资源简介

广西壮族自治区百色市2025年中考二模数学试题
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（2025·百色模拟）在有理数3，，，0中，最小的数是（　　）
A．3 B． C． D．0
2．（2025·百色模拟）“二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·百色模拟）下列式子是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·百色模拟）如图是“垃圾入桶”标志及垃圾桶的平面示意图，若，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·百色模拟）《哪吒之魔童闹海》是一部集剧情、角色塑造、特效以及文化内核于一体的动画电影佳作，它不仅让观众在视听上享受到了极致的体验，更在心灵上获得了深刻的触动和启示．截至2025年3月15日，《哪吒之魔童闹海》全球累计票房（含预售）超150亿元，位列全球影史票房榜第五．将数据15000000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·百色模拟）下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（　　）
　 甲 乙 丙 丁
平均数 9.35 9.35 9.34 9.34
方差 6.6 6.9 6.9 6.7
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．（2025·百色模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·百色模拟）关于正比例函数，下列结论不正确的是（　　）
A．点在函数的图象上 B．y随x的增大而减小
C．图象经过原点 D．图象经过第二、四象限
9．（2025·百色模拟）关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·百色模拟）已知抛物线与抛物线的形状、开口方向相同，且该抛物线最高点的函数值为1，则抛物线的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
11．（2025·百色模拟）如图，四边形内接于，若，，则的半径是（　　）
A． B． C． D．4
12．（2025·百色模拟）在《算法统宗》中有这样一个问题：牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．借问贤能如何算，多少儿童多少杏？问：有几个牧童？题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．有多少个牧童？设有x个牧童，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（2025·百色模拟）计算：　 　．
14．（2025·百色模拟）请你写出一个必然事件　 　．
15．（2025·百色模拟）在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图是装订机的底座，是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆的D点固定，点E从A向B处滑动，压柄可绕着转轴B旋转．已知，．当托板与压柄夹角时，如图，点从点滑动了，此时连接杆的长度是　 　．（参考数据：，，）（结果保留根号）
16．（2025·百色模拟）如图，三条相互平行的直线和分别经过矩形的三个顶点交边于点E．若与之间的距离为4，与之间的距离为6，则的长为　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025·百色模拟）（1）计算：；
（2）解方程组：．
18．（2025·百色模拟）如图，在中，，点在线段的延长线上．
（1）尺规作图：求作的角平分线；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）请判断与的位置关系，并说明理由．
19．（2025·百色模拟）某校为了解学生参加家务劳动的情况，对全校学生每周“参加家务劳动的时间”进行了随机抽样调查，并将劳动时间x分为如下四组（A：；B：；C：；D：，单位：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）求出本次抽样的学生人数并补全条形统计图；
（2）已知该校有900名学生，请估计该校学生中每周参加家务劳动的时间不足60分钟的学生有多少人？
（3）若D组中有2名女生，其余均是男生，从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名同学恰好是一名女生和一名男生的概率．
20．（2025·百色模拟）为创建文明社区，营造干净整洁的街道社区环境，某社区准备购买甲、乙两种分类垃圾桶，已知购买甲种垃圾桶的单价比购买乙种少50元，用2500元购进乙种垃圾桶的数量是用4000元购进甲种垃圾桶的数量的一半．
（1）求甲、乙两种垃圾桶的单价；
（2）该社区拟计划订购这两种垃圾桶共30个，且总费用不超过7000元，则社区最多可以购买多少个乙种垃圾桶？
21．（2025·百色模拟）如图，从外一点A作的切线，切点分别为点B，C，作的直径，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
22．（2025·百色模拟）问题：在平面直角坐标系中，点P的坐标为（a为实数），当a变化时，点P的位置也随之改变．点P的位置有何变化规律呢？
【方法探究】
（1）甲同学将a取了部分特殊值来确定点P的坐标以便观察其变化规律．列表：
点的坐标
①请直接写出点的坐标；
②描点：如图1，建立平面直角坐标系，现已描出了点，请描出点；
③请观察点的位置，猜想点P的位置随a的变化有何规律？
【问题解决】
（2）同学们认为通过观察，实验，归纳得到的结论不一定正确，还需要进一步验证．
甲同学根据（1）中的猜想，用待定系数法，选择其中的点，求出y与x的解析式，再将点的坐标代入验证．
