资源简介

湖南省常德市澧县2025年中考二模数学试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项）
1．（2025·澧县模拟）下面算式错误的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025·澧县模拟）由5个完全相同的小正方体组成的几何体如图所示，该几何体的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·澧县模拟）如图，把一块含角的直角三角板放置于两条平行线间，若，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·澧县模拟）如果单项式与单项式是同类项，那么在平面直角坐标系中的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2025·澧县模拟）《数书九章》中有一个问题：今有田一顷，分为三乡，甲乡田三十亩，乙乡田四十亩，丙乡田三十亩．今从甲乡抽田三亩，验得其中一亩产谷十石；从乙乡抽田四亩，验得其中一亩产谷八石；从丙乡抽田三亩，验得其中一亩产谷九石．问三乡田总产谷多少？其意思是：有一块田，总面积为100亩，分给三个乡，甲乡分田30亩，乙乡分田40亩，丙乡分田30亩．现从甲乡中抽取3亩田，测得平均每亩产谷10石；从乙乡中抽取4亩田，测得平均每亩产谷8石；从丙乡抽取3亩田，测得平均每亩产谷9石．则这100亩田共产谷大约（　　）
A．800石 B．890石 C．900石 D．1000石
6．（2025·澧县模拟）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025·澧县模拟）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，与相交于点．若，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·澧县模拟）若，则关于的大小，以下说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·澧县模拟）如图，在菱形中，点是与的交点，，垂足为，若，则的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．（2025·澧县模拟）对于实数，规定一种新的运算，则下面说法错误的是（　　）
A． B．
C．若，则 D．若，则或
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（2025·澧县模拟）若，则　 　．
12．（2025·澧县模拟）函数 中自变量x的取值范围是　 　.
13．（2025·澧县模拟）杭州“六小龙”是指六家在杭州创办、具有较强科技创新能力和影响力的企业．这六家企业分别是：深度求索（）、游戏科学、宇树科技、强脑科技、群核科技和云深处科技．某科技活动小组的同学准备利用“五一”假期到杭州参观科技企业，他们想从杭州“六小龙”企业中随机的选择家参观，则恰好选到宇树科技的概率是　 　．
14．（2025·澧县模拟）某反比例函数具有下列性质：当时，y随x的增大而增大．写出一个满足条件的k的值是　 　．
15．（2025·澧县模拟）若，则　 　．
16．（2025·澧县模拟）如图，在中，，作交的延长线于点，若是的中线，，则四边形的周长为　 　．
17．（2025·澧县模拟）如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向、距离灯塔60海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的东南方向上的处，若海轮以每小时30海里的速度航行，则海轮从处航行到达处大约要　 　小时．（参考数据：，，tan）
18．（2025·澧县模拟）将4个大小相同的小正方形按如图所示的方式摆放在大正方形中，已知13，则图中阴影部分的面积为　 　．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2025·澧县模拟）计算：．
20．（2025·澧县模拟）先化简，再选择合适的的值代入求值．
21．（2025·澧县模拟）新年到来之际，学校开展了丰富多彩的元旦文艺演出活动．为提高学生的参与度，学校成立了（专业老师评委组），（学生评委组），（家长评委组）三个评委组．在独唱比赛中，甲、乙两名同学表现优异，三个评委组对他们的评分统计结果及6名组评委对他们的评分统计情况如下：（单位：分）
三个评委组给甲、乙两名同学评分的平均分统计表
组别 A B C
甲 84 80
乙 83 85
B组评委给甲、乙两名同学评分的统计图
根据以上信息，回答下列问题．
（1）____，_____；
（2）B组评委给甲、乙两名同学打分的中位数分别是多少分？
（3）如果规定独唱的综合得分为：专业老师评委评分的平均分学生评委评分的平均分家长评委评分的平均分，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，判断甲、乙两名同学谁的表现更好．
22．（2025·澧县模拟）如图，在四边形中，已知，点在上，且．
（1）求证：；
（2）当时，求的长．
23．（2025·澧县模拟）如图1是三个城市的位置图（三个城市在同一直线上），小华由市驾车驶向市，小明由市驾车驶向市，两车同时出发，行驶过程中车速保持不变，小华、小明的车速分别是75千米/小时和100千米/小时．图2是小华、小明分别与C市的距离（千米），（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系图象．
