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湖南省怀化市2025年中考三模数学试题
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2025·怀化模拟）-25的相反数是（　　）
A． B． C．-25 D．25
【答案】D
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】-25与25只有符号不同，
所以-25的相反数是25，
故答案为：D.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行求解即可.
2．（2025·怀化模拟）下列说法正确的是（　　）
A．“长沙市明天降雨的概率为”，意味着长沙市明天有的时间下雨
B．投掷一枚质地均匀的硬币次，出现正面朝上的次数不一定是次
C．“从一副完整的扑克牌中随机抽取一张牌恰好是方块”是不可能事件
D．“某彩票中头奖的概率是”，表示买张这种彩票一定会有张中头奖
【答案】B
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：、“长沙市明天降雨的概率为”，即下雨的可能性较大而不是降雨时长，故该选项不符合题意；
、投掷一枚质地均匀的硬币次，出现正面朝上的次数不一定是次，故该选项符合题意；
、“从一副完整的扑克牌中随机抽取一张牌恰好是方块”是随机事件，故该选项不符合题意；
、“某彩票中头奖的概率是”，表示买张这种彩票不一定会有张中头奖，故该选项不符合题意；
故选：．
【分析】本题主要对可能性的大小进行考查，A.降雨概率为75%而不是时长；B.掷硬币正面朝上的概率为50%，但不是掷10000次一定有5000次正面朝上；C. 从一副完整的扑克牌中随机抽取一张牌恰好是方块 ，存在可能性，故是随机事件；D. 某彩票中头奖的概率是 不代表10000张一定有一张。
3．（2025·怀化模拟）篆刻最早起源于先秦时期，是我国传统艺术之一.为了将这一传统艺术瑰宝发扬光大，不少中小学在劳动综合实践课程中都开设了篆刻这一课程.如图是一块篆刻印章的材料，其主视图为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：一块篆刻印章的材料，其主视图为：
故选：D．
【分析】本题主要对简单几何体的三视图进行考查．其上半部分主视图为直立长方形，底下为长方形，观察四个选项，D项符合要求．
4．（2025·怀化模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】A.，故本选项不符合题意；
B.，故本选项不符合题意；
C.，故本选项不符合题意；
D.，故本选项符合题意．
故选：D．
【分析】本题考主要对整式的运算，根据合并同类项的法则，幂的运算法则，单项式乘多项式法则等知识点进行考查对四个选项进行计算，ABC项均计算错误，D项计算正确．
5．（2025·怀化模拟）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故选：A．
【分析】本题主要对关于原点对称的点的坐标的特点进行考查，关于原点对称的点的坐标横、纵坐标互为相反数，根据选项进行判断，故选A．
6．（2025·怀化模拟）某学校篮球队10名队员的身高如下（单位：cm）：192，190，189，192，185，187，188，185，192，190.这组数据的众数和中位数分别为（　　）
A．192，186 B．190，189.5 C．192，189.5 D．192，190
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：重新排列数据： 185，185，187，188，189，190，190， 192，192，192.
∴众数为192，中位数为，
故选C．
【分析】此题主要对众数和中位数进行考查，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．数据中出现最多的一个数是众数．
7．（2025·怀化模拟）近几年，国产新能源汽车在电池技术突破和智能科技提升方面取得了长足进步.同时，在国家购车补贴优惠政策的支持下，价格不断降低，销量增长迅速，市场占有率越来越高.某型号国产新能源汽车原售价为元，现打八折，再优惠元，那么该型号新能源汽车现在的售价为（　　）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】C
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：由题意得：打八折后新能源汽车的价格为元，
再优惠元后，新能源汽车的售价为元
故选：C．
【分析】
本题主要对用代数式表示实际问题中的数量关系，因为汽车原价m元，打八折后售价为，再优惠元后，新能源汽车的售价为元．
8．（2025·怀化模拟）如图，，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得，所以．
9．（2025·怀化模拟）在春季研学活动中，某校学生前往研学基地学习编织一种圆锥形传统手工艺术品.若这种圆锥形传统手工艺术品的母线长为50cm，底面圆的半径为25cm，则该圆锥形传统手工艺术品的侧面积为（　　）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
【答案】C
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：．
故选：C．
【分析】本题主要最圆锥侧面积计算进行考查，圆锥侧面积等于．
10．（2025·怀化模拟）已知，两点在反比例函数的图象上，下列说法正确的是（　　）
A．当时，； B．当时，；
C．当时，； D．当时，；
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：反比例函数，
∵，∴函数图象经过第一、三象限，每个象限随的增大而减小，当时，，当时，，因为，两点在反比例函数的图象上，
当时，，则，故A选项正确，符合题意；
当时，，则，故B、C选项错误，不符合题意；
当时，，则，故D选项错误，不符合题意；
故选：A ．
【分析】根据解析式，其中，函数图象经过第一、三象限，每个象限随的增大而减小，根据其单调性对四个选项进行判断，A项正确，其余三项错误．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·怀化模拟）若代数式有意义，则实数的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，得，
解得．
故答案为：．
【分析】本题对二次根式有意义的条件进行考查，要使根式有意义则需要根式下的数大于0，即，解得．
12．（2025·怀化模拟）关于的分式方程的解是，那么的值是　 　.
