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湖南省郴州市2025届高三下学期综合性模拟考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025·郴州模拟）马拉松爱好者小丽月份每个月的跑步里程（单位：公里）如下表所示，则小丽7月份每个月的跑步里程的分位数为（　　）
月份 7月 8月 9月 10月 11月 12月
跑步里程 310 254 220 210 248 300
A．210公里 B．251公里 C．254公里 D．248公里
2．（2025·郴州模拟）已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·郴州模拟）曲线在点处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·郴州模拟）定义：，其中为向量的夹角.若，则（　　）
A．8 B．16 C． D．
5．（2025·郴州模拟）给定一个数列，记，则把数列称为的一阶差数列.若数列的一阶差数列的通项公式为，则（　　）
A．556 B．557 C．292 D．291
6．（2025·郴州模拟）已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，以点为圆心的圆与直线相切于点．若，则圆的标准方程为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025·郴州模拟）已知，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·郴州模拟）已知函数与其导函数的部分图象如图所示.设函数，则（　　）
A． B．
C．在上单调递减 D．在处取得极大值
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025·郴州模拟）已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A．是奇函数
B．是增函数
C．不等式的解集为
D．若函数恰有两个零点，则的取值范围为
10．（2025·郴州模拟）已知某平面图形由如图所示的四个全等的等腰拼成，其中线段的中点均为点，且.若将该平面图形绕着直线旋转半周围成的几何体记为，将该平面图形绕着直线旋转半周围成的几何体记为，直线直线，则（　　）
A．的体积为
B．的表面积为
C．经过两次旋转后，点所有的运动轨迹总长为
D．经过两次旋转后，点所有的运动轨迹为两个半圆
11．（2025·郴州模拟）设正实数满足，则（　　）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025·郴州模拟）已知复数是关于的方程的一个根，则　 　.
13．（2025·郴州模拟）如图，这是一个平面图形，现提供四种颜色给图中的区域1 区域2 区域3 区域4 区域5 区域6共六个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则共有　 　种不同的涂色方案．
14．（2025·郴州模拟）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线C右支上一点，且直线的斜率为是面积为的直角三角形，则双曲线C的实半轴长为　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2025·郴州模拟）在中，内角所对的边分别为，且.
（1）求的值；
（2）若，求的长.
16．（2025·郴州模拟）某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格.这100名学生中有45名学生每周的锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时.
（1）根据所给数据，完成以下表格，依据小概率值的独立性检验，是否可以推断学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关？
单位：人
每周的锻炼时间 短跑成绩 合计
短跑成绩合格 短跑成绩不合格
每周的锻炼时间超过5小时 　 　 　
每周的锻炼时间不超过5小时 　 　 　
合计 　 　 　
（2）正确的跑步姿势和起跑技巧等都可以让跑步者更好地发挥自己的能力.现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周的锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为.用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训，求学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率.
参考公式与数据：，其中.
0.01 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
17．（2025·郴州模拟）已知椭圆过点为椭圆的左顶点，为坐标原点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设为椭圆上的点，线段交轴于点，线段交轴于点，且，求.
18．（2025·郴州模拟）已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，求在上的最小值；
（3）当时，讨论的零点个数.
19．（2025·郴州模拟）空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中均为常数，），为该平面的一个法向量.已知球的半径为4，点均在球的球面上，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示.平面内的点在球面上，点在轴上的投影在轴的正半轴上，，过直线作球的截面，使得平面平面，设截面与球球面的交线为圆（为线段的中点）.
（1）求点的坐标.
（2）若平面，证明：平面平面.
（3）已知点在平面内，设线段在平面内绕着点逆时针旋转弧度至，点在圆上，且，过作平面，垂足为点.
①用表示点的坐标；
②若，求点到平面距离的最大值；
③若，当直线与平面所成的角最小时，求的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：将每个月的跑步里程从小到大排列为：，
6，则小丽月份每个月的跑步里程的分位数为254公里.
故答案为：C.
【分析】先将每个月的跑步里程从小到大排列，再根据百分位数的公式计算即可.