（1）小明、小华两人驾车到达C市时各用了几小时？
（2）若出发时间是上午，则小华什么时间到达市？
（3）求点的横坐标，并说明点的横坐标的实际意义．
24．（2025·澧县模拟）如图，四边形是圆的内接四边形，为圆的直径．以点为圆心，以小于的长为半径画弧，分别交于点；以点为圆心、长为半径画弧，与射线交于点；以点为圆心、长为半径画弧，交以点为圆心且长为半径的弧于点，射线与射线交于点．
（1）求证：是圆的切线；
（2）若，求圆的半径及的长．
25．（2025·澧县模拟）如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点，点的坐标为，点为抛物线上一动点，以点为圆心，长为半径的圆交轴于两点（点在点的左侧）．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）当点在抛物线上运动时，弦的长度是不是定值？若不是定值，请说明理由；若是定值，请求出弦的长．
（3）如图2，若直线过点，求证：三角形是等边三角形．
26．（2025·澧县模拟）【问题背景】
已知矩形与矩形共顶点，连接交的延长线于点．
【特例感知】
（1）如图1，当点在上时，试判断与的大小，并说明理由；
【拓展探究】
（2）如图2，当点不在上时，求证：
①；
②．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的减法法则；有理数的乘法法则；有理数的除法法则；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：A、，错误，符合题意；
B、，正确，不符合题意；
C、，正确，不符合题意；
D、，正确，不符合题意；
故选A．
【分析】本题主要对有理数的运算进行考查，根据有理数的加减乘除法则，，A错误，其他三项经计算均正确．
2．【答案】B
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：这个几何体的左视图是，
故选：．
【分析】
本题主要对三视图进行考查，左视图为两正方形叠放。
3．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
，
，
，
，
故选：C．
【分析】本题主要对考查了平行线的性质进行考查，根据平行线的性质内错角相等，所以有，进一步得到。
4．【答案】A
【知识点】同类项的概念；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：单项式与单项式是同类项，
，
，
点的坐标为，
点在第一象限．
故选：A．
【分析】本题主要对同类项的定义，平面直角坐标系中点的坐标特征等知识点进行考查．
根据同类项的定义有，经过计算得到点的坐标为，所以点在第一象限．
5．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；用样本平均数估计总体平均数
【解析】【解答】解：抽取的10亩田中每亩平均产谷为（石），
这100亩田共产谷大约（石）．
故选B．
【分析】本题主要对求平均数，利用样本估计总体进行考查，优先求出样本的平均亩产8.9石，再利用样本估计总体 （石） ．
6．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
由得：，
由得：，
原不等式组的解集为．
故选C．
【分析】本题主要对解一元一次不等式组，不等式组解集的数轴表示等知识点进行考查，优先对不等式组进行求解，再正确的用数轴进行表示 。
7．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵
∴，
．
是的直径，
∴
，
．
故选D．
【分析】此题主要对圆周角定理进行考查．根据对顶角可知，因为为圆周角，所以，进一步得到．
8．【答案】B
【知识点】实数的大小比较；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，，，
，
，
故选：．
【分析】本题主要对比较二次根式的大小进行考查，因为，所以先对进行大小排序，进而得到a，b，c的大小关系．
9．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在菱形中，点是与的交点，，，
，，
，点为的中点，
，
，
是直角三角形，
，
故选：C．
【分析】本题主要对菱形的性质，勾股定理，以及直角三角形的性质进行考查，因为为菱形对角线，所以有，在中根据勾股定理可得．在中，．
10．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：A、，故A正确；
B、，故B正确；
C、，，故C正确；
D、，
，
整理得，
解得或，故D错误．
故选：D．
【分析】本题主要对新定义，有理数的混合运算，一元二次方程的应用等知识点进行考查，根据题意对四个选项的式子进行计算其中正确，D错误。
11．【答案】3
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】
，
解得，
检验：将代入，符合题意
∴原方程的解为．
故答案为：3．
【分析】本题主要对如何解分式方程进行考查，首先将分式方程通分化为整式方程，在计算求解。
12．【答案】x≥1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】根据题意得：x-1≥0，
解得：x≥1.
故答案为：x≥1.
【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x-1≥0，解不等式可求x的范围.