【答案】
【知识点】已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵关于的分式方程的解是，∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】本题对分式方程的解进行考查，将代入分式方程中，列出等式，求得．
13．（2025·怀化模拟）如图，为的直径，弦于点，，，那么该圆的半径为　 　.
【答案】13
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如下图，连接，设该圆的半径为，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
即，
解得
∴该圆的半径为，
故答案为：13．
【分析】本题主要对垂径定理、勾股定理等知识进行考查．首先连接并设该圆的半径为，根据垂径定理，可得，在中，根据勾股定理有，带入未知数x有，解得．
14．（2025·怀化模拟）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
即，
解得．
故答案为：．
【分析】本题主要对一元二次方程根的判别式及应用进行考查，根据题意 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根 ，所以判别式，解得．
15．（2025·怀化模拟）“三高四新”战略是习近平总书记为推动湖南省经济高质量发展而搫画的重要战略.为了解某社区居民对这一重要战略的知晓情况，从该社区30000名成年居民中随机抽取了2000名居民进行调查.结果显示，有1900名居民知晓.由此，估计该社区全体成年居民中知晓湖南省“三高四新”重要战略的居民有　 　名.
【答案】28500
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（名）．
所以该社区全体成年居民中知晓湖南省“三高四新”重要战略的居民有28500名．
故答案为：28500．
【分析】本题主要对样本估计总体的解题思路进行考查，优先计算样本中的比例，再用样本比例乘以总数完成求解，（名）．
16．（2025·怀化模拟）现有长短、形状、质地完全相同的筷子，仅颜色不同，共有红、橙、黄、绿、蓝、紫六种颜色，每种颜色各根.闭上眼至少随机摸出　 　根筷子，才能保证摸出的筷子中至少有双.（同色两根为一双）
【答案】25
【知识点】探索数与式的规律；逻辑推理
【解析】【解答】解：假设先摸的是红、橙、黄、绿、蓝、紫根，再摸一根就可成为一双筷子，（根），
摸出第二双，需要（根），摸出第三双，需要（根），
；
以此类推，摸出第双，需要（根），
∴闭上眼至少随机摸出根筷子，才能保证摸出的筷子中至少有双，
故答案为：．
【分析】本题主要对探索数字规律进行考查；假设先摸到的6双筷子为各颜色各一根，则再摸任意一根就可以成为一双筷子，此时为7根，摸出第二双，需要根，摸出第三双，需要根，以此类推每多摸一次在原有基础上+2，因此要保证摸出的筷子至少有十双，则需要摸（根）．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025·怀化模拟）计算：.
【答案】解：
【知识点】零指数幂；二次根式的加减法；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】本题主要对零指数幂的运算、二次根式的化简、特殊角的三角函数值进行考查．对原式中每一项单独计算，，再对各项进行加法计算原式。
18．（2025·怀化模拟）解不等式组：.
【答案】解：由①得：；
由②得：，
∴原不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题对解一元一次不等式组进行考查，首先求解得，再求解得，取两个解集的交集得．
19．（2025·怀化模拟）如图，在中，是边上的中线，，，，.
（1）求的长；
（2）求的值.
【答案】（1）解：∵，，，∴；
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵是边上的中线，∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；解直角三角形；三角形的中线
【解析】【分析】本题主要对解直角三角形、勾股定理、三角形的中线等知识进行考查．
（1）在中由勾股定理求得，再根据题干角C的正切计算得，所以；
（2）根据三角形中线的性质，所以可得，进一步得到，在中根据勾股定理可得，进一可得．
（1）解：∵，，，
∴；
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵是边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．（2025·怀化模拟）杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司（简称：DeepSeek）在人工智能兴起的时代大背景下异军突起，引起全球关注.该公司致力于深度探索人工智能技术的无限可能，其开发的模型在多个基准测试中表现出色，甚至在某些领域超越了全球领先的人工智能公司.为了顺应时代发展，迎接人工智能时代的到来，某高校开设了四门人工智能相关课程（A：机器视觉；B：人脸识别；C：智能控制；D：自动规划）.为了解该高校学生对各课程的喜好，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如图所示的两幅不完整统计图.
请根据统计图回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有_______人；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）在平时的智能控制课堂学习中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀.现决定从这四人中任选两人参加全国机器人智能控制大赛，求恰好同时选中丙、丁两人的概率（用画树状图或列表的方法解答）.