2．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：易知集合，则.
故答案为：B.
【分析】由题意可得集合A，B，再根据集合的交集定义求解即可.
3．【答案】B
【知识点】导数的几何意义；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：函数定义域为，，则切线的斜率，
切线的方程为，即.
故答案为：B.
【分析】求函数的定义域，再求导，利用导数的几何意义求解即可.
4．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由，可得，
则.
故答案为：B.
【分析】由，可得，结合定义以及同角三角函数式求解即可.
5．【答案】C
【知识点】数列的求和；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：由题意可得：，
则，
即，又因为，所以.
故答案为：C.
【分析】由一阶差数列的定义求得数列的递推关系式，再利用累加法结合分组求和求即可.
6．【答案】A
【知识点】圆的标准方程；抛物线的定义
【解析】【解答】解：过点作垂直于直线，垂足为，如图所示：
由抛物线的定义可得：，
因为，所以，解得①，
又因为是抛物线上一点，所以②，
由①②解得：，即，
则圆的标准方程为.
故答案为：A.
【分析】过点作垂直于直线，垂足为，由抛物线的定义，以及点在抛物线上和，列方程组求得和，从而确定抛物线的方程即可.
7．【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为，所以
，即，
则.
故答案为：C.
【分析】先由，求得，再由，结合正弦的两角和、差公式求得，再根据余弦的两角和、差公式求值即可.
8．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：A、由图可知、的图象，如图所示：
由图可知：当时，，函数在上单调递减，
则，故A错误；
B、函数，，
当时，，即，
则函数在上单调递减，且，则，
即，故B正确；
C、当时，，则，即，则函数在上单调递增，故C错误；
D、当时，，，
因为在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，故D错误.
故答案为：B.
【分析】先确定、的分布图，再分析函数的单调性即可判断A；函数，求导可得，比较、的大小，得函数的单调性即可判断BCD.
9．【答案】C,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数的图象，如图所示：
A、由图象可知：函数的图象不关于原点对称，即不是奇函数，故A错误；
B、由图可知：函数在定义域内不单调，故B错误；
C、若，则或，即不等式的解集为，故C正确；
D、令，则，原题意等价于与有2个交点，则，
则的取值范围为，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】作出函数图象，数形结合逐项分析判断即可.
10．【答案】A,D
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】解：过点作直线，垂足为，过点作直线，垂足为，如图所示：
由题意可得，，
则该平面图形绕着直线旋转半周，点的运动轨迹是半径为3的半圆，其长度为，
该平面图形绕着直线旋转半周，点的运动轨迹是半径为的半圆，
其长度为，所以经过两次旋转后，点的运动轨迹总长为，
故C错误，D正确.
为两个圆台挖去两个圆锥，的体积为，故A正确；
为两个大圆锥挖去两个小圆锥，表面积为，故B错误.
故答案为：AD.
【分析】过点作直线，垂足为，过点作直线，垂足为，先根据已知条件确定该平面图形分别绕着直线和直线旋转一周围成的几何体，逐项判断即可.
11．【答案】A,C,D
【知识点】不等关系与不等式；基本不等式
【解析】【解答】解：A：因为正实数满足，
设，则，
因为，
即，整理可得得，
将其看为关于的一元二次方程，则，解得，
即，故A正确；
B、因为，则，
当且仅当时，等号成立，
则，得，当且仅当时，等号成立，故B错误；
C、因为
，
因为，则，，
可得，当且仅当时等号成立，
即，可得，
即，当且仅当时，等号成立
所以，故C正确；
D、因为，且，，
则，当且仅当时，等号成立，
所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】设，整理可得得，结合运算求解即可判断A；利用基本不等式分析即可判断BD；先证，即可判断C.
12．【答案】
【知识点】复数的模；方程的解与虚数根
【解析】【解答】解：设复数，
因为复数是关于的方程的一个根，所以也是方程的一个根，
则，解得，即，则.
故答案为：.
