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浙江省宁波中学2024-2025学年高二下学期6月检测数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025高二下·宁波月考）下列散点图中，线性相关系数最小的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025高二下·宁波月考）下列说法中，正确的命题是（　　）
A．已知随机变量X服从正态分布，则
B．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱
C．若样本数据的方差为8，则数据的方差为2
D．已知两个变量具有线性相关关系，其回归方程为，若，则
3．（2025高二下·宁波月考）将一枚均匀的骰子掷两次，记事件为“第一次出现偶数点”，事件为“两次出现的点数和为”，则下列结论中正确的是（　　）
A． B．
C． D．与相互独立
4．（2025高二下·宁波月考）随机变量的分布列如表所示，则的最大值是（　　）
0
A． B． C． D．
5．（2025高二下·宁波月考）已知，，且，则下列选项中不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025高二下·宁波月考）已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高二下·宁波月考）随机变量的分布列为，若，则（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．（2025高二下·宁波月考）甲、乙两人进行局羽毛球比赛（无平局），每局甲获胜的概率均为，规定：比赛结束时获胜局数多的人赢得比赛，记甲赢得比赛的概率为，假设每局比赛互不影响，则（　　）
A． B．
C． D．单调递减
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2025高二下·宁波月考）下列说法中正确的是（　　）
A．样本数据3，4，5，6，7，8，9的第80百分位数是
B．随机变量，若，则
C．已知随机事件A，B，且，，若，则事件A，B相互独立
D．已知变量x，y具有线性相关关系，其经验回归方程为，若样本中心点为，则实数m的值为
10．（2025高二下·宁波月考）一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球4个，白球1个，黑球3个，则下列选项正确的有（　　）
A．从该口袋中任取3个球，设取出的红球个数为，则数学期望
B．每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的黑球次数为，则
C．从该口袋中任取3个球，设取出的球的颜色有种，则数学期望
D．每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的黑球的个数为，则数学期望
11．（2025高二下·宁波月考）已知表示中最小的数，表示中最大的数.若为的任意排列，设，，则（　　）
A．排列总数为720个 B．满足的排列有80个
C．的概率为 D．的概率为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
12．（2025高二下·宁波月考）100件产品中有5件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件.已知第1次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率是　 　.
13．（2025高二下·宁波月考）已知个点大致呈线性分布，其中，且数据的回归直线方程为，则的最小值为　 　．
14．（2025高二下·宁波月考）如图，某停车区域共有6个停车位，现有3辆白色汽车和2辆黑色汽车将停在车位上.记黑色汽车之间的白色汽车数为X，则X的数学期望为　 　.
15．（2025高二下·宁波月考）甲乙两个袋子，甲袋有1白2黑3个球，乙袋有2个白球.现从两袋各取1球，交换放入甲乙两袋.如此交换两次后，甲袋中的白球个数记作X，则=　 　.
四、解答题：本题共4小题，共72分．解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤．
16．（2025高二下·宁波月考）传统燃油汽车与新能源汽车相比，有着明显的缺点：如传统燃油汽车在行驶过程中会产生尾气排放和噪音污染，环保性能较差、能源效力较低等我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业迅速发展某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表．
年份t 2019 2020 2021 2022 2023
年份代码 1 2 3 4 5
销量y（万辆） 11 13 18 21 27
（1）统计表明销量y与年份代码x有较强的线性相关关系，求y关于x的线性同归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆；
（2）该企业随机调查了该地区2023年的购车情况．据调查，该地区2023年购置新能源汽车与传统燃油汽车的人数的比例大约为．从被调查的2023年所有车主中按分层抽样抽取12人，再从12人中随机抽取3人，记这3人中购置新能源汽车的人数为X，求X的分布列和期望．
参考公式：
对于一组数据，其回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．
17．（2025高二下·宁波月考）随着网络App的普及与发展，刷“抖音”成为了人们日常生活的一部分.某地区随机抽取了部分20～40岁的“抖音”用户，调查他们日均刷“抖音”的时间情况，所得数据统计如下表：
性别 日均刷“抖音”时间超过2小时 日均刷“抖音”时间不超过2小时
男性 48 72
女性 24 56
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为日均刷“抖音”时间的长短与性别有关？
（2）现从被调查的日均刷“抖音”时间超过2小时的用户中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取3名用户参加抖音知识问答，已知男性用户、女性用户顺利完成知识问答的概率分别为，，每个人是否顺利完成知识问答相互独立，求在有且仅有2人顺利完成知识问答的条件下，这2人性别不同的概率.
