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2024-2025 学年内蒙古呼和浩特二中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.若 = 4，则角 是( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
2.在△ 中，已知 = 75°， = 45°， = 4，则 =( )
A. 6 B. 2 C. 4 3 D. 2 6
3.已知单位向量 ， 满足| | = 1，则 与 的夹角为( )
A. B. 6 3 C.
D. 2 2 3
4.下列函数中周期不是 的是( )
A. = | | B. = | 2 | C. = D. = sin2 cos2
5.函数 ( ) = sin( + )，( > 0,0 < < 2 )在一个周期内的图象如图所示，
1、 分别是图象的最高点和最低点，其中 点横坐标为 ， 为坐标原点，且 2
= 0，则 ， 的值分别是( )
A. 2 3，6 B.

，3 C. 2，4 D. 1, 3
6 .已知 ∈ ( 2 , 0)，且 2 2 = sin( + 4 )，则 2 =( )
A. 34 B.
3
4 C. 1 D. 1
7 ( ) = .函数 ln( 2+2)的图象大致是( )
A. B.
C. D.
8.已知向量 ， 满足 = ( 3, 1)， , = 3，| | = 1，则向量 在
方向上的投影向量坐标为( )
A. ( 3 , 14 4 ) B. (
3 1
2 , 2 ) C. (
3
2 ,
3
2 ) D. ( 3, 1)
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9.在△ 中，已知 2 = (2 ) + (2 ) ， = 2，则△ 周长最大值为( )
A. 4 B. 6 C. 4 33 D.
4 3
3 + 2
10 .已知函数 ( ) = sin(2 + )，其中 为实数，若 ( ) ≤ | ( 6 )|对 ∈ 恒成立，且 ( 2 ) > ( )，则 ( )
的单调递增区间是( )
A. [ 3 , +

6 ]( ∈ ) B. [ , +

2 ]( ∈ )
C. [ + , + 2 ]( ∈ ) D. [ 6 3 2 , ]( ∈ )
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
11.已知向量 = (1, 1)， = (2, )，设 与 的夹角为 ，则( )
A.若 // ，则 = 2 B.若 = 1，则| | = 3
C.若 = 1，则 与 的夹角为 60° D.若 + 2 与 垂直，则 = 3
12.函数 ( ) = cos( + )(0 < < 2 )的部分图象如图所示，下列结论正确的是( )
A. = 6
B. 0 =
5
3
C. ( ) 17的图象的一个对称中心为( 6 , 0)
D. = ( ) 5的图象向左平移6个单位后得到一个关于 轴对称的图象
13.已知 ， ， 为△ 的内角 ， ， 的对边，则下列命题中正确的是( )
A.在△ 中， > 是 < 的充要条件
B.若 = ，则△ 必是等腰三角形
C.在锐角△ 中，不等式 > 恒成立
D.若 2 + 2 = + 3 ，则△ 必是等边三角形
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
14 cos( + ) = 1 sin( .已知 6 3，则 3 ) =______．
15.满足等式(1 + )(1 + ) = 2 的数组( , )有无穷多个，试写出一个这样的数组______．
16.若向量 ， 满足| | = 3，则 的最小值为 ．
17.已知函数 ( ) = 3sin( )( > 0) | ( )| = 33 ，若方程 2 在(0, )上恰好存在 6 个实数根，则 的取值
范围为______．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 62 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题 10 分)
5
已知 = 5 ，且 、 ∈ (0,