【分析】设复数，由实系数一元二次方程虚根成对原理可得也是方程的根，再由韦达定理，列方程的解得复数，最后求解模长即可.
13．【答案】96
【知识点】基本计数原理的应用；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：若仅用三种颜色涂色，则区域1，6同色，区域2，4同色，区域3，5同色，
共有种涂法；
若用四种颜色涂色，则区域1，6，区域2，4，区域3，5中有一组不同色，则有3种情况，
先从四种颜色中取两种涂同色区，有种涂法，剩余两种涂在不同区域，有2种涂法，共有种涂法，
则总的涂色方案有种.
故答案为：96．
【分析】利用分类加法计算原理，结合排列数公式求解即可．
14．【答案】
【知识点】双曲线的定义
【解析】【解答】解：设，
由题意可得：，，
因为，所以，求得，
即，
由正弦定理可得，
设，得，
因为的面积为，所以，
解得，则，，
由双曲线的定义可得，解得．
故答案为：.
【分析】由题意可知：点所在象限和，设，利用直线斜率求出三角函数值，利用正弦定理得到线段比例关系，结合三角形面积求出线段长度，最后根据双曲线定义求的值即可．
15．【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
即，
因为，所以，所以，
又因为，所以，所以；
（2）解：若，，由余弦定理可得，解得，
因为，所以，
由余弦定理可得：.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由题意，利用正弦定理，结合三角恒等变换求解即可；
（2）利用余弦定理求得，再由向量定比分点，结合余弦定理计算的长即可.
（1）依题意可得，
得.
因为，所以，
则，
因为，所以，所以
（2）由题意得，
解得（负根已舍去）.
因为，所以，
所以由余弦定理可得.
16．【答案】（1）解：完善列联表：
每周的锻炼时间 短跑成绩 合计
短跑成绩合格 短跑成绩不合格
每周的锻炼时间超过5小时 35 10 45
每周的锻炼时间不超过5小时 25 30 55
合计 60 40 100
零假设：学生短跑成绩合格与每周锻炼时间相互独立，
根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，即认为学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关；
（2）解：由（1）的列联表可知，短跑成绩不合格的学生共有40名，其每周锻炼时间超过5小时的有10人，
不超过5小时的有30人，
从短跑成绩不合格的40名学生中随机抽取一名学生，记为甲，
设事件“甲参加跑步技巧培训后短跑成绩合格”，事件“甲每周的锻炼时间超过5小时”，
事件“甲每周的锻炼时间不超过5小时”，
易知，，
由全概率公式可得：，
则学生甲参加跑步技巧培训后短跑成绩合格的概率为.
【知识点】独立性检验的应用；全概率公式；2×2列联表
【解析】【分析】（1）先完善列联表，再进行零假设，计算卡方值，与临界值比较判断即可；
（2）先记事件，利用全概率公式计算即可.
（1）表格如下：
单位：人
每周的锻炼时间 短跑成绩 合计
短跑成绩合格 短跑成绩不合格
每周的锻炼时间超过5小时 35 10 45
每周的锻炼时间不超过5小时 25 30 55
合计 60 40 100
零假设为：学生短跑成绩合格与每周锻炼时间相互独立.
根据表中的数据，可得
根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，
即认为学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关.
（2）由（1）的列联表可知，短跑成绩不合格的学生共有40名，
其每周锻炼时间超过5小时的有10人，不超过5小时的有30人.
从短跑成绩不合格的40名学生中随机抽取一名学生，记为甲，
设事件“甲参加跑步技巧培训后短跑成绩合格”，
事件“甲每周的锻炼时间超过5小时”，
“甲每周的锻炼时间不超过5小时”，
用连列表中的数据计算频率并替代概率后得
又已知，
由全概率公式可得，
所以学生甲参加跑步技巧培训后短跑成绩合格的概率为.
17．【答案】（1）解：易知，因为点在椭圆上，所以，解得，
则椭圆的标准方程为；
（2）解：过点作轴的垂线，垂足分别为，如图所示：
由相似三角形可得，
整理得，解得，
因为，所以，即，
即，
，
解得或，
当时，；
当时，.