参考公式：，其中.
参考数据：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18．（2025高二下·宁波月考）某学校有甲、乙两家餐厅，对于学生的午餐就餐情况根据以往的统计调研分析可以得出如下结论：前一天选择甲餐厅就餐的同学第二天选择甲餐厅就餐的概率是，选择乙餐厅就餐的概率为﹔前一天选择乙餐厅就餐的同学第二天选择甲餐厅就餐的概率是，选择乙餐厅就餐的概率为，如此往复．假设所有同学开学第一天中午等可能随机选择一家餐厅就餐．
（1）第一天中午某班3位同学去餐厅就餐，求这3位同学中至少有1位同学去甲餐厅就餐的概率；
（2）求w同学与s同学第二天中午在同一餐厅就餐的概率；
（3）假设该学校有2000名学生，试估计一星期后中午在甲餐厅就餐的学生人数．
19．（2025高二下·宁波月考）某玩具公司推出一款智能机器狗玩具，开启电源后机器狗从起点处每次向前或向后跳动1个单位，当机器狗位置距离起点处不足（，且，可以进行手动设置）个单位时，每次向前跳动的概率为，向后跳动的概率为，当机器狗跳动后的位置距离起点处为个单位时，则连续向起点处跳动次，回到起点，然后从起点处重新开始跳动．
（1）若设置，求机器狗跳动6次后恰好回到起点的概率；
（2）若设置，记机器狗跳动5次后距离起点处个单位，求的分布列与数学期望；
（3）若机器狗跳动了次，求每次跳动后距离起点处都不足个单位的概率．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】散点图；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：A、这些点紧密地聚集在一条直线附近，具有较很强的线性相关性，且呈现负相关，其线性相关系数接近于；
B、散点比较分散，线性负相关程度不及A，即线性相关系数要比选项A的大.
C、散点呈现出一定的上升趋势，变量和之间具有强的线性相关关系，其线性相关系数为正数.
D、散点比较分散，线性负相关程度比选项A要弱，线性相关系数的比选项A的大.
综合比较四个选项，选项A，线性负相关程度最强，所以线性相关系数最小.
故选：A.
【分析】利用散点图变化趋势，判断相关系数的正负，由散点的集中程度确定线性相关系数的大小，即可得到答案．
2．【答案】C
【知识点】极差、方差与标准差；回归分析；样本相关系数r及其数字特征；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：A、 随机变量X服从正态分布 ，
则，故A错误；
B、线性相关系数r的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强，故B错误；
C、由，可得，则数据的方差为2，故C正确；
D、回归方程，根据回归方程必过样本点中心，即，解得，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据正态分布的对称性求概率即可判断A；由相关系数的意义即可判断B；由方差的性质列式求解即可判断C；根据回归方程必过样本点中心求参数即可判断D.
3．【答案】D
【知识点】概率的基本性质；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式；条件概率
【解析】【解答】解：A、易知将一枚均匀的骰子掷两次有种不同的结果，
事件包括，2个基本事件，则，故A错误；
B、易知事件不互斥，，，
则，故B错误；
C、事件包括，4个基本事件，，
则，故C错误；
D、事件为“第一次出现偶数点”，，，
，与相互独立，故D正确.
故答案为：D.
【分析】易知将一枚均匀的骰子掷两次有种不同的结果，事件包含两个基本事件，再根据古典概型概率公式计算即可判断A；由及即可判断B；利用条件概率公式计算即可判断C；根据独立事件的乘法公式计算即可判断D.