2 )．
(1)若 sin( ) = 1010 ，求 cos(2 )的值；
(2)若 = 1010 ，求 的值．
19.(本小题 12 分)
如图，以 为坐标原点，建立直角坐标系 ，扇形 的圆心角为 90°， = 2，点 为线段 的中点，
点 为弧 上任意一点．
(1)若∠ = 30°，试用向量 、 表示向量 ；
(2)设∠ = (0° ≤ ≤ 90°)，若函数 ( ) = 4 + ，求函数 ( )的最大值，及取到最大值时
点的坐标．
20.(本小题 13 分)
已知△ 的内角 、 、 所对边的长分别为 、 、 .满足 = 3 ．
(1)求角 ；
(2)若 = 21，且 + sin( ) = 5 2 ，求 、 边．
21.(本小题 15 分)
已知向量 = (2 , + 1)， = (2 , + 1)．
(1)若 / / ，求 的值；
(2)若函数 ( ) = ( ∈ [0, ])；
( )求 ( )的值域；
( )当 ( )取最小值时，求与 垂直的单位向量 的坐标．
22.(本小题 12 分)
如图，在△ 中，∠ = 90°， 是斜边 上的一点， = 3 ， = 6．
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(1)若∠ = 60°，求∠ 和△ 的面积；
(2)若 = 2 ，求 的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14. 13
15.(0, 4 )
16. 34
17.( 52 ,
19
6 ]
18.(1) 5根据 为锐角， = 5 ，可得 = 1 cos
2 = 2 55 ，
∈ ( , ) sin( ) = 10 cos( ) = 1 sin2( ) = 3 10由 2 2 ， 10 ，可得 10 ，
5
所以 cos(2 ) = cos[ + ( )] = 5 ×
3 10 2 5 10 2
10 5 × 10 = 10；
(2)由(1)知 = 2 55 ，
10
根据 = 10 ， ∈ (0,
)，可得 = 1 sin2 = 3 102 10 ，
所以 sin( ) = = 2 5 3 10 5 10 25 10 5 10 = 2 ，
结合 ∈ ( 2 , 2 )，可得 = 4．
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19.(1)已知以 为坐标原点，扇形 的圆心角为 90°， = 2，点 为线段 的中点，点 为弧 上任意
一点．
当∠ = 30°时，点 坐标为(2 30°, 2 30°)，
即 ( 3, 1)，
由题意得， (0,0)， (0,2)， (2,0)，
所以 = (0,2), = (2,0), = ( 3, 1)，
所以 = ( 3, 0) + (0,1) = 32 (2,0) +
1
2 (0,2) =
1 3
2 + 2 ．
(2)由题意得， (0,1)， (2 , 2 )，
则 = (2, 1), = (2 , 2 )，
所以 ( ) = 4 + = 4 + 4 2 = 2 + 4 = 2 5sin( + )，
2 5 5其中 为锐角，且 = 5 , = 5 ，
由 0° ≤ ≤ 90°，得 ≤ + ≤ 90° + ，
当 + = 90°，即 = 90° 时， ( ) = 2 5，
5
此时 = = 5 , = =
2 5
5 ，
( 4 5 2 5即点 5 , 5 )，
4 5 2 5
综上，函数 ( )的最大值为 2 5，取到最大值时 点的坐标为( 5 , 5 )．
20.(1)因为 = 3 ，
所以 = 3 ，
又因为 > 0，
可得 = 3 ，可得 = 3，
而 为三角形内角，
所以 = 3；
(2)由于 + sin( ) = 5 2 ，
所以 sin( + ) + sin( ) = 5 2 ，
所以 2 = 5 2 = 10 ，
所以 = 0 或 = 5 ，
若 = 0，而 3 为三角形内角，可得 = 2，可得 = 2 ，
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= 2 2可得 3 = 3 × 21 = 2 7
1
，此时可得 = 6， = = 2 7 × 2 = 7；
若 = 5 ，则 = 5 ，由 2 = 2 + 2 2 ，可得 21 = 26 2 5 2 = 21 2，
可得 = 1， = 5，
综上， = 2 7， = 7或 = 1， = 5．
21.(1)因为 = (2 , + 1)， = (2 , + 1)，且 / / ，
所以 2 ( + 1) = 2 ( + 1)，即 2 2 + 2 = 2 2 + 2
整理得 1 + = 0，即 = 1，
两边平方得：sin2 + cos2 2 = 1，解得 = 0；
(2)因为 = (2 , + 1)， = (2 , + 1)，
所以 ( ) = = 4 + ( + 1)( + 1)
= 3 + ( ) + 1 = 3 ( )2 + ( ) + 52 2，
设 = = 2sin( 4 )，
因为 ∈ [0, ] 3 ，所以 4 ∈ [ 4 , 4 ]，
2
所以 sin( 4 ) ∈ [ 2 , 1]，即 ∈ [ 1, 2]，
(ⅰ) 3 5设 ( ) = 22 + + 2 , ∈ [ 1, 2]，
3
因为 ( ) = 22 + +
5 1
2的图象开口向上，对称轴为 = 3，
1 8
所以 ( ) = ( 3 ) = 3， ( ) = ( 1) = 0，
所以 ( ) 8的值域为[0, 3 ]；
(ⅱ)当 ( )取最小值时，即 = 1， ( ) = 0，此时 = 0， = (2,1)，
设 = ( , )，因为单位向量 与 垂直，
5 5
2 + = 0 = 5 = 所以 5 2 + 2 = 1，解得 或 ， = 2 5 2 55 = 5
= ( 5 , 2 5所以 5 5 )或(
5 2 5
5 , 5 )．
22.解：(1)因为∠ = 60°，
所以∠ = 30°，
因为 = 3 ，
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所以 = 2 30 ，
所以∠ = ∠ = 30°，
所以∠ = 90° ∠ = 60°，
所以∠ = 180° 2 × 30° = 120°， = 6，
1 3 3
所以 △ = 2 120° = 2 ；
(2)设 = ，
所以 = 3 ，
所以 = 3 2 + 6 ，
6 3
因为 2sin∠ = cos∠ ，可得 2 = 4 2 ∠ 3 ，
所以 = tan∠ ，
所以∠ = 90°，
所以 = 1，可得 = 2，

所以 = 2．
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