13．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：总共有家企业，
从6家中任选家，恰好选到宇树科技的概率是，
故答案为：．
【分析】利用概率公式求概率即可．
14．【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵当时，y随x的增大而增大．
∴，
故答案为：（答案不唯一，只要）
【分析】本题主要对是反比例函数的性质进行考查。反比例函数的图象是双曲线，当，当，在第四象限有y随x增大而增大．
15．【答案】5
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值
【解析】【解答】解：，
，即，
．
故答案为：．
【分析】本题对分式的化简求值，完全平方公式的应用进行考查，首先根据完全平方公式计算得，进一步对等式进行整理可得到。
16．【答案】22
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
是的中线，
，
∴，
，
∴，
∴，
∴四边形的周长，
故答案为：．
【分析】本题主要对平行四边形的性质，勾股定理进行考查，根据平行四边形和中线的性质有，，进一步证明，所以在中，根据勾股定理有，所以四边形的周长．
17．【答案】2.76
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
由题意知
，
则海轮从处航行到达处需要的时间
（小时）．
故答案为：2.76
【分析】此题主要对直角三角形的应用，方向角进行考查．过点作于点，根据体验有，航行时间=路程÷速度，计算得（小时）．
18．【答案】
【知识点】二元一次方程的应用；正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】如图，
由题意可知，
∴
∴
∴，
∵．
设，
则，可得
解得
．
∵
∴
∴
∴，
∵
，
．
故答案为：
【分析】
此题主要对相似三角形的判定和性质、二元一次方程组的应用、正方形的性质等知识进行考查．根据题意计算角关系可以得到，所以可以证明，进一步得出．根据题意设，所以有，列方程组解得，进而可得则．计算角的关系得到，再，根据相似三角形面积比等于边长比的平方，再进行面积计算得．
19．【答案】解：原式
．
【知识点】负整数指数幂；二次根式的加减法；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】本题主要对二次根式的运算，特殊角的三角函数值的运算进行考查。先对各个特殊项进行化简整理，再进行基本运算得到结果原式。
20．【答案】解：原式
．
，
取，原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】本题主要对分式的化简求值，分式有意义的条件进行考查．
首先对括号里的分式进行通分化简得到原式，再进行约分计算得到原式，取，所以原式．
21．【答案】（1）解：，
，
故答案为：87，85
（2）解：B组评委给甲同学打分从小到大依次为76，85，89，90，90，92，
则分数的中位数为（分）；
B组评委给乙同学打分从小到大依次为70，80，86，90，92，92，
分数的中位数为（分）．
（3）解：甲的综合得分为（分），
乙的综合得分为（分），
按此评价方法，甲、乙两名同学相比较，甲表现更
【知识点】折线统计图；平均数及其计算；加权平均数及其计算；中位数
【解析】【分析】本题主要对平均数、中位数以及加权平均数进行考查．
（1）根据平均数的定义：平均数，完成计算，；
（2）根据中位数的定义：按顺序排列一组数，位于中间位置的数；根据题意有甲同学：中位数为（分）乙同学中位数为（分）．
（3）根据加权平均数的定义：每个数乘以对应权值，再除以所有权重总和．根据题意甲的综合得分为（分）；乙的综合得分为（分）。
（1）解：，
，
故答案为：87，85
（2）解：B组评委给甲同学打分从小到大依次为76，85，89，90，90，92，
则分数的中位数为（分）；
B组评委给乙同学打分从小到大依次为70，80，86，90，92，92，
分数的中位数为（分）．
（3）解：甲的综合得分为（分），
乙的综合得分为（分），
按此评价方法，甲、乙两名同学相比较，甲表现更好．
22．【答案】（1）证明：在四边形中，，，，，
∵，
，
．
在与中，
，
（）．
（2）当时，由（1）知，∴，
过点作于点，如图．
设，则，
∵，
∴，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】本题主要对等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识点进行考查。
（1）根据等边对等角有，，进一步得到，所以有，根据定理，可证；
（2）根据（1）可推出，过点作于点，设，则，，因为，所以有，求解，进一步得出．
（1）证明：在四边形中，，，
，，
∵，
，
．
在与中，
，
（）．
（2）当时，由（1）知，
∴，
过点作于点，如图．
设，则，
∵，
∴，
，
，
．
23．【答案】（1）解：由题意，折线为小华与市的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系图象．
线段是小明与市的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系图象．
由题图2知，小明驾车到达市时用了7.5小时，
小华驾车到达C市时用了2小时．
（2）解：A市与B市之间的距离为（千米）．
由题图2可知小华由市到市中间休息了1小时，
（小时），（小时）．
若出发时间是上午，则小华到达市的时间为晚上．
（3）解：由图可知：的坐标分别为，
设，
则，
解得，
．
由图可知：的坐标为，
当时，小华与市的距离为（千米），
的坐标为．
设直线的表达式为，
则，
解得，
．
当时，，
解得（小时），