【答案】（1）200
（2）解：喜欢C类课程的学生数为．
补全统计图如下：
（3）解：
第二次 第一次 甲 乙 丙 丁
甲 （乙甲） （丙甲） （丁甲）
乙 （甲乙） （丙乙） （丁乙）
丙 （甲丙） （乙丙） （丁丙）
丁 （甲丁） （乙丁） （丙丁）
一共有12种可能出现的结果，符合条件的有2种，
所以恰好同时选丙，丁两人的概率是．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：∵喜欢A类课程所对应的圆心角为，∴喜欢A类课程的学生数占抽取总数的，
∴被调查的学生共有（人）；
故答案为：200；
【分析】本题主要对扇形统计图和条形统计图的综合问题，列表格（画树状图）求概率等知识点进行考查；
（1）根据扇形统计图优先求出喜欢A类课程的百分比，再用喜欢A类课程的人数除以占比，得到被调查人数=200人；
（2）根据条形统计图，喜欢C类课程的人数等于总人数减去其它三类的人数，进而补全统计图；
（3）写出所有存在可能，再列出表格，再计算恰好同时选中丙、丁两人的次数，再除以总数计算出概率为．
（1）解：∵喜欢A类课程所对应的圆心角为，
∴喜欢A类课程的学生数占抽取总数的，
∴被调查的学生共有（人）；
故答案为：200；
（2）解：喜欢B类课程的学生数为．
补全统计图如下：
（3）解：
第二次 第一次 甲 乙 丙 丁
甲
（乙甲） （丙甲） （丁甲）
乙 （甲乙）
（丙乙） （丁乙）
丙 （甲丙） （乙丙）
（丁丙）
丁 （甲丁） （乙丁） （丙丁）
一共有12种可能出现的结果，符合条件的有2种，
所以恰好同时选丙，丁两人的概率是．
21．（2025·怀化模拟）如图，在中，为边上的高，垂足为，为上一点，且，，延长交于点.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
【答案】（1）证明：，，
在和中，
，
∴；
（2）解：在中，，
，
.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理
【解析】【分析】本题主要对勾股定理，直角三角形全等判定-HL定理进行考查.
（1）根据题意，可得根据题意，根据HL定理，得证；
（2）根据勾股定理，在中，所以.
（1）证明：，
，
在和中，
，
∴；
（2）解：在中，，
，
.
22．（2025·怀化模拟）长沙交警正在全市范围内开展“一盔一带”安全守护行动，旨在提升摩托车、电动自行车骑乘人员和机动车驾乘人员的交通安全防护水平．某超市计划购进一批头盔用于销售．已知购进4个型头盔和3个型头盔需要315元，购进3个型头盔和4个型头盔需要350元．
（1）求，两种型号的头盔单价分别为多少元；
（2）若该商场准备购进100个这两种型号的头盔，总费用不超过4400元，则最多可购进型头盔多少个？
【答案】（1）解：设购进1个型头盔需要元，购进1个型头盔需要元．
根据题意，得，
解得，；
答：购进1个型头盔需要30元，购进1个型头盔需要65元；
（2）解：设购进型头盔个，则购进型头盔个，根据题意，得：，
解得：，
∴的最大值为40，
答：最多可购进B型头盔40个．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题主要对二元一次方程组和一元一次不等式的应用进行考查．
（1）设A型x元，B型y元，根据题意列出方程组，解得；
（2）设B型头盔个，则购进A型个，根据题意列出不等式，解得，所以最多可购进B型头盔40个．
（1）解：设购进1个型头盔需要元，购进1个型头盔需要元．
根据题意，得，
解得，；
答：购进1个型头盔需要30元，购进1个型头盔需要65元；
（2）解：设购进型头盔个，则购进型头盔个，
根据题意，得：，
解得：，
∴的最大值为40，
答：最多可购进B型头盔40个．
23．（2025·怀化模拟）如图，在中，为对角线，垂直平分，与，分别交于点，.
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，，求四边形的面积.
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，
∴．
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，且，∴，
在中，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的判定与性质；多边形的面积
【解析】【分析】本题主要主要对菱形的性质和判定，菱形的面积计算，三角函数等知识点进行考查；
（1）根据题意有，所以，因为垂直平分，所以，故，进而得到四边形是平行四边形又因为，所以四边形是菱形得证；
（2）根据四边形是菱形，且，可得，在中，，所以，进而得到，所以．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，且，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴．
24．（2025·怀化模拟）如图1，是的直径，点为圆上一动点（不与点，重合），过点的切线交的延长线于点，过点作于点.
（1）证明：；
（2）令.
①求的最大值；
②若，求的值.
（3）如图2，点为上一点（，分别位于直径异侧），，若，求的值.
【答案】（1）∵是的切线，是的直径，∴，
∵，
∴
∴
∵
∴
又∵，
∴
∴
又∵
∴，
（2）解；①∵，∵
∴，即，
设，，
∴，
∴，
∵
∴
∴
∴
∴
∵，即
∴
∴
∴，即的最大值为；
②∵，
∴
∵
∴
由①可得，则
∴
∴
设，则
∴
解得：
∴
（3）解：如图，连接
∵是的直径，
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
设，则
∵，
∴
∴
∴
设，，同（2）可得
∴
∴
∴，
又∵，
∴

【知识点】切线的性质；相似三角形的判定；求正切值
【解析】【分析】本题主要对正切的定义，切线的性质与判定，相似三角形的性质与判定，圆心角的性质等知识点进行考查；
