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河南省郑州市新郑市2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则下列各不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如果把中的x与y都扩大为原来的10倍，那么这个分式的值（ ）
A．不变 B．是原来的50倍 C．是原来的10倍 D．是原来的
4．如图，中，于点D，若，则的长为（ ）

A． B． C． D．
5．如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，的周长为，，，，，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C．的面积是 D．
7．某次列车平均提速，用相同的时间，列车提速前行驶，提速后比提速前多行驶，设提速前列车的平均速度为，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，这个多边形是（ ）．
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
9．关于的不等式组的整数解仅有4个，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知：平行四边形的顶点，点在轴的正半轴上，按以下步骤作图：
①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，交于点．
②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点
③画射线，交于点，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．写出一个满足下列条件的分式：分式有意义时，；分式的值不可能为0．你写的分式是 ．
12．如图，直线与直线相交于点，则不等式的解集是 ．
13．关于的分式方程有增根，则 ．
14．如图，中，，分别是，的中点，平分，交于点，若，，，则的长是 ．
15．已知等边的边长为，点是边上的动点，将绕点逆时针旋转得到，点是边的中点，连接，则的最小值是 ．

三、解答题
16．因式分解：
(1)
(2)
17．下面是某同学解不等式组的部分解答过程，请阅读并完成相应的任务．
解：……
由不等式②得，． 第一步
移项，得． 第二步
合并同类项得， 第三步
所以： 第四步
(1)任务一：小明的解答过程中，第一步的依据是 ，第 步开始出现错误，错误的原因是 ．
(2)任务二：请你求出这个不等式组正确的解集．
18．先化简：，再从中选取一个合适的整数作为的值代入求值．
19．如图，的顶点的坐标为．
(1)将向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到，请在图中画出；
(2)将绕点顺时针旋转得到，请在图中画出，并连接，直接写出的长为 ．
20．我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或两个式子的大小，解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．“作差法”就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，如要比较式子，的大小，只要求出的值即可．若，则；若，则；若，则．
(1)若，试判断： （填“”“”或“”）．
(2)已知，，当时，比较与的大小，并说明理由．
21．操作与发现
如图，在中，，点D，E分别是上的点，且．

(1)尺规作图：请根据下列要求完成作图，并标出相应的字母．（保留作图痕迹）
①作线段的垂直平分线交于点F；
②在边上取一点G，使得；
③连接．
(2)观察与思考：线段间满足怎样的等量关系，请直接写出你发现的结论．
22．人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近年来得到了迅猛发展，取得了丰硕成果．2024年12月26日，中国人工智能公司发布模型，引发了科技行业高度关注．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同．
(1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？
(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
23．综合与实践：在综合与实践课上，老师让同学们以“长方形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)观察发现：如图1，四边形是长方形，，点是边上一点，连接，沿折叠，使点的对应点落在上，则 ．
(2)探究迁移：如图2，在图1的条件下，延长与的延长线相交于点，连接．试说明四边形是平行四边形，并求的度数．
(3)拓展应用：如图3，四边形是边长为2的正方形，，，，分别为，，，的中点，连接，．点是边上一点，连接，将沿折叠，使点的对应点落在或上时，直接写出 ．
河南省郑州市新郑市2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A B B D A D A A
1．B
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B
2．D
【详解】解： ， ，故A不符合题意；
， ，故B不符合题意；
， ，故C不符合题意；
， ，，故D符合题意；
故选D
3．A
【详解】解：∵x与y都扩大为原来的10倍，
∴扩大为原来的10倍，扩大为原来的10倍，
∴的值不变，
故选A．
4．B
【详解】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠BCD+∠ACD=90°，∠A+∠ACD=90°，
∴∠BCD=∠A=60°，
∴∠ACD=∠B=30°，
∵AD=1，
∴AC=2AD=2，
∴AB=2AC=3，
∴BC==，
故选：B．
5．B
【详解】解：由旋转性质得，，
，，，
，
故选：B．
6．D
【详解】解：∵的周长为，
，
设为x，
，
，
解得：，
即，，故选项A、B正确，不符合题意；
∴平行四边形的面积是，故选项C正确，不符合题意；
在中，，
，
在中，，
，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
7．A
【详解】根据提速前列车的平均速度为，得提速后的速度为，列车用相同时间比提速前多行驶，列方程得．
故选：A．
8．D
【详解】解：设这个多边形的边数是n，根据题意得：
解得：
即这个多边形是六边形．
故选：D
9．A
【详解】解：解不等式组得：，
该不等式组解集的整数解仅有4个，
解得：，
故选：A．
10．A
【详解】解：交轴于点，如图，
由作法得平分，
，
四边形为平行四边形，
∴，
，
，
设，则，
，
，，
，
，
在中，，
解得，
点坐标为．
故选：A．
11．（答案不唯一）
【详解】解：分式值不等于，则分式的分子不等于．
取值范围要，则分式分母满足时，分母．
可得，
故答案为：．
12．
【详解】解：当时，直线在直线下方，
∴不等式的解集是，
故答案为：．
13．5
【详解】解：分式方程有增根
得：x=2
通分得：
去分母得：
化简得：
将x=2代入得m=5
故答案为5．
14．
【详解】解：∵D、E分别是、的中点，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
【详解】点是边的中点，
，
当时，的长最小（如图），