故或.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）易知，将点代入椭圆方程求得，即可得椭圆的标准方程；
（2）过点作轴的垂线，垂足分别为，由相似三角形的比例关系的，直接代入，利用陪凑法解三次方程求得或，即可求得.
（1）由题意得，将点及代入椭圆的方程得，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）从作轴的垂线，垂足分别为，
由相似三角形可得，
整理得，解得.
方法一：
因为，所以，即，
即，所以，
解得或.
当时，；
当时，.
故或.
方法二：
设，
由得，，
化简得，
令，则，
所以，得或（舍去），即.
因为，
所以解得或，所以或
当时，；
当时，.
故或.
18．【答案】（1）解：当时，函数定义域为，
，
令，解得，
当时，，当时，，
则函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）解：当时，函数定义域为，
，
令，，易知，
则在上单调递增，当时，，
故在上单调递减，当时，；
（3）解：令，得，即，
即，
令，则，即①，
当时，由，得在上恒成立，
所以在上单调递减，故方程①的解的个数即为的零点个数，
令，则，
当时，，
当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
，当时，，且当时，，
因为，所以，
当，即时，方程①有两个不同的解，的零点个数为2；
当或，即或时，方程①只有一个解，的零点个数为
，即时，方程①无解，的零点个数为0，
综上，当时，的零点个数为2；
当或时，的零点个数为1；
当时，的零点个数为0.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）将代入，求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性即可；
（2）将代入，求函数的定义域，再求导，令，再对求导，利用导数判断在上单调递增，求最小值即可；
（3）令，得.，再换元令，则，根据零点存在性定理求解即可.
（1）当时，，定义域为，
则，
当时，，当时，，
故的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）当时，，
令，则，
所以在上单调递增，
所以当时，，
所以在上单调递减，所以当时，.
（3）令，得，即，
所以.
令，则，即①，
当时，由，得在上恒成立，
所以在上单调递减，故方程①的解的个数即为的零点个数.
令，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，
，当时，，且当时，.
因为，所以.
当，即时，方程①有两个不同的解，的零点个数为2；
当或，即或时，方程①只有一个解，的零点个数为
，即时，方程①无解，的零点个数为0.
综上，当时，的零点个数为2；
当或时，的零点个数为1；
当时，的零点个数为0.
19．【答案】（1）解：连接，过作，交于点，如图所示：
由题意可得：为等边三角形，，
则，即；
（2）证明：连接，根据球的性质可得平面，
易知为平面的一个法向量，
因为，所以，
平面的一个法向量为，
因为，所以，则平面平面；
（3）解：①、当时，过点作交于，
过点作交于，过点作交，
于，过点作交于，过点作交于，则，
，
则，
同理可得当时，；
②、因为点在平面内，所以，则平面的一个法向量为，
，
点到平面的距离，
当，即时，取得最大值，最大值为；
③易得平面的一个法向量为，
因为，所以，
设直线与平面所成的角为，
则
，
令，则，
则
，
当，即时，最小，即直线与平面所成的角最小.
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；用空间向量研究平面与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）连接，过作，交于点，根据几何特征及边长计算即可；
（2）连接，分别求面的法向量，根据证明即可；
（3）①、根据几何特征及边长计算即可；
②、利用点到平面距离公式结合三角函数值域求最值即可；
③、结合线面角公式及二次函数值域求值即可.
（1）连接，过作，交于点.根据题意易得为等边三角形，所以，
则，所以.
（2）连接，根据球的性质可得平面，
则即为平面的一个法向量.
因为，所以.
平面的一个法向量为，
因为，
所以，故平面平面.
（3）①当时，过点作交于，
过点作交于，过点作交
于，过点作交于，过点作交于，则，
，
则，
同理可得当时，.
②因为点在平面内，所以，则平面的一个法向量为.
，
点到平面的距离，
当，即时，取得最大值，最大值为.
③易得平面的一个法向量为.
因为，所以.