（1）根据题意是的切线，是的直径，所以有，，进而得到，根据角的计算可得，，进而得到；
（2）①根据题意有，可得，所以即，设，，则，因为，可证明可得到，进而根据，所以最大值为；
②根据，，可得，根据①中计算可知，设，则，所以，解得，所以．
（3）根据题意是的直径，可推出，，可证进一步得出，设，根据得出，设，，同（2）解题思路可得，得出，所以．
（1）∵是的切线，是的直径，
∴，
∵，
∴
∴
∵
∴
又∵，
∴
∴
又∵
∴，
（2）解；①∵，
∵
∴，即，
设，，
∴，
∴，
∵
∴
∴
∴
∴
∵，即
∴
∴
∴，即的最大值为；
②∵，
∴
∵
∴
由①可得，则
∴
∴
设，则
∴
解得：
∴
（3）解：如图，连接
∵是的直径，
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
设，则
∵，
∴
∴
∴
设，，同（2）可得
∴
∴
∴，
又∵，
∴
25．（2025·怀化模拟）我们约定：在平面直角坐标系中，关于的两条不同的抛物线与，若它们都经过轴上的不同两点，，则称这两条抛物线互为“共截距抛物线”．根据该约定，解答下列问题：
（1）若抛物线与互为“共截距抛物线”，且经过点，求的函数解析式；
（2）若抛物线的“共截距抛物线”总不经过点，请求出符合条件的点坐标；
（3）设抛物线与它的“共截距抛物线”的图象顶点分别为点，，若抛物线与抛物线的形状相同，且以，，，为顶点的四边形有一个内角为120°，求该四边形的面积．
【答案】（1）解：在中，当时，解得或，∴抛物线与x轴的两个交点的坐标为，
∵抛物线与互为“共截距抛物线”，
∴抛物线与x轴的两个交点的坐标为，
可设的解析式为，
∵经过点，
∴，
∴，
∴的解析式为；
（2）解：在中，当时，解得或，∴抛物线与x轴的两个交点的坐标为，
∵抛物线与互为“共截距抛物线”，
∴抛物线与x轴的两个交点的坐标为，
∵抛物线最多与x轴只有两个交点，
∴当在x轴上，且不与点和点重合时，一定满足题意，
当时，或，
当时，，则此时点P的坐标为，不符合题意；
当时，，则此时点P的坐标为，符合题意；
∵抛物线经过点和点，
∴当点P的横坐标为或3时，且不与点和点重合时，一定满足题意，
当时，，则，此时点P的坐标为，符合题意；
当时，，则，此时点P的坐标为，不符合题意；
综上所述，点P的坐标为或；
（3）解：∵抛物线的“共截距抛物线”为抛物线，且抛物线与抛物线的形状相同，∴抛物线的解析式为，
∵抛物线与抛物线是两条不相同的抛物线，
∴，即抛物线的解析式为，
∵抛物线解析式为，
∴，
∴抛物线的解析式为，
∴，，即，
∴两条抛物线的对称轴重合，
由对称性可得，
如图所示，连接交于T，则，，
∵，
∴，
∴四边形是菱形；
如图所示，当时，则，
∴，
∴；
解方程得，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∴；
如图所示，当时，则，
∴
∴，
同理可得，
∴，
∴或，
∴，
∴；
综上所述，以，，，为顶点的四边形的面积为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）令，求得与x轴的两个交点的坐标为，因为两抛物线共截距，所以则可设的解析式为，带入点，可解得解析式为；
（2）令求得抛物线与x轴的两个交点的坐标为，令求得抛物线与x轴的两个交点的坐标为，因为抛物线最多与x轴只有两个交点，所以当在x轴上，且不与点和点重合时，一定满足题意；当时，，则此时点P的坐标为，不符合题意；
当时，，则此时点P的坐标为，符合题意；
抛物线经过点和点，当点P的横坐标为或3时，且不与点和点重合时，一定满足题意，
当时，，则，此时点P的坐标为，符合题意；
当时，，则，此时点P的坐标为，不符合题意；
综上所述，点P的坐标为或；
（3）因为抛物线的“共截距抛物线”为抛物线，且抛物线与抛物线的形状相同，所以抛物线的解析式为，可求出抛物线的解析式为，则，，所以两条抛物线的对称轴重合，由对称性可得，因为，，，可证明四边形是菱形；
①时；
②时．
（1）解：在中，当时，解得或，
∴抛物线与x轴的两个交点的坐标为，
∵抛物线与互为“共截距抛物线”，
∴抛物线与x轴的两个交点的坐标为，
可设的解析式为，
∵经过点，
∴，
∴，
∴的解析式为；
（2）解：在中，当时，解得或，
∴抛物线与x轴的两个交点的坐标为，
∵抛物线与互为“共截距抛物线”，
∴抛物线与x轴的两个交点的坐标为，
∵抛物线最多与x轴只有两个交点，
∴当在x轴上，且不与点和点重合时，一定满足题意，
当时，或，
当时，，则此时点P的坐标为，不符合题意；
当时，，则此时点P的坐标为，符合题意；
∵抛物线经过点和点，
∴当点P的横坐标为或3时，且不与点和点重合时，一定满足题意，
当时，，则，此时点P的坐标为，符合题意；
当时，，则，此时点P的坐标为，不符合题意；
综上所述，点P的坐标为或；
（3）解：∵抛物线的“共截距抛物线”为抛物线，且抛物线与抛物线的形状相同，
∴抛物线的解析式为，
∵抛物线与抛物线是两条不相同的抛物线，
∴，即抛物线的解析式为，
∵抛物线解析式为，
∴，
∴抛物线的解析式为，
∴，，即，
∴两条抛物线的对称轴重合，
由对称性可得，
如图所示，连接交于T，则，，
∵，
∴，
∴四边形是菱形；
如图所示，当时，则，
∴，
∴；
解方程得，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∴；
如图所示，当时，则，
∴
∴，
同理可得，
∴，
∴或，
∴，
∴；
综上所述，以，，，为顶点的四边形的面积为或．
1 / 1湖南省怀化市2025年中考三模数学试题
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2025·怀化模拟）-25的相反数是（　　）
A． B． C．-25 D．25
2．（2025·怀化模拟）下列说法正确的是（　　）
A．“长沙市明天降雨的概率为”，意味着长沙市明天有的时间下雨
B．投掷一枚质地均匀的硬币次，出现正面朝上的次数不一定是次
C．“从一副完整的扑克牌中随机抽取一张牌恰好是方块”是不可能事件