4．【答案】B
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由概率得性质可知：，，
即，，
则，
当时，取得最大值．
故答案为：B．
分析】根据分布列概率的性质列式求得，，再表示期望，结合二次函数的性质求解即可.
5．【答案】D
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：由，且，
可得，即，
A、因为在上递增，且，所以，故A正确；
B、，故B正确；
C、，故C正确；
D、，，故D错误.
故答案为：D.
【分析】由题意，根据二项分布求得，再根据函数的单调性、期望、方差以及期望、方差的性质逐项判断即可.
6．【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件；全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：因为，，所以，，
则，即.
故答案为：B．
【分析】由题意，利用对立事件以及全概率和条件概率公式求解即可.
7．【答案】D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；概率分布列
【解析】【解答】解：易知，即，
则，
因为，所以，
，
因为①，且，所以②，
①②相减可得：，
，即，
又因为，两式相减得：
，即，
所以，则，
把变形为，
将和代入得：，则，
所以.
根据方差公式.
故答案为：D.
【分析】易知，即，表示，再由求解即可.
8．【答案】C
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；二项分布；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：设甲获胜的局数为，且服从二项分布，，
C、甲赢得比赛的概率为：
，
因为，，
所以，
故，故C正确；
A、，故A错误；
B、，故B错误；
D、，，
因为，
所以，所以，即单调递增，故D错误.
故答案为：C.
【分析】设甲获胜的局数为，且服从二项分布，根据独立事件概率计算方法和二项式定理的性质可求，即可判断ABC；判断和的大小确定的单调性，即可判断D.
9．【答案】B,C,D
【知识点】回归分析；二项分布；条件概率；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、，则数据3，4，5，6，7，8，9的第分位数为第六个数8，
故A错误；
B、随机变量，若，即，解得，
则，故B正确；
C 、，，，即，
故，所以事件A，B相互独立，故C正确；
D、由回归方程必过样本中心点，将代入，即，解得，故D正确．
故答案为：BCD.
【分析】根据百分位数定义计算即可判断A；根据二项分布的期望与方差计算即可判断B；根据条件概率公式计算即可判断C；根据回归方程必过样本点中线计算即可判断D．
10．【答案】A,C,D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：A、由题意可知：的可能值：0，1，2，3，
则，故A正确；
B、由题意可知：取到黑球的概率为，随机变量服从二项分布，
则，，故B错误；
C、的可能值：1，2，3，
则，故C正确；
D、的可能值：0，1，2，3，
，对应的事件为：红或白红，则，
，对应的事件为：黑红或黑白红或白黑红，
则，
，对应的事件为：黑黑红或黑黑白红或白黑黑红或黑白黑红，
则，
，
故，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】分别计算随机变量取不同值时对应的概率，求解期望即可判断ACD；由题意可知随机变量服从二项分布，根据二项分布求即可判断B.
11．【答案】A,C,D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：A、的任意排列方法总数为个，故A正确；
B、 满足 ，即顺序确定，则不同的排列有个，故B错误；
CD、因为，，，，
，，，，
，，，，
，，，，
，，，，
，，，，
，，，，
，，，，
，，，，
，，，，
共有10种不同的情况，则的概率为，故C正确；
的概率为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据全排列计算即可判断A；按照定序问题求解即可判断B；利用列举法求解即可判断CD.
12．【答案】
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：不放回抽样中，第次抽到次品后，还有件次品，件正品，
则第二次抽到正品的概率为.
故答案为：.
【分析】根据不放回抽样，在第次抽到次品后，还有件次品，件正品，利用条件概率计算公式求解即可.
13．【答案】
【知识点】回归分析
【解析】【解答】解：易知，
由回归直线必过样本点中心，可得，
即，
则当时，的最小值为.
故答案为：.
【分析】先求，再根据回归方程必过样本中心点列式，结合二次函数的性质求解即可.
14．【答案】1
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知：X可能的取值为：0，1，2，3，
，
，
，
，
则X的数学期望为
故答案为：1.