乙同学则设点P的坐标为，令得①，得②，消掉字母a，求出y与x的解析式．
问题解决：请分别用甲、乙同学的方法求出y与x的解析式，并简要比较这两种方法；
【拓展应用】
（3）如图2，点，分别为轴，轴正半轴上的一点，，求周长的最小值．
23．（2025·百色模拟）【综合与探究】如图1，将绕点A按逆时针方向旋转度，并使各边长变为原来的n倍，得到，我们将这种变换记为．
（1）如图1，对作变换得到，请直接写出变换前后与的周长之比的值和射线与直线所夹的锐角的度数；
（2）如图2，在中，，，对作变换得到，当点在同一直线上，且四边形为矩形时，求和n的值；
（3）如图3，在中，，对作变换得到，使得点或点在所在直线上，且与的一腰作为对边构成平行四边形，求和n的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：在有理数3，，，0中，将四个数排列大小有，
在最小的数是，
故选：C．
【分析】本题对有理数比较大小进行考查，根据，正数大于0，0大于负数，将四个数进行比较有，故最小值为-3．
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A不是轴对称图形，A不符合题意，
B不是轴对称图形，B不符合题意，
C不是轴对称图形，C不符合题意，
D是轴对称图形，D符合题意，
故答案为：．
【分析】根据轴对称图形的定义逐一进行判断即可．
3．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式，不合题意；
B、，不是最简二次根式，不合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、，不是最简二次根式，不合题意；
故选C．
【分析】
本题对最简二次根式进行考查，最简二次根式的被开方数不含能开方开的尽的因式或因数，不含分母，故ABD均不合题意，正确选项为C ．
4．【答案】B
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补即可求得．
5．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故选：B．
【分析】本题对科学记数法进行考查，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，本题完成求解．
6．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由表格得丙、丁的平均数小于甲、乙的平均数大，且甲的方差小于乙的方差，
选择甲参加比赛，
故选：A．
【分析】本题对平均数和方差进行考查，方差是用来衡量一组数据波动大小的量方差越小，数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，更稳定．优先考虑平均数，平均数相同时选择方差较小的甲参加比赛．
7．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、不能合并，计算错误，不符合题意；
B、，计算错误，不符合题意；
C、，计算正确，符合题意；
D、，计算错误，不符合题意；
故选C．
【分析】
本题对合并同类项，幂的运算进行考查，正确对选项中的式子进行计算，再进行判断．
8．【答案】A
【知识点】正比例函数的图象；正比例函数的性质
【解析】【解答】解：A、在中，当时，，所以点不在函数的图象上，原说法错误，符合题意；
B、在中，，则y随x的增大而减小，原说法正确，不符合题意；
C、在中，当时，，则原函数的图象经过原点，原说法正确，不符合题意；
D、在中，，则图象经过第二、四象限，原说法正确，不符合题意；
故选：A ．
【分析】
本题对正比例函数图象的性质进行考查，根据，可得y的值随x的值增大而减小且图象经过第二、四象限，据此可判断A符合题意、D不合题意，当时，和当时，所以B、C均不合题意．
9．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
解得．
故选：B．
【分析】本题主要考查了根的判别式， 根据一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）>0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）<0方程没有实数根．列出不等式求解。
10．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：抛物线与抛物线的形状、开口方向相同，
，
，
该抛物线最高点的函数值为1，
，
解得：，
抛物线的解析式为，
故选：．
【分析】本题对待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质等知识点进行考查．因为两抛物线的形状、开口方向相同，所以a=-2，因为抛物线定点的函数值为1，带入定点公式计算得，即可完成抛物线解析式求解．
11．【答案】A
【知识点】勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接，如图，
∵ 四边形内接于，
，
，
，
∴ OA2+OC2=AC2，即2OA2=4，
∴的半径=.
故答案为：A．
【分析】根据圆内接四边形对角互补可得，根据圆周角定理可知，最后根据勾股定理即可求得半径.
12．【答案】D
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设该问题中的牧童有x个，根据题干信息“若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏”有：．
故选：D．
【分析】本题主要对由实际问题列出出一元一次方程进行考查．首先设该问题中的有x个牧童，根据“若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏”且杏的总数一定，即可列出对应方程．
13．【答案】2025
【知识点】绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：，
故答案为： ．
【分析】根据绝对值的定义即可求得.