由旋转可得，
此时，，
，
，
的最小值是，
故答案为．
16．(1)
(2)
【详解】（1）解：；
（2）解：．
17．(1)不等式的基本性质2，四，化系数为1时没有变号
(2)见解析
【详解】（1）解：小明的解答过程中，第一步的依据是不等式的基本性质2，第四步开始出现错误，错误的原因是化系数为1时没有变号，
故答案为：不等式的基本性质2，四，化系数为1时没有变号；
（2）解：
由①得：；
由②得：，
∴原不等式组的解集为：．
18．，当时，值为
【详解】解：
；
符合范围的整数有，，0，
但是在原代数式中，且，
所以，
把代入．
19．(1)见解析
(2)作图见解析，的长为
【详解】（1）解：如图， 即为所求；
（2）如图，即为所求；
线段的长．
故答案为：．
20．(1)
(2)，理由见解析
【详解】（1）解：
，
，
，
则，
∴，
，
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
，
，
∴，
．
21．(1)见解析
(2)
【详解】（1）如图所示，即为所求作的图形．

①分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，连接MN，交DE于F，线段的垂直平分线MN即为所作，如图所示．
②以B为圆心，EF长为半径画弧，交BC于点G，则BG=EF．
③连接EG．
（2）．
分别连接AF、BF，如图所示，
∵DE∥BC，BG=EF，
∴四边形EFBG是平行四边形，
∴BF=EG，
∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AF=BF，
∴AF=EG．
∵DE∥BC，∠C=90°，
∴∠AEF=90°，
在中，由勾股定理得： ，
即．

22．(1)A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元
(2)购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元
【详解】（1）解：设B型机器人模型单价为x元，则A型机器人模型单价为元．
根据题意，得，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
(元)．
答：A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元．
（2）设购买A型机器人m台，则购买B型机器人台．
根据题意，得，
解得．
设共花费w元，则，
∵，
∴w随m的减小而减小，
∵，
∴当时，w值最小．
，
(台)．
答：购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元．
23．(1)
(2)
(3)或
【详解】（1）解：∵四边形是长方形，
∴，，
∵点是边上一点，连接，沿折叠，使点的对应点落在上，，
∴，，
如图：取的中点O，连接，则，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴．
∴．
故答案为：．
（2）解：如图：∵四边形是矩形，
∴，，即，
∴，
由折叠的性质得，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
（3）解：∵正方形的边长为2，E、F、G、H分别为、、、的中点，
∴，四边形是矩形，
∴，
①如图：当点落在上时，
由折叠的性质可得：，，，
∴，
∴，
如图：取的中点O，连接，则，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴；
②当点落在上时，
由折叠的性质可得：，
利用（1）的方法进而得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，解得：．
综上，的值为或．
故答案为：或．

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