D．“某彩票中头奖的概率是”，表示买张这种彩票一定会有张中头奖
3．（2025·怀化模拟）篆刻最早起源于先秦时期，是我国传统艺术之一.为了将这一传统艺术瑰宝发扬光大，不少中小学在劳动综合实践课程中都开设了篆刻这一课程.如图是一块篆刻印章的材料，其主视图为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·怀化模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·怀化模拟）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·怀化模拟）某学校篮球队10名队员的身高如下（单位：cm）：192，190，189，192，185，187，188，185，192，190.这组数据的众数和中位数分别为（　　）
A．192，186 B．190，189.5 C．192，189.5 D．192，190
7．（2025·怀化模拟）近几年，国产新能源汽车在电池技术突破和智能科技提升方面取得了长足进步.同时，在国家购车补贴优惠政策的支持下，价格不断降低，销量增长迅速，市场占有率越来越高.某型号国产新能源汽车原售价为元，现打八折，再优惠元，那么该型号新能源汽车现在的售价为（　　）
A．元 B．元 C．元 D．元
8．（2025·怀化模拟）如图，，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·怀化模拟）在春季研学活动中，某校学生前往研学基地学习编织一种圆锥形传统手工艺术品.若这种圆锥形传统手工艺术品的母线长为50cm，底面圆的半径为25cm，则该圆锥形传统手工艺术品的侧面积为（　　）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
10．（2025·怀化模拟）已知，两点在反比例函数的图象上，下列说法正确的是（　　）
A．当时，； B．当时，；
C．当时，； D．当时，；
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·怀化模拟）若代数式有意义，则实数的取值范围是　 　.
12．（2025·怀化模拟）关于的分式方程的解是，那么的值是　 　.
13．（2025·怀化模拟）如图，为的直径，弦于点，，，那么该圆的半径为　 　.
14．（2025·怀化模拟）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　 　.
15．（2025·怀化模拟）“三高四新”战略是习近平总书记为推动湖南省经济高质量发展而搫画的重要战略.为了解某社区居民对这一重要战略的知晓情况，从该社区30000名成年居民中随机抽取了2000名居民进行调查.结果显示，有1900名居民知晓.由此，估计该社区全体成年居民中知晓湖南省“三高四新”重要战略的居民有　 　名.
16．（2025·怀化模拟）现有长短、形状、质地完全相同的筷子，仅颜色不同，共有红、橙、黄、绿、蓝、紫六种颜色，每种颜色各根.闭上眼至少随机摸出　 　根筷子，才能保证摸出的筷子中至少有双.（同色两根为一双）
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025·怀化模拟）计算：.
18．（2025·怀化模拟）解不等式组：.
19．（2025·怀化模拟）如图，在中，是边上的中线，，，，.
（1）求的长；
（2）求的值.
20．（2025·怀化模拟）杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司（简称：DeepSeek）在人工智能兴起的时代大背景下异军突起，引起全球关注.该公司致力于深度探索人工智能技术的无限可能，其开发的模型在多个基准测试中表现出色，甚至在某些领域超越了全球领先的人工智能公司.为了顺应时代发展，迎接人工智能时代的到来，某高校开设了四门人工智能相关课程（A：机器视觉；B：人脸识别；C：智能控制；D：自动规划）.为了解该高校学生对各课程的喜好，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如图所示的两幅不完整统计图.
请根据统计图回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有_______人；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）在平时的智能控制课堂学习中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀.现决定从这四人中任选两人参加全国机器人智能控制大赛，求恰好同时选中丙、丁两人的概率（用画树状图或列表的方法解答）.
21．（2025·怀化模拟）如图，在中，为边上的高，垂足为，为上一点，且，，延长交于点.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
22．（2025·怀化模拟）长沙交警正在全市范围内开展“一盔一带”安全守护行动，旨在提升摩托车、电动自行车骑乘人员和机动车驾乘人员的交通安全防护水平．某超市计划购进一批头盔用于销售．已知购进4个型头盔和3个型头盔需要315元，购进3个型头盔和4个型头盔需要350元．
（1）求，两种型号的头盔单价分别为多少元；
（2）若该商场准备购进100个这两种型号的头盔，总费用不超过4400元，则最多可购进型头盔多少个？
23．（2025·怀化模拟）如图，在中，为对角线，垂直平分，与，分别交于点，.
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，，求四边形的面积.
24．（2025·怀化模拟）如图1，是的直径，点为圆上一动点（不与点，重合），过点的切线交的延长线于点，过点作于点.
（1）证明：；
（2）令.
①求的最大值；
②若，求的值.
（3）如图2，点为上一点（，分别位于直径异侧），，若，求的值.