14．【答案】明天的太阳从东方升起
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：明天的太阳从东方升起就是一个必然事件．
【分析】填写一个一定发生的事件即可．
15．【答案】
【知识点】勾股定理；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，过点D作于点F．
在中，，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
【分析】本题主要对解直角三角形的应用进行考查，根据已有图，过点D作于点F．根据在求出，，再根据已知条件求出，在中，根据勾股定理求出．
16．【答案】
【知识点】平行线的性质；勾股定理；矩形的性质；解直角三角形；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：如图所示，过点D作于N，过点B作于M，
∵，与之间的距离为4，与之间的距离为6，
∴与之间的距离为2，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴中根据勾股定理有，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题主要对矩形的性质，平行线的性质，三角函数的应用等知识点进行考查。
如图所示，分别过点D作于N，过点B作于M，根据题干中三条平行线之间的距离有，，根据平行关系得到，在根据勾股定理有，进一步求出，即，进一步得到，根据正弦关系可得，所以可得到．
【点睛】
本题考查的是矩形的性质，平行线的性质，三角函数的应用，解三角形等知识点，作出合适的辅助线是解本题的关键．
17．【答案】解：
；
解：，
得：，
系数化为得：，
把代入方程得：，
解得：，
方程组的解是．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】将原除法带换成乘法，可得：原式，在根据远算法则求解原式=0；将相加进行加减消元消去未知数y解得：，再将代入方程求得．
18．【答案】（1）
（2）解：，理由如下，
，
，
，
平分．
，
．
【知识点】平行线的判定；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】本题主要对尺规作图—作角平分线，外角的性质，等边对等角，平行线的判定等知识点进行考查．
（1）根据题意用尺规作图直接作出的平分线；
（2）因为，所以为等腰三角形，所以有，再由角平分线的定义和外角性质可得内错角，所以得证．
（1）解：（1）如图，即为所求，
（2）解：，理由如下，
，
，
，
平分．
，
．
19．【答案】（1）解：本次抽样的学生人数为（人），
组的人数为（人），
补全条形统计图如下图所示；
（2）解：（人），
估计该校学生中每周参加家务劳动的时间不足60分钟的学生约人；
（3）解：由题意得，有名女生，名男生，
列表如下：
男 男 女 女 女
男 （男，男） （男，女） （男，女） （男，女）
男 （男，男） （男，女） （男，女） （男，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女） （女，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女） （女，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女） （女，女）
男 男 女 女 女
男 （男，男） （男，女） （男，女） （男，女）
男 （男，男） （男，女） （男，女） （男，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女） （女，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女） （女，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女） （女，女）
共有种等可能的结果，其中抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的结果有种，
抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】本题主要对条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，树状图法或列表法求解概率等知识点进行考查．
根据条形统计图信息可知：组有人且组人数占总人数的，所以可以计算出人，组的人数可以用总人数减去组、组、组的人数得到，进一步补全统计图；
用样本估计总体情况，样本占比为，用900乘以样本占比得出结果180；
使用列表法把所有可能出现的情况只管展示出来，共有种等可能的结果，而统计表中数据可知抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的结果有种，所以概率为．
（1）解：本次抽样的学生人数为（人），
组的人数为（人），
补全条形统计图如下图所示；
（2）解：（人），
估计该校学生中每周参加家务劳动的时间不足60分钟的学生约人；
（3）解：由题意得，有名女生，名男生，
列表如下：
男 男 女 女 女
男
（男，男） （男，女） （男，女） （男，女）
男 （男，男）
（男，女） （男，女） （男，女）
女 （女，男） （女，男）
（女，女） （女，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女）
（女，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女） （女，女）
共有种等可能的结果，其中抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的结果有种，
抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率为．