故点的横坐标为，其表示的实际意义是行驶小时后，小明与小华相遇．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】本题主要对一次函数的实际应用，从图象中有效的获取信息进行考查：
（1）根据图2的信息可知线段是小明与市的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系图象，所以小华驾车到达C市时用了2小时；
（2）优先求出市与市的距离=时间乘以速度=km，有图2，时间=路程除以速度，再加上休息时间得到所用时间13小时，所以若出发时间是上午，则小华到达市的时间为晚上．；
（3）设的解析式，根据图像信息有，解得解析式，设线段的解析式，根据图像信息有，解得解析式，所以S横坐标的意义：行驶小时后，小明与小华相遇．
（1）解：由题意，折线为小华与市的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系图象．
线段是小明与市的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系图象．
由题图2知，小明驾车到达市时用了7.5小时，
小华驾车到达C市时用了2小时．
（2）A市与B市之间的距离为（千米）．
由题图2可知小华由市到市中间休息了1小时，
（小时），（小时）．
若出发时间是上午，则小华到达市的时间为晚上．
（3）由图可知：的坐标分别为，
设，
则，
解得，
．
由图可知：的坐标为，
当时，小华与市的距离为（千米），
的坐标为．
设直线的表达式为，
则，
解得，
．
当时，，
解得（小时），
故点的横坐标为，其表示的实际意义是行驶小时后，小明与小华相遇．
24．【答案】（1）证明：由作图可知．是圆的直径，
，
，
，
即，
∴，
是圆的直径，
是圆的切线．
（2）如图，延长，交于点．
是圆的直径，
．
，，
，
，
，
，
，
圆的半径为．
由（1）知，
又∵，
，
，即．
．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定；解直角三角形；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】本题主要对尺规作图—作一个角等于已知角，圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识点进行考查．（1）由作图可知，圆周角定理可得进一步计算得到，进一步可证是圆的切线；
（2）延长，交于点，根据圆周角定理有，结合，，可计算出=5，在中根据勾股定理，，因为，所以可证，进而得到．
（1）证明：由作图可知．
是圆的直径，
，
，
，
即，
∴，
是圆的直径，
是圆的切线．
（2）如图，延长，交于点．
是圆的直径，
．
，，
，
，
，
，
，
圆的半径为．
由（1）知，
又∵，
，
，即．
．
25．【答案】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，∴设抛物线的函数表达式为．
将点代入，得，
解得，
抛物线的函数表达式为．
（2）解：弦的长度是定值．理由如下：
如图1所示，过点作轴，垂足为，连接，则：，
设点的坐标为，则．
，
∴．
，
．
，
，
∴弦的长度为定值．
（3）证明：设直线的解析式为，直线过点，
，解得：，
∴；
设，则且，
，
，
．
①当时，点在对称轴左侧，如图2，
．
，
的坐标为，
，又，
三角形是等边三角形．
②当时，在对称轴右侧，如图3，
，
，
的坐标为，
，
，又，
三角形是等边三角形．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；垂径定理；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】本题主要对待定系数法求二次函数解析式，二次函数-特殊三角形存在性问题，垂径定理，二次函数-线段周长问题进行考查：
（1）根据待定系数法设抛物线解析式为带入点得到，所以表达式为；
（2）过点作轴，垂足为，连接，设点的坐标为，则，根据垂径定理有，根据勾股定理计算得=3，所以=6，因此弦的长度为定值；
（3）根据待定系数法设直线BC解析式为，带入两点坐标解得解析式为，设，带入直线BC解析式有且，进一步解得，分两种情况进行讨论：
①当时，点在对称轴左侧，所以
，所以有，故三角形是等边三角形．
②当时，C在对称轴右侧，所以，
所以有，故三角形是等边三角形．
（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴设抛物线的函数表达式为．
将点代入，得，
解得，
抛物线的函数表达式为．
（2）弦的长度是定值．理由如下：
如图1所示，过点作轴，垂足为，连接，则：，
设点的坐标为，则．
，
∴．
，
．
，
，
∴弦的长度为定值．
（3）证明：设直线的解析式为，
直线过点，
，解得：，
∴；
设，则且，
，
，
．
①当时，点在对称轴左侧，如图2，
．
，
的坐标为，
，又，
三角形是等边三角形．
②当时，在对称轴右侧，如图3，
，
，
的坐标为，
，
，又，
三角形是等边三角形．
26．【答案】解：（1）．
理由如下：
矩形与矩形共顶点，
且在上，
，
，
．
【拓展探究】
（2）证明：①如图，过点作，交于点，交于点，
，
，
．
而在与中，
，，
，即，
．
②如图，过点作，交的延长线于点．
，
，
设，
，
，
又，
，
．
【知识点】矩形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】本题主要对矩形的性质、全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点进行考查．
（1）因为点是矩形与矩形共顶点，所以可得到，进一步得到，根据内错角相等有；
（2）①过点作，交于点，交于点，因为，所以，进一步可得．在与中可证明，所以．
②过点作，交的延长线于点．所以有，设，所以有，又因为，可证根据角边角定理有，所以．