25．（2025·怀化模拟）我们约定：在平面直角坐标系中，关于的两条不同的抛物线与，若它们都经过轴上的不同两点，，则称这两条抛物线互为“共截距抛物线”．根据该约定，解答下列问题：
（1）若抛物线与互为“共截距抛物线”，且经过点，求的函数解析式；
（2）若抛物线的“共截距抛物线”总不经过点，请求出符合条件的点坐标；
（3）设抛物线与它的“共截距抛物线”的图象顶点分别为点，，若抛物线与抛物线的形状相同，且以，，，为顶点的四边形有一个内角为120°，求该四边形的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】-25与25只有符号不同，
所以-25的相反数是25，
故答案为：D.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行求解即可.
2．【答案】B
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：、“长沙市明天降雨的概率为”，即下雨的可能性较大而不是降雨时长，故该选项不符合题意；
、投掷一枚质地均匀的硬币次，出现正面朝上的次数不一定是次，故该选项符合题意；
、“从一副完整的扑克牌中随机抽取一张牌恰好是方块”是随机事件，故该选项不符合题意；
、“某彩票中头奖的概率是”，表示买张这种彩票不一定会有张中头奖，故该选项不符合题意；
故选：．
【分析】本题主要对可能性的大小进行考查，A.降雨概率为75%而不是时长；B.掷硬币正面朝上的概率为50%，但不是掷10000次一定有5000次正面朝上；C. 从一副完整的扑克牌中随机抽取一张牌恰好是方块 ，存在可能性，故是随机事件；D. 某彩票中头奖的概率是 不代表10000张一定有一张。
3．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：一块篆刻印章的材料，其主视图为：
故选：D．
【分析】本题主要对简单几何体的三视图进行考查．其上半部分主视图为直立长方形，底下为长方形，观察四个选项，D项符合要求．
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】A.，故本选项不符合题意；
B.，故本选项不符合题意；
C.，故本选项不符合题意；
D.，故本选项符合题意．
故选：D．
【分析】本题考主要对整式的运算，根据合并同类项的法则，幂的运算法则，单项式乘多项式法则等知识点进行考查对四个选项进行计算，ABC项均计算错误，D项计算正确．
5．【答案】A
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故选：A．
【分析】本题主要对关于原点对称的点的坐标的特点进行考查，关于原点对称的点的坐标横、纵坐标互为相反数，根据选项进行判断，故选A．
6．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：重新排列数据： 185，185，187，188，189，190，190， 192，192，192.
∴众数为192，中位数为，
故选C．
【分析】此题主要对众数和中位数进行考查，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．数据中出现最多的一个数是众数．
7．【答案】C
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：由题意得：打八折后新能源汽车的价格为元，
再优惠元后，新能源汽车的售价为元
故选：C．
【分析】
本题主要对用代数式表示实际问题中的数量关系，因为汽车原价m元，打八折后售价为，再优惠元后，新能源汽车的售价为元．
8．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得，所以．
9．【答案】C
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：．
故选：C．
【分析】本题主要最圆锥侧面积计算进行考查，圆锥侧面积等于．
10．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：反比例函数，
∵，∴函数图象经过第一、三象限，每个象限随的增大而减小，当时，，当时，，因为，两点在反比例函数的图象上，
当时，，则，故A选项正确，符合题意；
当时，，则，故B、C选项错误，不符合题意；
当时，，则，故D选项错误，不符合题意；
故选：A ．
【分析】根据解析式，其中，函数图象经过第一、三象限，每个象限随的增大而减小，根据其单调性对四个选项进行判断，A项正确，其余三项错误．
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，得，
解得．
故答案为：．
【分析】本题对二次根式有意义的条件进行考查，要使根式有意义则需要根式下的数大于0，即，解得．
12．【答案】
【知识点】已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵关于的分式方程的解是，∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】本题对分式方程的解进行考查，将代入分式方程中，列出等式，求得．
13．【答案】13
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如下图，连接，设该圆的半径为，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
即，
解得
∴该圆的半径为，
故答案为：13．
【分析】本题主要对垂径定理、勾股定理等知识进行考查．首先连接并设该圆的半径为，根据垂径定理，可得，在中，根据勾股定理有，带入未知数x有，解得．
14．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
即，
解得．
故答案为：．
【分析】本题主要对一元二次方程根的判别式及应用进行考查，根据题意 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根 ，所以判别式，解得．