20．【答案】（1）解：设甲种垃圾桶的单价为元，则乙种垃圾桶的单价为元，
由题意得，，
解得：，
经检验：是方程的解，且符合题意，
则，
答：甲种垃圾桶的单价为200元，则乙种垃圾桶的单价为250元．
（2）解：设购买个乙种垃圾桶，则购买个甲种垃圾桶，
由题意得，，
解得：，
所以的最大值为20，
答：社区最多可以购买20个乙种垃圾桶．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题主要对分式方程的应用、一元一次不等式的应用进行考查．
（1）设甲种垃圾桶的单价为元，根据题意有乙种垃圾桶的单价为元，进一步列出方程式，再求出=200；
（2）设购买个乙种垃圾桶，根据题意甲种垃圾桶要购买个，进一步列出不等式，求解不等式得，则乙种垃圾桶最多买20个。
（1）解：设甲种垃圾桶的单价为元，则乙种垃圾桶的单价为元，
由题意得，，
解得：，
经检验：是方程的解，且符合题意，
则，
答：甲种垃圾桶的单价为200元，则乙种垃圾桶的单价为250元．
（2）解：设购买个乙种垃圾桶，则购买个甲种垃圾桶，
由题意得，，
解得：，
所以的最大值为20，
答：社区最多可以购买20个乙种垃圾桶．
21．【答案】（1）证明：连接，
∵、分别切于、，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
（2）连接，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】本题主要对平行线的判定、圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点进行考查，（1）连接，由切线的性质及切线长定理可得，，再由三角形内角和求出，因为为等腰三角形，所以，由三角形外角的性质有同位角，所以；
（2）连接，由（1），根据圆周角定理有，所以，进一步得到，，在中有，所以．
（1）证明：连接，
∵、分别切于、，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
（2）解：连接，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
22．【答案】（1）解：①当时，，∴，
②描点如下：
猜想：点的横坐标为，纵坐标为，点在一条直线上运动，
（2）解：设出y与x的解析式为，代入，
∴
解得：
将，代入验证符合解析式，
在直线上；
乙同学设点P的坐标为，
，
得，即．
在直线上；
（3）解：如图，
设直线与轴交于点，与轴交于点，
当时，，则，当时，，则
∴，是等腰直角三角形，
∴
∵，则
过点作，且
∴关于的对称轴点为，则，
的周长最小值为．
∵
∴，
又∵
∴
∴
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的性质；轴对称的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】本题主要对一次函数的几何应用，求一次函数的解析式，勾股定理，等腰三角形的性质，一次函数的交点问题，轴对称的性质等知识点进行考查．
（1）将代入可求出，描出各点，观察得出点的横坐标为，纵坐标为，点在一条直线上运动；
（2）①先设出y与x的解析式，再带入，解得解析式；②先设点P的坐标为代入得求解得。
（3）优先求出直线与x，轴的两个交点，，再作出点关于直线的对称点，根据轴对称的性质得出的周长最小值为，在中根据勾股定理有．
23．【答案】（1）解：如图，设直线与直线的交点为H，交于O．
根据题意得：，，，，
∴，
∵，，
∴，
直线与直线所夹的锐角为；
（2）解：∵，则，同理：，
∴，，，
∵共线，
∴，
而，，
∴，
∴
∵四边形是矩形，
∴．
∴．
在中，，，
∴，
∴；
（3）解：依题意，当在直线上时，如图所示：则与的一腰作为对边构成平行四边形，
∵，
∴，
同理可得：，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
而，
∴ ，
∴（负根舍），
∴，
∴．
当在直线上时，如图所示：
则与的一腰作为对边构成平行四边形，
即四边形是平行四边形，
∴，
则，
∵，
∴，
则，
∴，
∵
∴
∵
∴，
则，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴（负根舍），
∴，
∴．
综上：或，
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；位似变换；旋转的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】本题主要对四边形综合题、平行四边形与矩形的判定与性质，相似三角形的性质、一元二次方程、变换的定义等知识进行考查；（1）根据题意设直线与直线的交点为H，交于O，根据变换可得，，， ，所以，因此直线与直线所夹的锐角为；
（2）由题意可得，所以，证明，所以边形是矩形，可证明四边形是矩形，根据矩形的性质有，由，可得，在中有，进而得到；
（3）根据与在直线上的情况进行分类讨论，当在直线上且四边形是平行四边形，根据，可得，所以，可证，进而得到，所以，当在直线上时，同理进行求得，；所以有两种结果或，。
（1）解：如图，设直线与直线的交点为H，交于O．
根据题意得：，，，，
∴，
∵，，
∴，
直线与直线所夹的锐角为；
（2）解：∵，则，
同理：，
∴，，，
∵共线，
∴，
而，，
∴，
∴
∵四边形是矩形，
∴．
∴．
在中，，，
∴，
∴；
（3）解：依题意，当在直线上时，如图所示：
则与的一腰作为对边构成平行四边形，
∵，
∴，
同理可得：，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
而，
∴ ，
∴（负根舍），
∴，
∴．
当在直线上时，如图所示：
则与的一腰作为对边构成平行四边形，
即四边形是平行四边形，
∴，
则，
∵，
∴，
则，
∴，
∵
∴
∵
∴，
则，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴（负根舍），