1 / 1湖南省常德市澧县2025年中考二模数学试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项）
1．（2025·澧县模拟）下面算式错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的减法法则；有理数的乘法法则；有理数的除法法则；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：A、，错误，符合题意；
B、，正确，不符合题意；
C、，正确，不符合题意；
D、，正确，不符合题意；
故选A．
【分析】本题主要对有理数的运算进行考查，根据有理数的加减乘除法则，，A错误，其他三项经计算均正确．
2．（2025·澧县模拟）由5个完全相同的小正方体组成的几何体如图所示，该几何体的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：这个几何体的左视图是，
故选：．
【分析】
本题主要对三视图进行考查，左视图为两正方形叠放。
3．（2025·澧县模拟）如图，把一块含角的直角三角板放置于两条平行线间，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
，
，
，
，
故选：C．
【分析】本题主要对考查了平行线的性质进行考查，根据平行线的性质内错角相等，所以有，进一步得到。
4．（2025·澧县模拟）如果单项式与单项式是同类项，那么在平面直角坐标系中的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】同类项的概念；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：单项式与单项式是同类项，
，
，
点的坐标为，
点在第一象限．
故选：A．
【分析】本题主要对同类项的定义，平面直角坐标系中点的坐标特征等知识点进行考查．
根据同类项的定义有，经过计算得到点的坐标为，所以点在第一象限．
5．（2025·澧县模拟）《数书九章》中有一个问题：今有田一顷，分为三乡，甲乡田三十亩，乙乡田四十亩，丙乡田三十亩．今从甲乡抽田三亩，验得其中一亩产谷十石；从乙乡抽田四亩，验得其中一亩产谷八石；从丙乡抽田三亩，验得其中一亩产谷九石．问三乡田总产谷多少？其意思是：有一块田，总面积为100亩，分给三个乡，甲乡分田30亩，乙乡分田40亩，丙乡分田30亩．现从甲乡中抽取3亩田，测得平均每亩产谷10石；从乙乡中抽取4亩田，测得平均每亩产谷8石；从丙乡抽取3亩田，测得平均每亩产谷9石．则这100亩田共产谷大约（　　）
A．800石 B．890石 C．900石 D．1000石
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；用样本平均数估计总体平均数
【解析】【解答】解：抽取的10亩田中每亩平均产谷为（石），
这100亩田共产谷大约（石）．
故选B．
【分析】本题主要对求平均数，利用样本估计总体进行考查，优先求出样本的平均亩产8.9石，再利用样本估计总体 （石） ．
6．（2025·澧县模拟）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
由得：，
由得：，
原不等式组的解集为．
故选C．
【分析】本题主要对解一元一次不等式组，不等式组解集的数轴表示等知识点进行考查，优先对不等式组进行求解，再正确的用数轴进行表示 。
7．（2025·澧县模拟）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，与相交于点．若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵
∴，
．
是的直径，
∴
，
．
故选D．
【分析】此题主要对圆周角定理进行考查．根据对顶角可知，因为为圆周角，所以，进一步得到．
8．（2025·澧县模拟）若，则关于的大小，以下说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】实数的大小比较；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，，，
，
，
故选：．
【分析】本题主要对比较二次根式的大小进行考查，因为，所以先对进行大小排序，进而得到a，b，c的大小关系．
9．（2025·澧县模拟）如图，在菱形中，点是与的交点，，垂足为，若，则的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在菱形中，点是与的交点，，，
，，
，点为的中点，
，
，
是直角三角形，
，
故选：C．
【分析】本题主要对菱形的性质，勾股定理，以及直角三角形的性质进行考查，因为为菱形对角线，所以有，在中根据勾股定理可得．在中，．
10．（2025·澧县模拟）对于实数，规定一种新的运算，则下面说法错误的是（　　）
A． B．
C．若，则 D．若，则或
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：A、，故A正确；
B、，故B正确；
C、，，故C正确；
D、，
，
整理得，
解得或，故D错误．
故选：D．
【分析】本题主要对新定义，有理数的混合运算，一元二次方程的应用等知识点进行考查，根据题意对四个选项的式子进行计算其中正确，D错误。
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（2025·澧县模拟）若，则　 　．
【答案】3
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】
，
解得，
检验：将代入，符合题意
∴原方程的解为．
故答案为：3．
【分析】本题主要对如何解分式方程进行考查，首先将分式方程通分化为整式方程，在计算求解。
12．（2025·澧县模拟）函数 中自变量x的取值范围是　 　.
