为的中点，延长至N，使，连接，且，连接，求证：四边形为菱形；
（2）如图2，若点E为线段的中点，，求的长；
（3）如图3，若，求证：．
【答案】（1）证明：如图所示：
∵G为的中点，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形为菱形；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，
∵在中，点E为斜边的中点，，
∴，
由勾股定理得，
即，
∴，
∴；

（3）证明：过点A作交延长线于H，过点D作于点P，如图所示：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；菱形的判定；正方形的性质
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的判定方法求出四边形为平行四边形，再求出，最后根据菱形的判定方法证明求解即可；
（2）根据正方形的性质求出，再求出AM的值，最后利用勾股定理计算求解即可；
（3）根据题意先求出是等腰直角三角形，再利用SAS证明，最后利用全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质等证明求解即可。
（1）解：∵G为的中点，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形为菱形；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，
∵在中，点E为斜边的中点，，
∴，
由勾股定理得，即，
∴，
∴；
（3）证明：过点A作交延长线于H，过点D作于点P，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴．
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