∴，
∴．
综上：或，
1 / 1广西壮族自治区百色市2025年中考二模数学试题
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（2025·百色模拟）在有理数3，，，0中，最小的数是（　　）
A．3 B． C． D．0
【答案】C
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：在有理数3，，，0中，将四个数排列大小有，
在最小的数是，
故选：C．
【分析】本题对有理数比较大小进行考查，根据，正数大于0，0大于负数，将四个数进行比较有，故最小值为-3．
2．（2025·百色模拟）“二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A不是轴对称图形，A不符合题意，
B不是轴对称图形，B不符合题意，
C不是轴对称图形，C不符合题意，
D是轴对称图形，D符合题意，
故答案为：．
【分析】根据轴对称图形的定义逐一进行判断即可．
3．（2025·百色模拟）下列式子是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式，不合题意；
B、，不是最简二次根式，不合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、，不是最简二次根式，不合题意；
故选C．
【分析】
本题对最简二次根式进行考查，最简二次根式的被开方数不含能开方开的尽的因式或因数，不含分母，故ABD均不合题意，正确选项为C ．
4．（2025·百色模拟）如图是“垃圾入桶”标志及垃圾桶的平面示意图，若，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补即可求得．
5．（2025·百色模拟）《哪吒之魔童闹海》是一部集剧情、角色塑造、特效以及文化内核于一体的动画电影佳作，它不仅让观众在视听上享受到了极致的体验，更在心灵上获得了深刻的触动和启示．截至2025年3月15日，《哪吒之魔童闹海》全球累计票房（含预售）超150亿元，位列全球影史票房榜第五．将数据15000000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故选：B．
【分析】本题对科学记数法进行考查，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，本题完成求解．
6．（2025·百色模拟）下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（　　）
　 甲 乙 丙 丁
平均数 9.35 9.35 9.34 9.34
方差 6.6 6.9 6.9 6.7
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由表格得丙、丁的平均数小于甲、乙的平均数大，且甲的方差小于乙的方差，
选择甲参加比赛，
故选：A．
【分析】本题对平均数和方差进行考查，方差是用来衡量一组数据波动大小的量方差越小，数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，更稳定．优先考虑平均数，平均数相同时选择方差较小的甲参加比赛．
7．（2025·百色模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、不能合并，计算错误，不符合题意；
B、，计算错误，不符合题意；
C、，计算正确，符合题意；
D、，计算错误，不符合题意；
故选C．
【分析】
本题对合并同类项，幂的运算进行考查，正确对选项中的式子进行计算，再进行判断．
8．（2025·百色模拟）关于正比例函数，下列结论不正确的是（　　）
A．点在函数的图象上 B．y随x的增大而减小
C．图象经过原点 D．图象经过第二、四象限
【答案】A
【知识点】正比例函数的图象；正比例函数的性质
【解析】【解答】解：A、在中，当时，，所以点不在函数的图象上，原说法错误，符合题意；
B、在中，，则y随x的增大而减小，原说法正确，不符合题意；
C、在中，当时，，则原函数的图象经过原点，原说法正确，不符合题意；
D、在中，，则图象经过第二、四象限，原说法正确，不符合题意；
故选：A ．
【分析】
本题对正比例函数图象的性质进行考查，根据，可得y的值随x的值增大而减小且图象经过第二、四象限，据此可判断A符合题意、D不合题意，当时，和当时，所以B、C均不合题意．
9．（2025·百色模拟）关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
解得．
故选：B．
【分析】本题主要考查了根的判别式， 根据一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）>0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）<0方程没有实数根．列出不等式求解。
10．（2025·百色模拟）已知抛物线与抛物线的形状、开口方向相同，且该抛物线最高点的函数值为1，则抛物线的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：抛物线与抛物线的形状、开口方向相同，
，
，
该抛物线最高点的函数值为1，
，
解得：，
抛物线的解析式为，
故选：．
【分析】本题对待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质等知识点进行考查．因为两抛物线的形状、开口方向相同，所以a=-2，因为抛物线定点的函数值为1，带入定点公式计算得，即可完成抛物线解析式求解．
11．（2025·百色模拟）如图，四边形内接于，若，，则的半径是（　　）
A． B． C． D．4
【答案】A
【知识点】勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接，如图，
∵ 四边形内接于，
，
，
，
∴ OA2+OC2=AC2，即2OA2=4，
∴的半径=.