【分析】由题意可知，随机变量，分别计算取值的概率，再计算数学期望即可 .
15．【答案】
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意可知：X所有可能取值为1，2，3，
，，
，
则.
故答案为：.
【分析】由题意可知：X所有可能取值为1，2，3，求相应值得概率，再求期望即可.
16．【答案】（1）解：设关于的线性回归方程，
，，
，，
则，，
即关于的线性回归方程为，
令，解得，，取，
故该地区新能源汽车的销量最早在年能突破万辆；
（2）解：由题意可知：12人中有9人购置了传统燃油汽车，3人购置了新能源汽车，
的可能取值为，，，，
，，
，，
的分布列为：
.
【知识点】回归分析；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布
【解析】【分析】（1）计算，再根据公式求出回归直线方程，最后解不等式估算即可；
（2）求出的可能值，以及各个值对应的概率，列出分布列并求期望即可.
（1）设关于的线性回归方程，
依题意，，，
，，
因此，，
则关于的线性回归方程为，
令，解得，，取，
所以该地区新能源汽车的销量最早在年能突破万辆．
（2）依题意，按1：3分层抽样知，12人中有9人购置了传统燃油汽车，3人购置了新能源汽车，
所有可能的取值为，，，，
，，
，，
所以的分布列为：
期望.
17．【答案】（1）解：列联表如下：
性别 日均刷“抖音”时间超过2小时 日均刷“抖音”时间不超过2小时 合计
男性 48 72 120
女性 24 56 80
合计 72 128 200
零假设为：日均刷“抖音”时间的长短与性别无关，
，
依据小概率值的独立性检验，我们推断零假设成立，即日均刷“抖音”时间的长短与性别无关；
（2）解：由分层随机抽样可知：抽取男性用户2人，女性用户1人；
记“有且仅有2人顺利完成知识问答”为事件，“2人性别不同”为事件，，
，
则.
【知识点】分层抽样方法；独立性检验；条件概率
【解析】【分析】（1）由题意，完善列联表，计算，与临界值比较判断即可；
（2）先求出有且仅有2人顺利完成知识问答的概率和这2人性别不同的概率，再根据条件概率公式求解即可.
（1）由题意，列联表如下：
性别 日均刷“抖音”时间超过2小时 日均刷“抖音”时间不超过2小时 合计
男性 48 72 120
女性 24 56 80
合计 72 128 200
零假设为：日均刷“抖音”时间的长短与性别无关，
则，
故依据小概率值的独立性检验，我们推断零假设成立，
即日均刷“抖音”时间的长短与性别无关.
（2）由分层随机抽样可知，抽取男性用户2人，女性用户1人.
记“有且仅有2人顺利完成知识问答”为事件，“2人性别不同”为事件，则，
，
故.
18．【答案】（1）解：记事件A为“这3位同学中至少有1位同学去甲餐厅就餐”，由题意可得：；
（2）解：记事件为“某同学第i天在甲餐厅就餐”，，
则，
记事件C为“w同学与s同学第二天在同一餐厅就餐”，则；
（3）解；记事件为“某同学第i天在甲餐厅就餐”，，
则，
，即，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
ze ，即，
记学校2000名学生第n天在甲餐厅就餐的学生人数为X，则，
当时，，
故一星期后在甲餐厅就餐的学生人数大约为人．
【知识点】等比数列的通项公式；互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；二项分布；全概率公式
【解析】【分析】（1）由题意，利用独立事件乘法公式以及对立事件概率计算即可；
（2）记事件为“某同学第i天在甲餐厅就餐”，利用全概率求解即可；
（3）记事件为“某同学第i天在甲餐厅就餐”，，得到，进而可求，再设记学校2000名学生第n天在甲餐厅就餐的学生人数为X，易知服从二项分布，，据此求解即可.