设直线与平面所成的角为，
则
，
令，则，
则
，
当，即时，最小，即直线与平面所成的角最小.
1 / 1湖南省郴州市2025届高三下学期综合性模拟考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025·郴州模拟）马拉松爱好者小丽月份每个月的跑步里程（单位：公里）如下表所示，则小丽7月份每个月的跑步里程的分位数为（　　）
月份 7月 8月 9月 10月 11月 12月
跑步里程 310 254 220 210 248 300
A．210公里 B．251公里 C．254公里 D．248公里
【答案】C
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：将每个月的跑步里程从小到大排列为：，
6，则小丽月份每个月的跑步里程的分位数为254公里.
故答案为：C.
【分析】先将每个月的跑步里程从小到大排列，再根据百分位数的公式计算即可.
2．（2025·郴州模拟）已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：易知集合，则.
故答案为：B.
【分析】由题意可得集合A，B，再根据集合的交集定义求解即可.
3．（2025·郴州模拟）曲线在点处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】导数的几何意义；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：函数定义域为，，则切线的斜率，
切线的方程为，即.
故答案为：B.
【分析】求函数的定义域，再求导，利用导数的几何意义求解即可.
4．（2025·郴州模拟）定义：，其中为向量的夹角.若，则（　　）
A．8 B．16 C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由，可得，
则.
故答案为：B.
【分析】由，可得，结合定义以及同角三角函数式求解即可.
5．（2025·郴州模拟）给定一个数列，记，则把数列称为的一阶差数列.若数列的一阶差数列的通项公式为，则（　　）
A．556 B．557 C．292 D．291
【答案】C
【知识点】数列的求和；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：由题意可得：，
则，
即，又因为，所以.
故答案为：C.
【分析】由一阶差数列的定义求得数列的递推关系式，再利用累加法结合分组求和求即可.
6．（2025·郴州模拟）已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，以点为圆心的圆与直线相切于点．若，则圆的标准方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】圆的标准方程；抛物线的定义
【解析】【解答】解：过点作垂直于直线，垂足为，如图所示：
由抛物线的定义可得：，
因为，所以，解得①，
又因为是抛物线上一点，所以②，
由①②解得：，即，
则圆的标准方程为.
故答案为：A.
【分析】过点作垂直于直线，垂足为，由抛物线的定义，以及点在抛物线上和，列方程组求得和，从而确定抛物线的方程即可.
7．（2025·郴州模拟）已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为，所以
，即，
则.
故答案为：C.
【分析】先由，求得，再由，结合正弦的两角和、差公式求得，再根据余弦的两角和、差公式求值即可.
8．（2025·郴州模拟）已知函数与其导函数的部分图象如图所示.设函数，则（　　）
A． B．
C．在上单调递减 D．在处取得极大值
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：A、由图可知、的图象，如图所示：
由图可知：当时，，函数在上单调递减，
则，故A错误；
B、函数，，
当时，，即，
则函数在上单调递减，且，则，
即，故B正确；
C、当时，，则，即，则函数在上单调递增，故C错误；
D、当时，，，
因为在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，故D错误.
故答案为：B.
【分析】先确定、的分布图，再分析函数的单调性即可判断A；函数，求导可得，比较、的大小，得函数的单调性即可判断BCD.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025·郴州模拟）已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A．是奇函数
B．是增函数
C．不等式的解集为
D．若函数恰有两个零点，则的取值范围为
【答案】C,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数的图象，如图所示：
A、由图象可知：函数的图象不关于原点对称，即不是奇函数，故A错误；
B、由图可知：函数在定义域内不单调，故B错误；
C、若，则或，即不等式的解集为，故C正确；
D、令，则，原题意等价于与有2个交点，则，
则的取值范围为，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】作出函数图象，数形结合逐项分析判断即可.