故答案为：A．
【分析】根据圆内接四边形对角互补可得，根据圆周角定理可知，最后根据勾股定理即可求得半径.
12．（2025·百色模拟）在《算法统宗》中有这样一个问题：牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．借问贤能如何算，多少儿童多少杏？问：有几个牧童？题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．有多少个牧童？设有x个牧童，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设该问题中的牧童有x个，根据题干信息“若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏”有：．
故选：D．
【分析】本题主要对由实际问题列出出一元一次方程进行考查．首先设该问题中的有x个牧童，根据“若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏”且杏的总数一定，即可列出对应方程．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（2025·百色模拟）计算：　 　．
【答案】2025
【知识点】绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：，
故答案为： ．
【分析】根据绝对值的定义即可求得.
14．（2025·百色模拟）请你写出一个必然事件　 　．
【答案】明天的太阳从东方升起
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：明天的太阳从东方升起就是一个必然事件．
【分析】填写一个一定发生的事件即可．
15．（2025·百色模拟）在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图是装订机的底座，是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆的D点固定，点E从A向B处滑动，压柄可绕着转轴B旋转．已知，．当托板与压柄夹角时，如图，点从点滑动了，此时连接杆的长度是　 　．（参考数据：，，）（结果保留根号）
【答案】
【知识点】勾股定理；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，过点D作于点F．
在中，，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
【分析】本题主要对解直角三角形的应用进行考查，根据已有图，过点D作于点F．根据在求出，，再根据已知条件求出，在中，根据勾股定理求出．
16．（2025·百色模拟）如图，三条相互平行的直线和分别经过矩形的三个顶点交边于点E．若与之间的距离为4，与之间的距离为6，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质；勾股定理；矩形的性质；解直角三角形；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：如图所示，过点D作于N，过点B作于M，
∵，与之间的距离为4，与之间的距离为6，
∴与之间的距离为2，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴中根据勾股定理有，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题主要对矩形的性质，平行线的性质，三角函数的应用等知识点进行考查。
如图所示，分别过点D作于N，过点B作于M，根据题干中三条平行线之间的距离有，，根据平行关系得到，在根据勾股定理有，进一步求出，即，进一步得到，根据正弦关系可得，所以可得到．
【点睛】
本题考查的是矩形的性质，平行线的性质，三角函数的应用，解三角形等知识点，作出合适的辅助线是解本题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025·百色模拟）（1）计算：；
（2）解方程组：．
【答案】解：
；
解：，
得：，
系数化为得：，
把代入方程得：，
解得：，
方程组的解是．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】将原除法带换成乘法，可得：原式，在根据远算法则求解原式=0；将相加进行加减消元消去未知数y解得：，再将代入方程求得．
18．（2025·百色模拟）如图，在中，，点在线段的延长线上．
（1）尺规作图：求作的角平分线；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）请判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2）解：，理由如下，
，
，
，
平分．
，
．
【知识点】平行线的判定；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】本题主要对尺规作图—作角平分线，外角的性质，等边对等角，平行线的判定等知识点进行考查．
（1）根据题意用尺规作图直接作出的平分线；
（2）因为，所以为等腰三角形，所以有，再由角平分线的定义和外角性质可得内错角，所以得证．
（1）解：（1）如图，即为所求，
（2）解：，理由如下，
，
，
，
平分．
，
．
19．（2025·百色模拟）某校为了解学生参加家务劳动的情况，对全校学生每周“参加家务劳动的时间”进行了随机抽样调查，并将劳动时间x分为如下四组（A：；B：；C：；D：，单位：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）求出本次抽样的学生人数并补全条形统计图；