（1）记事件A为“这3位同学中至少有1位同学去甲餐厅就餐”，
则﹔
（2）记事件为“某同学第i天在甲餐厅就餐”，
则，
记事件C为“w同学与s同学第二天在同一餐厅就餐”，
则．
（3）记事件为“某同学第i天在甲餐厅就餐”，
则，
所以，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即，
记学校2000名学生第n天在甲餐厅就餐的学生人数为X，则，
当时，
所以一星期后在甲餐厅就餐的学生人数大约为人．
19．【答案】（1）解：记机器狗跳动6次后恰好回到起点为事件，则机器狗的6次跳动中，有3次向前，3次向后，
①、前3次都是向前跳动，后3次都是向后跳动或前3次都是向后跳动，后3次都是向前跳动，概率为；
②、每次跳动后距离起点处距离都不超过2个单位，向前跳动3次，向后跳动3次，且前3次跳动不全是向前或不全是向后，概率为，
则；
（2）解：由题意知：的所有可能取值为1，3，5，
当机器狗的5次跳动中，3次向前2次向后，或3次向后2次向前时，，
所以，
当机器狗的5次跳动中，4次向前1次向后，或4次向后1次向前时，，
所以，
当机器狗的5次跳动中，5次均向前或5次均向后时，，
所以，
的分布列为
1 3 5
；
（3）解：记每次跳动后距离起点处都不足个单位为事件，某次跳动后距离起点处个单位为事件，
则事件包含以下情况：
①机器狗前次跳动均向前，第，次跳动均向后或机器狗前次跳动均向后，第，次跳动均向前，相应概率为；
②机器狗前次跳动中有次向前，1次向后，第，次跳动均向前或机器狗前次跳动中有次向后，1次向前，第，次跳动均向后，
相应概率；
所以，
所以，
即每次跳动后距离起点处都不足个单位的概率为．
【知识点】互斥事件与对立事件；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）记机器狗跳动6次后恰好回到起点为事件，则机器狗的6次跳动中，有3次向前，3次向后，分类讨论可求机器狗跳动6次后恰好回到起点的概率；
（2）由题意知的所有可能取值为1，3，5，利用二项分布的概率公式可求得分布列，再求数学期望即可；
（3）记每次跳动后距离起点处都不足个单位为事件，则某次跳动后距离起点处个单位为事件，分类讨论求得的概率，利用对立事件的概率关系求的概率即可.
（1）记机器狗跳动6次后恰好回到起点为事件，
则机器狗的6次跳动中，有3次向前，3次向后．
①前3次都是向前跳动，后3次都是向后跳动或前3次都是向后跳动，后3次都是向前跳动，概率为，（点拨：该情况下，机器狗经过3次跳动后，距离起点处为3个单位，机器狗需连续向起点处跳动3次）；
②每次跳动后距离起点处距离都不超过2个单位，向前跳动3次，向后跳动3次，且前3次跳动不全是向前或不全是向后，概率为，（提示：表示从6次跳动中选择3次向前跳，则剩下的3次向后跳，减去的2表示减去①包含的2种情况）；
所以．
（2）由题意知的所有可能取值为1，3，5，
当机器狗的5次跳动中，3次向前2次向后，或3次向后2次向前时，，
所以，
当机器狗的5次跳动中，4次向前1次向后，或4次向后1次向前时，，
所以，
当机器狗的5次跳动中，5次均向前或5次均向后时，，
所以，
所以的分布列为
1 3 5
所以．
（3）记每次跳动后距离起点处都不足个单位为事件，
则某次跳动后距离起点处个单位为事件，
则事件包含以下情况：
①机器狗前次跳动均向前，第，次跳动均向后或机器狗前次跳动均向后，第，次跳动均向前，相应概率为．
②机器狗前次跳动中有次向前，1次向后，第，次跳动均向前或机器狗前次跳动中有次向后，1次向前，第，次跳动均向后，相应概率．
所以，
所以，（技巧：事件比较复杂，包含情况较多，考虑利用正难则反思想求解）
即每次跳动后距离起点处都不足个单位的概率为．
1 / 1浙江省宁波中学2024-2025学年高二下学期6月检测数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025高二下·宁波月考）下列散点图中，线性相关系数最小的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】散点图；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：A、这些点紧密地聚集在一条直线附近，具有较很强的线性相关性，且呈现负相关，其线性相关系数接近于；
B、散点比较分散，线性负相关程度不及A，即线性相关系数要比选项A的大.