10．（2025·郴州模拟）已知某平面图形由如图所示的四个全等的等腰拼成，其中线段的中点均为点，且.若将该平面图形绕着直线旋转半周围成的几何体记为，将该平面图形绕着直线旋转半周围成的几何体记为，直线直线，则（　　）
A．的体积为
B．的表面积为
C．经过两次旋转后，点所有的运动轨迹总长为
D．经过两次旋转后，点所有的运动轨迹为两个半圆
【答案】A,D
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】解：过点作直线，垂足为，过点作直线，垂足为，如图所示：
由题意可得，，
则该平面图形绕着直线旋转半周，点的运动轨迹是半径为3的半圆，其长度为，
该平面图形绕着直线旋转半周，点的运动轨迹是半径为的半圆，
其长度为，所以经过两次旋转后，点的运动轨迹总长为，
故C错误，D正确.
为两个圆台挖去两个圆锥，的体积为，故A正确；
为两个大圆锥挖去两个小圆锥，表面积为，故B错误.
故答案为：AD.
【分析】过点作直线，垂足为，过点作直线，垂足为，先根据已知条件确定该平面图形分别绕着直线和直线旋转一周围成的几何体，逐项判断即可.
11．（2025·郴州模拟）设正实数满足，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】不等关系与不等式；基本不等式
【解析】【解答】解：A：因为正实数满足，
设，则，
因为，
即，整理可得得，
将其看为关于的一元二次方程，则，解得，
即，故A正确；
B、因为，则，
当且仅当时，等号成立，
则，得，当且仅当时，等号成立，故B错误；
C、因为
，
因为，则，，
可得，当且仅当时等号成立，
即，可得，
即，当且仅当时，等号成立
所以，故C正确；
D、因为，且，，
则，当且仅当时，等号成立，
所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】设，整理可得得，结合运算求解即可判断A；利用基本不等式分析即可判断BD；先证，即可判断C.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025·郴州模拟）已知复数是关于的方程的一个根，则　 　.
【答案】
【知识点】复数的模；方程的解与虚数根
【解析】【解答】解：设复数，
因为复数是关于的方程的一个根，所以也是方程的一个根，
则，解得，即，则.
故答案为：.
【分析】设复数，由实系数一元二次方程虚根成对原理可得也是方程的根，再由韦达定理，列方程的解得复数，最后求解模长即可.
13．（2025·郴州模拟）如图，这是一个平面图形，现提供四种颜色给图中的区域1 区域2 区域3 区域4 区域5 区域6共六个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则共有　 　种不同的涂色方案．
【答案】96
【知识点】基本计数原理的应用；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：若仅用三种颜色涂色，则区域1，6同色，区域2，4同色，区域3，5同色，
共有种涂法；
若用四种颜色涂色，则区域1，6，区域2，4，区域3，5中有一组不同色，则有3种情况，
先从四种颜色中取两种涂同色区，有种涂法，剩余两种涂在不同区域，有2种涂法，共有种涂法，
则总的涂色方案有种.
故答案为：96．
【分析】利用分类加法计算原理，结合排列数公式求解即可．
14．（2025·郴州模拟）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线C右支上一点，且直线的斜率为是面积为的直角三角形，则双曲线C的实半轴长为　 　．
【答案】
【知识点】双曲线的定义
【解析】【解答】解：设，
由题意可得：，，
因为，所以，求得，
即，
由正弦定理可得，
设，得，
因为的面积为，所以，
解得，则，，
由双曲线的定义可得，解得．
故答案为：.
【分析】由题意可知：点所在象限和，设，利用直线斜率求出三角函数值，利用正弦定理得到线段比例关系，结合三角形面积求出线段长度，最后根据双曲线定义求的值即可．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2025·郴州模拟）在中，内角所对的边分别为，且.
（1）求的值；
（2）若，求的长.
【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
即，
因为，所以，所以，
又因为，所以，所以；
（2）解：若，，由余弦定理可得，解得，
因为，所以，
由余弦定理可得：.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由题意，利用正弦定理，结合三角恒等变换求解即可；
（2）利用余弦定理求得，再由向量定比分点，结合余弦定理计算的长即可.
（1）依题意可得，
得.
因为，所以，
则，
因为，所以，所以
（2）由题意得，
解得（负根已舍去）.