15．【答案】28500
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（名）．
所以该社区全体成年居民中知晓湖南省“三高四新”重要战略的居民有28500名．
故答案为：28500．
【分析】本题主要对样本估计总体的解题思路进行考查，优先计算样本中的比例，再用样本比例乘以总数完成求解，（名）．
16．【答案】25
【知识点】探索数与式的规律；逻辑推理
【解析】【解答】解：假设先摸的是红、橙、黄、绿、蓝、紫根，再摸一根就可成为一双筷子，（根），
摸出第二双，需要（根），摸出第三双，需要（根），
；
以此类推，摸出第双，需要（根），
∴闭上眼至少随机摸出根筷子，才能保证摸出的筷子中至少有双，
故答案为：．
【分析】本题主要对探索数字规律进行考查；假设先摸到的6双筷子为各颜色各一根，则再摸任意一根就可以成为一双筷子，此时为7根，摸出第二双，需要根，摸出第三双，需要根，以此类推每多摸一次在原有基础上+2，因此要保证摸出的筷子至少有十双，则需要摸（根）．
17．【答案】解：
【知识点】零指数幂；二次根式的加减法；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】本题主要对零指数幂的运算、二次根式的化简、特殊角的三角函数值进行考查．对原式中每一项单独计算，，再对各项进行加法计算原式。
18．【答案】解：由①得：；
由②得：，
∴原不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题对解一元一次不等式组进行考查，首先求解得，再求解得，取两个解集的交集得．
19．【答案】（1）解：∵，，，∴；
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵是边上的中线，∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；解直角三角形；三角形的中线
【解析】【分析】本题主要对解直角三角形、勾股定理、三角形的中线等知识进行考查．
（1）在中由勾股定理求得，再根据题干角C的正切计算得，所以；
（2）根据三角形中线的性质，所以可得，进一步得到，在中根据勾股定理可得，进一可得．
（1）解：∵，，，
∴；
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵是边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．【答案】（1）200
（2）解：喜欢C类课程的学生数为．
补全统计图如下：
（3）解：
第二次 第一次 甲 乙 丙 丁
甲 （乙甲） （丙甲） （丁甲）
乙 （甲乙） （丙乙） （丁乙）
丙 （甲丙） （乙丙） （丁丙）
丁 （甲丁） （乙丁） （丙丁）
一共有12种可能出现的结果，符合条件的有2种，
所以恰好同时选丙，丁两人的概率是．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：∵喜欢A类课程所对应的圆心角为，∴喜欢A类课程的学生数占抽取总数的，
∴被调查的学生共有（人）；
故答案为：200；
【分析】本题主要对扇形统计图和条形统计图的综合问题，列表格（画树状图）求概率等知识点进行考查；
（1）根据扇形统计图优先求出喜欢A类课程的百分比，再用喜欢A类课程的人数除以占比，得到被调查人数=200人；
（2）根据条形统计图，喜欢C类课程的人数等于总人数减去其它三类的人数，进而补全统计图；
（3）写出所有存在可能，再列出表格，再计算恰好同时选中丙、丁两人的次数，再除以总数计算出概率为．
（1）解：∵喜欢A类课程所对应的圆心角为，
∴喜欢A类课程的学生数占抽取总数的，
∴被调查的学生共有（人）；
故答案为：200；
（2）解：喜欢B类课程的学生数为．
补全统计图如下：
（3）解：
第二次 第一次 甲 乙 丙 丁
甲
（乙甲） （丙甲） （丁甲）
乙 （甲乙）
（丙乙） （丁乙）
丙 （甲丙） （乙丙）
（丁丙）
丁 （甲丁） （乙丁） （丙丁）
一共有12种可能出现的结果，符合条件的有2种，
所以恰好同时选丙，丁两人的概率是．
21．【答案】（1）证明：，，
在和中，
，
∴；
（2）解：在中，，
，
.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理
【解析】【分析】本题主要对勾股定理，直角三角形全等判定-HL定理进行考查.
（1）根据题意，可得根据题意，根据HL定理，得证；
（2）根据勾股定理，在中，所以.
（1）证明：，
，
在和中，
，
∴；
（2）解：在中，，
，
.
22．【答案】（1）解：设购进1个型头盔需要元，购进1个型头盔需要元．
根据题意，得，
解得，；
答：购进1个型头盔需要30元，购进1个型头盔需要65元；
（2）解：设购进型头盔个，则购进型头盔个，根据题意，得：，
解得：，
∴的最大值为40，
答：最多可购进B型头盔40个．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题主要对二元一次方程组和一元一次不等式的应用进行考查．
（1）设A型x元，B型y元，根据题意列出方程组，解得；
（2）设B型头盔个，则购进A型个，根据题意列出不等式，解得，所以最多可购进B型头盔40个．
（1）解：设购进1个型头盔需要元，购进1个型头盔需要元．
根据题意，得，
解得，；
答：购进1个型头盔需要30元，购进1个型头盔需要65元；
（2）解：设购进型头盔个，则购进型头盔个，
根据题意，得：，
解得：，
∴的最大值为40，
答：最多可购进B型头盔40个．
23．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，
∴．
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，且，∴，
在中，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的判定与性质；多边形的面积
【解析】【分析】本题主要主要对菱形的性质和判定，菱形的面积计算，三角函数等知识点进行考查；
（1）根据题意有，所以，因为垂直平分，所以，故，进而得到四边形是平行四边形又因为，所以四边形是菱形得证；