【答案】x≥1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】根据题意得：x-1≥0，
解得：x≥1.
故答案为：x≥1.
【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x-1≥0，解不等式可求x的范围.
13．（2025·澧县模拟）杭州“六小龙”是指六家在杭州创办、具有较强科技创新能力和影响力的企业．这六家企业分别是：深度求索（）、游戏科学、宇树科技、强脑科技、群核科技和云深处科技．某科技活动小组的同学准备利用“五一”假期到杭州参观科技企业，他们想从杭州“六小龙”企业中随机的选择家参观，则恰好选到宇树科技的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：总共有家企业，
从6家中任选家，恰好选到宇树科技的概率是，
故答案为：．
【分析】利用概率公式求概率即可．
14．（2025·澧县模拟）某反比例函数具有下列性质：当时，y随x的增大而增大．写出一个满足条件的k的值是　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵当时，y随x的增大而增大．
∴，
故答案为：（答案不唯一，只要）
【分析】本题主要对是反比例函数的性质进行考查。反比例函数的图象是双曲线，当，当，在第四象限有y随x增大而增大．
15．（2025·澧县模拟）若，则　 　．
【答案】5
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值
【解析】【解答】解：，
，即，
．
故答案为：．
【分析】本题对分式的化简求值，完全平方公式的应用进行考查，首先根据完全平方公式计算得，进一步对等式进行整理可得到。
16．（2025·澧县模拟）如图，在中，，作交的延长线于点，若是的中线，，则四边形的周长为　 　．
【答案】22
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
是的中线，
，
∴，
，
∴，
∴，
∴四边形的周长，
故答案为：．
【分析】本题主要对平行四边形的性质，勾股定理进行考查，根据平行四边形和中线的性质有，，进一步证明，所以在中，根据勾股定理有，所以四边形的周长．
17．（2025·澧县模拟）如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向、距离灯塔60海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的东南方向上的处，若海轮以每小时30海里的速度航行，则海轮从处航行到达处大约要　 　小时．（参考数据：，，tan）
【答案】2.76
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
由题意知
，
则海轮从处航行到达处需要的时间
（小时）．
故答案为：2.76
【分析】此题主要对直角三角形的应用，方向角进行考查．过点作于点，根据体验有，航行时间=路程÷速度，计算得（小时）．
18．（2025·澧县模拟）将4个大小相同的小正方形按如图所示的方式摆放在大正方形中，已知13，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】二元一次方程的应用；正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】如图，
由题意可知，
∴
∴
∴，
∵．
设，
则，可得
解得
．
∵
∴
∴
∴，
∵
，
．
故答案为：
【分析】
此题主要对相似三角形的判定和性质、二元一次方程组的应用、正方形的性质等知识进行考查．根据题意计算角关系可以得到，所以可以证明，进一步得出．根据题意设，所以有，列方程组解得，进而可得则．计算角的关系得到，再，根据相似三角形面积比等于边长比的平方，再进行面积计算得．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2025·澧县模拟）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】负整数指数幂；二次根式的加减法；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】本题主要对二次根式的运算，特殊角的三角函数值的运算进行考查。先对各个特殊项进行化简整理，再进行基本运算得到结果原式。
20．（2025·澧县模拟）先化简，再选择合适的的值代入求值．
【答案】解：原式
．
，
取，原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】本题主要对分式的化简求值，分式有意义的条件进行考查．
首先对括号里的分式进行通分化简得到原式，再进行约分计算得到原式，取，所以原式．
21．（2025·澧县模拟）新年到来之际，学校开展了丰富多彩的元旦文艺演出活动．为提高学生的参与度，学校成立了（专业老师评委组），（学生评委组），（家长评委组）三个评委组．在独唱比赛中，甲、乙两名同学表现优异，三个评委组对他们的评分统计结果及6名组评委对他们的评分统计情况如下：（单位：分）
三个评委组给甲、乙两名同学评分的平均分统计表
组别 A B C
甲 84 80
乙 83 85
B组评委给甲、乙两名同学评分的统计图
根据以上信息，回答下列问题．
（1）____，_____；
（2）B组评委给甲、乙两名同学打分的中位数分别是多少分？