（2）已知该校有900名学生，请估计该校学生中每周参加家务劳动的时间不足60分钟的学生有多少人？
（3）若D组中有2名女生，其余均是男生，从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名同学恰好是一名女生和一名男生的概率．
【答案】（1）解：本次抽样的学生人数为（人），
组的人数为（人），
补全条形统计图如下图所示；
（2）解：（人），
估计该校学生中每周参加家务劳动的时间不足60分钟的学生约人；
（3）解：由题意得，有名女生，名男生，
列表如下：
男 男 女 女 女
男 （男，男） （男，女） （男，女） （男，女）
男 （男，男） （男，女） （男，女） （男，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女） （女，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女） （女，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女） （女，女）
男 男 女 女 女
男 （男，男） （男，女） （男，女） （男，女）
男 （男，男） （男，女） （男，女） （男，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女） （女，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女） （女，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女） （女，女）
共有种等可能的结果，其中抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的结果有种，
抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】本题主要对条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，树状图法或列表法求解概率等知识点进行考查．
根据条形统计图信息可知：组有人且组人数占总人数的，所以可以计算出人，组的人数可以用总人数减去组、组、组的人数得到，进一步补全统计图；
用样本估计总体情况，样本占比为，用900乘以样本占比得出结果180；
使用列表法把所有可能出现的情况只管展示出来，共有种等可能的结果，而统计表中数据可知抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的结果有种，所以概率为．
（1）解：本次抽样的学生人数为（人），
组的人数为（人），
补全条形统计图如下图所示；
（2）解：（人），
估计该校学生中每周参加家务劳动的时间不足60分钟的学生约人；
（3）解：由题意得，有名女生，名男生，
列表如下：
男 男 女 女 女
男
（男，男） （男，女） （男，女） （男，女）
男 （男，男）
（男，女） （男，女） （男，女）
女 （女，男） （女，男）
（女，女） （女，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女）
（女，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女） （女，女）
共有种等可能的结果，其中抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的结果有种，
抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率为．
20．（2025·百色模拟）为创建文明社区，营造干净整洁的街道社区环境，某社区准备购买甲、乙两种分类垃圾桶，已知购买甲种垃圾桶的单价比购买乙种少50元，用2500元购进乙种垃圾桶的数量是用4000元购进甲种垃圾桶的数量的一半．
（1）求甲、乙两种垃圾桶的单价；
（2）该社区拟计划订购这两种垃圾桶共30个，且总费用不超过7000元，则社区最多可以购买多少个乙种垃圾桶？
【答案】（1）解：设甲种垃圾桶的单价为元，则乙种垃圾桶的单价为元，
由题意得，，
解得：，
经检验：是方程的解，且符合题意，
则，
答：甲种垃圾桶的单价为200元，则乙种垃圾桶的单价为250元．
（2）解：设购买个乙种垃圾桶，则购买个甲种垃圾桶，
由题意得，，
解得：，
所以的最大值为20，
答：社区最多可以购买20个乙种垃圾桶．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题主要对分式方程的应用、一元一次不等式的应用进行考查．
（1）设甲种垃圾桶的单价为元，根据题意有乙种垃圾桶的单价为元，进一步列出方程式，再求出=200；
（2）设购买个乙种垃圾桶，根据题意甲种垃圾桶要购买个，进一步列出不等式，求解不等式得，则乙种垃圾桶最多买20个。
（1）解：设甲种垃圾桶的单价为元，则乙种垃圾桶的单价为元，
由题意得，，
解得：，
经检验：是方程的解，且符合题意，
则，
答：甲种垃圾桶的单价为200元，则乙种垃圾桶的单价为250元．
（2）解：设购买个乙种垃圾桶，则购买个甲种垃圾桶，
由题意得，，
解得：，
所以的最大值为20，
答：社区最多可以购买20个乙种垃圾桶．
21．（2025·百色模拟）如图，从外一点A作的切线，切点分别为点B，C，作的直径，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：连接，
∵、分别切于、，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
（2）连接，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】本题主要对平行线的判定、圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点进行考查，（1）连接，由切线的性质及切线长定理可得，，再由三角形内角和求出，因为为等腰三角形，所以，由三角形外角的性质有同位角，所以；