因为，所以，
所以由余弦定理可得.
16．（2025·郴州模拟）某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格.这100名学生中有45名学生每周的锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时.
（1）根据所给数据，完成以下表格，依据小概率值的独立性检验，是否可以推断学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关？
单位：人
每周的锻炼时间 短跑成绩 合计
短跑成绩合格 短跑成绩不合格
每周的锻炼时间超过5小时 　 　 　
每周的锻炼时间不超过5小时 　 　 　
合计 　 　 　
（2）正确的跑步姿势和起跑技巧等都可以让跑步者更好地发挥自己的能力.现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周的锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为.用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训，求学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率.
参考公式与数据：，其中.
0.01 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
【答案】（1）解：完善列联表：
每周的锻炼时间 短跑成绩 合计
短跑成绩合格 短跑成绩不合格
每周的锻炼时间超过5小时 35 10 45
每周的锻炼时间不超过5小时 25 30 55
合计 60 40 100
零假设：学生短跑成绩合格与每周锻炼时间相互独立，
根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，即认为学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关；
（2）解：由（1）的列联表可知，短跑成绩不合格的学生共有40名，其每周锻炼时间超过5小时的有10人，
不超过5小时的有30人，
从短跑成绩不合格的40名学生中随机抽取一名学生，记为甲，
设事件“甲参加跑步技巧培训后短跑成绩合格”，事件“甲每周的锻炼时间超过5小时”，
事件“甲每周的锻炼时间不超过5小时”，
易知，，
由全概率公式可得：，
则学生甲参加跑步技巧培训后短跑成绩合格的概率为.
【知识点】独立性检验的应用；全概率公式；2×2列联表
【解析】【分析】（1）先完善列联表，再进行零假设，计算卡方值，与临界值比较判断即可；
（2）先记事件，利用全概率公式计算即可.
（1）表格如下：
单位：人
每周的锻炼时间 短跑成绩 合计
短跑成绩合格 短跑成绩不合格
每周的锻炼时间超过5小时 35 10 45
每周的锻炼时间不超过5小时 25 30 55
合计 60 40 100
零假设为：学生短跑成绩合格与每周锻炼时间相互独立.
根据表中的数据，可得
根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，
即认为学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关.
（2）由（1）的列联表可知，短跑成绩不合格的学生共有40名，
其每周锻炼时间超过5小时的有10人，不超过5小时的有30人.
从短跑成绩不合格的40名学生中随机抽取一名学生，记为甲，
设事件“甲参加跑步技巧培训后短跑成绩合格”，
事件“甲每周的锻炼时间超过5小时”，
“甲每周的锻炼时间不超过5小时”，
用连列表中的数据计算频率并替代概率后得
又已知，
由全概率公式可得，
所以学生甲参加跑步技巧培训后短跑成绩合格的概率为.
17．（2025·郴州模拟）已知椭圆过点为椭圆的左顶点，为坐标原点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设为椭圆上的点，线段交轴于点，线段交轴于点，且，求.
【答案】（1）解：易知，因为点在椭圆上，所以，解得，
则椭圆的标准方程为；
（2）解：过点作轴的垂线，垂足分别为，如图所示：
由相似三角形可得，
整理得，解得，
因为，所以，即，
即，
，
解得或，
当时，；
当时，.
故或.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）易知，将点代入椭圆方程求得，即可得椭圆的标准方程；
（2）过点作轴的垂线，垂足分别为，由相似三角形的比例关系的，直接代入，利用陪凑法解三次方程求得或，即可求得.
（1）由题意得，将点及代入椭圆的方程得，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）从作轴的垂线，垂足分别为，
由相似三角形可得，
整理得，解得.
方法一：
因为，所以，即，
即，所以，
解得或.
当时，；
当时，.
故或.
方法二：
设，
由得，，
化简得，
令，则，
所以，得或（舍去），即.
因为，
所以解得或，所以或
当时，；
当时，.
故或.
18．（2025·郴州模拟）已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，求在上的最小值；
（3）当时，讨论的零点个数.