（3）如果规定独唱的综合得分为：专业老师评委评分的平均分学生评委评分的平均分家长评委评分的平均分，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，判断甲、乙两名同学谁的表现更好．
【答案】（1）解：，
，
故答案为：87，85
（2）解：B组评委给甲同学打分从小到大依次为76，85，89，90，90，92，
则分数的中位数为（分）；
B组评委给乙同学打分从小到大依次为70，80，86，90，92，92，
分数的中位数为（分）．
（3）解：甲的综合得分为（分），
乙的综合得分为（分），
按此评价方法，甲、乙两名同学相比较，甲表现更
【知识点】折线统计图；平均数及其计算；加权平均数及其计算；中位数
【解析】【分析】本题主要对平均数、中位数以及加权平均数进行考查．
（1）根据平均数的定义：平均数，完成计算，；
（2）根据中位数的定义：按顺序排列一组数，位于中间位置的数；根据题意有甲同学：中位数为（分）乙同学中位数为（分）．
（3）根据加权平均数的定义：每个数乘以对应权值，再除以所有权重总和．根据题意甲的综合得分为（分）；乙的综合得分为（分）。
（1）解：，
，
故答案为：87，85
（2）解：B组评委给甲同学打分从小到大依次为76，85，89，90，90，92，
则分数的中位数为（分）；
B组评委给乙同学打分从小到大依次为70，80，86，90，92，92，
分数的中位数为（分）．
（3）解：甲的综合得分为（分），
乙的综合得分为（分），
按此评价方法，甲、乙两名同学相比较，甲表现更好．
22．（2025·澧县模拟）如图，在四边形中，已知，点在上，且．
（1）求证：；
（2）当时，求的长．
【答案】（1）证明：在四边形中，，，，，
∵，
，
．
在与中，
，
（）．
（2）当时，由（1）知，∴，
过点作于点，如图．
设，则，
∵，
∴，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】本题主要对等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识点进行考查。
（1）根据等边对等角有，，进一步得到，所以有，根据定理，可证；
（2）根据（1）可推出，过点作于点，设，则，，因为，所以有，求解，进一步得出．
（1）证明：在四边形中，，，
，，
∵，
，
．
在与中，
，
（）．
（2）当时，由（1）知，
∴，
过点作于点，如图．
设，则，
∵，
∴，
，
，
．
23．（2025·澧县模拟）如图1是三个城市的位置图（三个城市在同一直线上），小华由市驾车驶向市，小明由市驾车驶向市，两车同时出发，行驶过程中车速保持不变，小华、小明的车速分别是75千米/小时和100千米/小时．图2是小华、小明分别与C市的距离（千米），（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系图象．
（1）小明、小华两人驾车到达C市时各用了几小时？
（2）若出发时间是上午，则小华什么时间到达市？
（3）求点的横坐标，并说明点的横坐标的实际意义．
【答案】（1）解：由题意，折线为小华与市的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系图象．
线段是小明与市的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系图象．
由题图2知，小明驾车到达市时用了7.5小时，
小华驾车到达C市时用了2小时．
（2）解：A市与B市之间的距离为（千米）．
由题图2可知小华由市到市中间休息了1小时，
（小时），（小时）．
若出发时间是上午，则小华到达市的时间为晚上．
（3）解：由图可知：的坐标分别为，
设，
则，
解得，
．
由图可知：的坐标为，
当时，小华与市的距离为（千米），
的坐标为．
设直线的表达式为，
则，
解得，
．
当时，，
解得（小时），
故点的横坐标为，其表示的实际意义是行驶小时后，小明与小华相遇．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】本题主要对一次函数的实际应用，从图象中有效的获取信息进行考查：
（1）根据图2的信息可知线段是小明与市的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系图象，所以小华驾车到达C市时用了2小时；
（2）优先求出市与市的距离=时间乘以速度=km，有图2，时间=路程除以速度，再加上休息时间得到所用时间13小时，所以若出发时间是上午，则小华到达市的时间为晚上．；
（3）设的解析式，根据图像信息有，解得解析式，设线段的解析式，根据图像信息有，解得解析式，所以S横坐标的意义：行驶小时后，小明与小华相遇．
（1）解：由题意，折线为小华与市的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系图象．
线段是小明与市的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系图象．
由题图2知，小明驾车到达市时用了7.5小时，
小华驾车到达C市时用了2小时．
（2）A市与B市之间的距离为（千米）．
由题图2可知小华由市到市中间休息了1小时，
（小时），（小时）．
若出发时间是上午，则小华到达市的时间为晚上．
（3）由图可知：的坐标分别为，
设，
则，
解得，
．
由图可知：的坐标为，
当时，小华与市的距离为（千米），
的坐标为．
设直线的表达式为，
则，
解得，
．
当时，，
解得（小时），