（2）根据四边形是菱形，且，可得，在中，，所以，进而得到，所以．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，且，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴．
24．【答案】（1）∵是的切线，是的直径，∴，
∵，
∴
∴
∵
∴
又∵，
∴
∴
又∵
∴，
（2）解；①∵，∵
∴，即，
设，，
∴，
∴，
∵
∴
∴
∴
∴
∵，即
∴
∴
∴，即的最大值为；
②∵，
∴
∵
∴
由①可得，则
∴
∴
设，则
∴
解得：
∴
（3）解：如图，连接
∵是的直径，
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
设，则
∵，
∴
∴
∴
设，，同（2）可得
∴
∴
∴，
又∵，
∴

【知识点】切线的性质；相似三角形的判定；求正切值
【解析】【分析】本题主要对正切的定义，切线的性质与判定，相似三角形的性质与判定，圆心角的性质等知识点进行考查；
（1）根据题意是的切线，是的直径，所以有，，进而得到，根据角的计算可得，，进而得到；
（2）①根据题意有，可得，所以即，设，，则，因为，可证明可得到，进而根据，所以最大值为；
②根据，，可得，根据①中计算可知，设，则，所以，解得，所以．
（3）根据题意是的直径，可推出，，可证进一步得出，设，根据得出，设，，同（2）解题思路可得，得出，所以．
（1）∵是的切线，是的直径，
∴，
∵，
∴
∴
∵
∴
又∵，
∴
∴
又∵
∴，
（2）解；①∵，
∵
∴，即，
设，，
∴，
∴，
∵
∴
∴
∴
∴
∵，即
∴
∴
∴，即的最大值为；
②∵，
∴
∵
∴
由①可得，则
∴
∴
设，则
∴
解得：
∴
（3）解：如图，连接
∵是的直径，
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
设，则
∵，
∴
∴
∴
设，，同（2）可得
∴
∴
∴，
又∵，
∴
25．【答案】（1）解：在中，当时，解得或，∴抛物线与x轴的两个交点的坐标为，
∵抛物线与互为“共截距抛物线”，
∴抛物线与x轴的两个交点的坐标为，
可设的解析式为，
∵经过点，
∴，
∴，
∴的解析式为；
（2）解：在中，当时，解得或，∴抛物线与x轴的两个交点的坐标为，
∵抛物线与互为“共截距抛物线”，
∴抛物线与x轴的两个交点的坐标为，
∵抛物线最多与x轴只有两个交点，
∴当在x轴上，且不与点和点重合时，一定满足题意，
当时，或，
当时，，则此时点P的坐标为，不符合题意；
当时，，则此时点P的坐标为，符合题意；
∵抛物线经过点和点，
∴当点P的横坐标为或3时，且不与点和点重合时，一定满足题意，
当时，，则，此时点P的坐标为，符合题意；
当时，，则，此时点P的坐标为，不符合题意；
综上所述，点P的坐标为或；
（3）解：∵抛物线的“共截距抛物线”为抛物线，且抛物线与抛物线的形状相同，∴抛物线的解析式为，
∵抛物线与抛物线是两条不相同的抛物线，
∴，即抛物线的解析式为，
∵抛物线解析式为，
∴，
∴抛物线的解析式为，
∴，，即，
∴两条抛物线的对称轴重合，
由对称性可得，
如图所示，连接交于T，则，，
∵，
∴，
∴四边形是菱形；
如图所示，当时，则，
∴，
∴；
解方程得，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∴；
如图所示，当时，则，
∴
∴，
同理可得，
∴，
∴或，
∴，
∴；
综上所述，以，，，为顶点的四边形的面积为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）令，求得与x轴的两个交点的坐标为，因为两抛物线共截距，所以则可设的解析式为，带入点，可解得解析式为；
（2）令求得抛物线与x轴的两个交点的坐标为，令求得抛物线与x轴的两个交点的坐标为，因为抛物线最多与x轴只有两个交点，所以当在x轴上，且不与点和点重合时，一定满足题意；当时，，则此时点P的坐标为，不符合题意；
当时，，则此时点P的坐标为，符合题意；
抛物线经过点和点，当点P的横坐标为或3时，且不与点和点重合时，一定满足题意，
当时，，则，此时点P的坐标为，符合题意；
当时，，则，此时点P的坐标为，不符合题意；
综上所述，点P的坐标为或；
（3）因为抛物线的“共截距抛物线”为抛物线，且抛物线与抛物线的形状相同，所以抛物线的解析式为，可求出抛物线的解析式为，则，，所以两条抛物线的对称轴重合，由对称性可得，因为，，，可证明四边形是菱形；
①时；
②时．
（1）解：在中，当时，解得或，
∴抛物线与x轴的两个交点的坐标为，
∵抛物线与互为“共截距抛物线”，
∴抛物线与x轴的两个交点的坐标为，
可设的解析式为，
∵经过点，
∴，
∴，
∴的解析式为；
（2）解：在中，当时，解得或，
∴抛物线与x轴的两个交点的坐标为，
∵抛物线与互为“共截距抛物线”，
∴抛物线与x轴的两个交点的坐标为，
∵抛物线最多与x轴只有两个交点，
∴当在x轴上，且不与点和点重合时，一定满足题意，
当时，或，
当时，，则此时点P的坐标为，不符合题意；
当时，，则此时点P的坐标为，符合题意；
∵抛物线经过点和点，
∴当点P的横坐标为或3时，且不与点和点重合时，一定满足题意，
当时，，则，此时点P的坐标为，符合题意；
当时，，则，此时点P的坐标为，不符合题意；
综上所述，点P的坐标为或；
（3）解：∵抛物线的“共截距抛物线”为抛物线，且抛物线与抛物线的形状相同，
∴抛物线的解析式为，
∵抛物线与抛物线是两条不相同的抛物线，
∴，即抛物线的解析式为，
∵抛物线解析式为，
∴，
∴抛物线的解析式为，
∴，，即，
∴两条抛物线的对称轴重合，
由对称性可得，
如图所示，连接交于T，则，，
∵，
∴，
∴四边形是菱形；
如图所示，当时，则，
∴，
∴；
解方程得，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∴；
如图所示，当时，则，
∴
∴，
同理可得，
∴，
∴或，
∴，
∴；
综上所述，以，，，为顶点的四边形的面积为或．
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