【答案】（1）解：当时，函数定义域为，
，
令，解得，
当时，，当时，，
则函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）解：当时，函数定义域为，
，
令，，易知，
则在上单调递增，当时，，
故在上单调递减，当时，；
（3）解：令，得，即，
即，
令，则，即①，
当时，由，得在上恒成立，
所以在上单调递减，故方程①的解的个数即为的零点个数，
令，则，
当时，，
当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
，当时，，且当时，，
因为，所以，
当，即时，方程①有两个不同的解，的零点个数为2；
当或，即或时，方程①只有一个解，的零点个数为
，即时，方程①无解，的零点个数为0，
综上，当时，的零点个数为2；
当或时，的零点个数为1；
当时，的零点个数为0.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）将代入，求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性即可；
（2）将代入，求函数的定义域，再求导，令，再对求导，利用导数判断在上单调递增，求最小值即可；
（3）令，得.，再换元令，则，根据零点存在性定理求解即可.
（1）当时，，定义域为，
则，
当时，，当时，，
故的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）当时，，
令，则，
所以在上单调递增，
所以当时，，
所以在上单调递减，所以当时，.
（3）令，得，即，
所以.
令，则，即①，
当时，由，得在上恒成立，
所以在上单调递减，故方程①的解的个数即为的零点个数.
令，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，
，当时，，且当时，.
因为，所以.
当，即时，方程①有两个不同的解，的零点个数为2；
当或，即或时，方程①只有一个解，的零点个数为
，即时，方程①无解，的零点个数为0.
综上，当时，的零点个数为2；
当或时，的零点个数为1；
当时，的零点个数为0.
19．（2025·郴州模拟）空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中均为常数，），为该平面的一个法向量.已知球的半径为4，点均在球的球面上，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示.平面内的点在球面上，点在轴上的投影在轴的正半轴上，，过直线作球的截面，使得平面平面，设截面与球球面的交线为圆（为线段的中点）.
（1）求点的坐标.
（2）若平面，证明：平面平面.
（3）已知点在平面内，设线段在平面内绕着点逆时针旋转弧度至，点在圆上，且，过作平面，垂足为点.
①用表示点的坐标；
②若，求点到平面距离的最大值；
③若，当直线与平面所成的角最小时，求的值.
【答案】（1）解：连接，过作，交于点，如图所示：
由题意可得：为等边三角形，，
则，即；
（2）证明：连接，根据球的性质可得平面，
易知为平面的一个法向量，
因为，所以，
平面的一个法向量为，
因为，所以，则平面平面；
（3）解：①、当时，过点作交于，
过点作交于，过点作交，
于，过点作交于，过点作交于，则，
，
则，
同理可得当时，；
②、因为点在平面内，所以，则平面的一个法向量为，
，
点到平面的距离，
当，即时，取得最大值，最大值为；
③易得平面的一个法向量为，
因为，所以，
设直线与平面所成的角为，
则
，
令，则，
则
，
当，即时，最小，即直线与平面所成的角最小.
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；用空间向量研究平面与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）连接，过作，交于点，根据几何特征及边长计算即可；
（2）连接，分别求面的法向量，根据证明即可；
（3）①、根据几何特征及边长计算即可；
②、利用点到平面距离公式结合三角函数值域求最值即可；
③、结合线面角公式及二次函数值域求值即可.
（1）连接，过作，交于点.根据题意易得为等边三角形，所以，
则，所以.
（2）连接，根据球的性质可得平面，
则即为平面的一个法向量.
因为，所以.
平面的一个法向量为，
因为，
所以，故平面平面.
（3）①当时，过点作交于，
过点作交于，过点作交
于，过点作交于，过点作交于，则，
，
则，
同理可得当时，.
②因为点在平面内，所以，则平面的一个法向量为.
，
点到平面的距离，
当，即时，取得最大值，最大值为.
③易得平面的一个法向量为.
因为，所以.
设直线与平面所成的角为，
则
，
令，则，
则
，
当，即时，最小，即直线与平面所成的角最小.
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