故点的横坐标为，其表示的实际意义是行驶小时后，小明与小华相遇．
24．（2025·澧县模拟）如图，四边形是圆的内接四边形，为圆的直径．以点为圆心，以小于的长为半径画弧，分别交于点；以点为圆心、长为半径画弧，与射线交于点；以点为圆心、长为半径画弧，交以点为圆心且长为半径的弧于点，射线与射线交于点．
（1）求证：是圆的切线；
（2）若，求圆的半径及的长．
【答案】（1）证明：由作图可知．是圆的直径，
，
，
，
即，
∴，
是圆的直径，
是圆的切线．
（2）如图，延长，交于点．
是圆的直径，
．
，，
，
，
，
，
，
圆的半径为．
由（1）知，
又∵，
，
，即．
．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定；解直角三角形；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】本题主要对尺规作图—作一个角等于已知角，圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识点进行考查．（1）由作图可知，圆周角定理可得进一步计算得到，进一步可证是圆的切线；
（2）延长，交于点，根据圆周角定理有，结合，，可计算出=5，在中根据勾股定理，，因为，所以可证，进而得到．
（1）证明：由作图可知．
是圆的直径，
，
，
，
即，
∴，
是圆的直径，
是圆的切线．
（2）如图，延长，交于点．
是圆的直径，
．
，，
，
，
，
，
，
圆的半径为．
由（1）知，
又∵，
，
，即．
．
25．（2025·澧县模拟）如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点，点的坐标为，点为抛物线上一动点，以点为圆心，长为半径的圆交轴于两点（点在点的左侧）．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）当点在抛物线上运动时，弦的长度是不是定值？若不是定值，请说明理由；若是定值，请求出弦的长．
（3）如图2，若直线过点，求证：三角形是等边三角形．
【答案】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，∴设抛物线的函数表达式为．
将点代入，得，
解得，
抛物线的函数表达式为．
（2）解：弦的长度是定值．理由如下：
如图1所示，过点作轴，垂足为，连接，则：，
设点的坐标为，则．
，
∴．
，
．
，
，
∴弦的长度为定值．
（3）证明：设直线的解析式为，直线过点，
，解得：，
∴；
设，则且，
，
，
．
①当时，点在对称轴左侧，如图2，
．
，
的坐标为，
，又，
三角形是等边三角形．
②当时，在对称轴右侧，如图3，
，
，
的坐标为，
，
，又，
三角形是等边三角形．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；垂径定理；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】本题主要对待定系数法求二次函数解析式，二次函数-特殊三角形存在性问题，垂径定理，二次函数-线段周长问题进行考查：
（1）根据待定系数法设抛物线解析式为带入点得到，所以表达式为；
（2）过点作轴，垂足为，连接，设点的坐标为，则，根据垂径定理有，根据勾股定理计算得=3，所以=6，因此弦的长度为定值；
（3）根据待定系数法设直线BC解析式为，带入两点坐标解得解析式为，设，带入直线BC解析式有且，进一步解得，分两种情况进行讨论：
①当时，点在对称轴左侧，所以
，所以有，故三角形是等边三角形．
②当时，C在对称轴右侧，所以，
所以有，故三角形是等边三角形．
（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴设抛物线的函数表达式为．
将点代入，得，
解得，
抛物线的函数表达式为．
（2）弦的长度是定值．理由如下：
如图1所示，过点作轴，垂足为，连接，则：，
设点的坐标为，则．
，
∴．
，
．
，
，
∴弦的长度为定值．
（3）证明：设直线的解析式为，
直线过点，
，解得：，
∴；
设，则且，
，
，
．
①当时，点在对称轴左侧，如图2，
．
，
的坐标为，
，又，
三角形是等边三角形．
②当时，在对称轴右侧，如图3，
，
，
的坐标为，
，
，又，
三角形是等边三角形．
26．（2025·澧县模拟）【问题背景】
已知矩形与矩形共顶点，连接交的延长线于点．
【特例感知】
（1）如图1，当点在上时，试判断与的大小，并说明理由；
【拓展探究】
（2）如图2，当点不在上时，求证：
①；
②．
【答案】解：（1）．
理由如下：
矩形与矩形共顶点，
且在上，
，
，
．
【拓展探究】
（2）证明：①如图，过点作，交于点，交于点，
，
，
．
而在与中，
，，
，即，
．
②如图，过点作，交的延长线于点．
，
，
设，
，
，
又，
，
．
【知识点】矩形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】本题主要对矩形的性质、全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点进行考查．
（1）因为点是矩形与矩形共顶点，所以可得到，进一步得到，根据内错角相等有；
（2）①过点作，交于点，交于点，因为，所以，进一步可得．在与中可证明，所以．
②过点作，交的延长线于点．所以有，设，所以有，又因为，可证根据角边角定理有，所以．
1 / 1

展开更多......

收起↑