（2）连接，由（1），根据圆周角定理有，所以，进一步得到，，在中有，所以．
（1）证明：连接，
∵、分别切于、，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
（2）解：连接，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
22．（2025·百色模拟）问题：在平面直角坐标系中，点P的坐标为（a为实数），当a变化时，点P的位置也随之改变．点P的位置有何变化规律呢？
【方法探究】
（1）甲同学将a取了部分特殊值来确定点P的坐标以便观察其变化规律．列表：
点的坐标
①请直接写出点的坐标；
②描点：如图1，建立平面直角坐标系，现已描出了点，请描出点；
③请观察点的位置，猜想点P的位置随a的变化有何规律？
【问题解决】
（2）同学们认为通过观察，实验，归纳得到的结论不一定正确，还需要进一步验证．
甲同学根据（1）中的猜想，用待定系数法，选择其中的点，求出y与x的解析式，再将点的坐标代入验证．
乙同学则设点P的坐标为，令得①，得②，消掉字母a，求出y与x的解析式．
问题解决：请分别用甲、乙同学的方法求出y与x的解析式，并简要比较这两种方法；
【拓展应用】
（3）如图2，点，分别为轴，轴正半轴上的一点，，求周长的最小值．
【答案】（1）解：①当时，，∴，
②描点如下：
猜想：点的横坐标为，纵坐标为，点在一条直线上运动，
（2）解：设出y与x的解析式为，代入，
∴
解得：
将，代入验证符合解析式，
在直线上；
乙同学设点P的坐标为，
，
得，即．
在直线上；
（3）解：如图，
设直线与轴交于点，与轴交于点，
当时，，则，当时，，则
∴，是等腰直角三角形，
∴
∵，则
过点作，且
∴关于的对称轴点为，则，
的周长最小值为．
∵
∴，
又∵
∴
∴
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的性质；轴对称的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】本题主要对一次函数的几何应用，求一次函数的解析式，勾股定理，等腰三角形的性质，一次函数的交点问题，轴对称的性质等知识点进行考查．
（1）将代入可求出，描出各点，观察得出点的横坐标为，纵坐标为，点在一条直线上运动；
（2）①先设出y与x的解析式，再带入，解得解析式；②先设点P的坐标为代入得求解得。
（3）优先求出直线与x，轴的两个交点，，再作出点关于直线的对称点，根据轴对称的性质得出的周长最小值为，在中根据勾股定理有．
23．（2025·百色模拟）【综合与探究】如图1，将绕点A按逆时针方向旋转度，并使各边长变为原来的n倍，得到，我们将这种变换记为．
（1）如图1，对作变换得到，请直接写出变换前后与的周长之比的值和射线与直线所夹的锐角的度数；
（2）如图2，在中，，，对作变换得到，当点在同一直线上，且四边形为矩形时，求和n的值；
（3）如图3，在中，，对作变换得到，使得点或点在所在直线上，且与的一腰作为对边构成平行四边形，求和n的值．
【答案】（1）解：如图，设直线与直线的交点为H，交于O．
根据题意得：，，，，
∴，
∵，，
∴，
直线与直线所夹的锐角为；
（2）解：∵，则，同理：，
∴，，，
∵共线，
∴，
而，，
∴，
∴
∵四边形是矩形，
∴．
∴．
在中，，，
∴，
∴；
（3）解：依题意，当在直线上时，如图所示：则与的一腰作为对边构成平行四边形，
∵，
∴，
同理可得：，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
而，
∴ ，
∴（负根舍），
∴，
∴．
当在直线上时，如图所示：
则与的一腰作为对边构成平行四边形，
即四边形是平行四边形，
∴，
则，
∵，
∴，
则，
∴，
∵
∴
∵
∴，
则，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴（负根舍），
∴，
∴．
综上：或，
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；位似变换；旋转的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】本题主要对四边形综合题、平行四边形与矩形的判定与性质，相似三角形的性质、一元二次方程、变换的定义等知识进行考查；（1）根据题意设直线与直线的交点为H，交于O，根据变换可得，，， ，所以，因此直线与直线所夹的锐角为；
（2）由题意可得，所以，证明，所以边形是矩形，可证明四边形是矩形，根据矩形的性质有，由，可得，在中有，进而得到；
（3）根据与在直线上的情况进行分类讨论，当在直线上且四边形是平行四边形，根据，可得，所以，可证，进而得到，所以，当在直线上时，同理进行求得，；所以有两种结果或，。
（1）解：如图，设直线与直线的交点为H，交于O．
根据题意得：，，，，
∴，
∵，，
∴，
直线与直线所夹的锐角为；
（2）解：∵，则，
同理：，
∴，，，
∵共线，
∴，
而，，
∴，
∴
∵四边形是矩形，
∴．
∴．
在中，，，
∴，
∴；
（3）解：依题意，当在直线上时，如图所示：
则与的一腰作为对边构成平行四边形，
∵，
∴，
同理可得：，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
而，
∴ ，
∴（负根舍），
∴，
∴．
当在直线上时，如图所示：
则与的一腰作为对边构成平行四边形，
即四边形是平行四边形，
∴，
则，
∵，
∴，
则，
∴，
∵
∴
∵
∴，
则，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴（负根舍），
∴，
∴．
综上：或，
1 / 1

展开更多......

收起↑