C、散点呈现出一定的上升趋势，变量和之间具有强的线性相关关系，其线性相关系数为正数.
D、散点比较分散，线性负相关程度比选项A要弱，线性相关系数的比选项A的大.
综合比较四个选项，选项A，线性负相关程度最强，所以线性相关系数最小.
故选：A.
【分析】利用散点图变化趋势，判断相关系数的正负，由散点的集中程度确定线性相关系数的大小，即可得到答案．
2．（2025高二下·宁波月考）下列说法中，正确的命题是（　　）
A．已知随机变量X服从正态分布，则
B．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱
C．若样本数据的方差为8，则数据的方差为2
D．已知两个变量具有线性相关关系，其回归方程为，若，则
【答案】C
【知识点】极差、方差与标准差；回归分析；样本相关系数r及其数字特征；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：A、 随机变量X服从正态分布 ，
则，故A错误；
B、线性相关系数r的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强，故B错误；
C、由，可得，则数据的方差为2，故C正确；
D、回归方程，根据回归方程必过样本点中心，即，解得，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据正态分布的对称性求概率即可判断A；由相关系数的意义即可判断B；由方差的性质列式求解即可判断C；根据回归方程必过样本点中心求参数即可判断D.
3．（2025高二下·宁波月考）将一枚均匀的骰子掷两次，记事件为“第一次出现偶数点”，事件为“两次出现的点数和为”，则下列结论中正确的是（　　）
A． B．
C． D．与相互独立
【答案】D
【知识点】概率的基本性质；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式；条件概率
【解析】【解答】解：A、易知将一枚均匀的骰子掷两次有种不同的结果，
事件包括，2个基本事件，则，故A错误；
B、易知事件不互斥，，，
则，故B错误；
C、事件包括，4个基本事件，，
则，故C错误；
D、事件为“第一次出现偶数点”，，，
，与相互独立，故D正确.
故答案为：D.
【分析】易知将一枚均匀的骰子掷两次有种不同的结果，事件包含两个基本事件，再根据古典概型概率公式计算即可判断A；由及即可判断B；利用条件概率公式计算即可判断C；根据独立事件的乘法公式计算即可判断D.
4．（2025高二下·宁波月考）随机变量的分布列如表所示，则的最大值是（　　）
0
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由概率得性质可知：，，
即，，
则，
当时，取得最大值．
故答案为：B．
分析】根据分布列概率的性质列式求得，，再表示期望，结合二次函数的性质求解即可.
5．（2025高二下·宁波月考）已知，，且，则下列选项中不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：由，且，
可得，即，
A、因为在上递增，且，所以，故A正确；
B、，故B正确；
C、，故C正确；
D、，，故D错误.
故答案为：D.
【分析】由题意，根据二项分布求得，再根据函数的单调性、期望、方差以及期望、方差的性质逐项判断即可.
6．（2025高二下·宁波月考）已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件；全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：因为，，所以，，
则，即.
故答案为：B．
【分析】由题意，利用对立事件以及全概率和条件概率公式求解即可.
7．（2025高二下·宁波月考）随机变量的分布列为，若，则（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；概率分布列
【解析】【解答】解：易知，即，
则，
因为，所以，
，
因为①，且，所以②，
①②相减可得：，
，即，
又因为，两式相减得：
，即，
所以，则，
把变形为，
将和代入得：，则，
所以.
根据方差公式.
故答案为：D.
【分析】易知，即，表示，再由求解即可.
8．（2025高二下·宁波月考）甲、乙两人进行局羽毛球比赛（无平局），每局甲获胜的概率均为，规定：比赛结束时获胜局数多的人赢得比赛，记甲赢得比赛的概率为，假设每局比赛互不影响，则（　　）
A． B．
C． D．单调递减
【答案】C
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；二项分布；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：设甲获胜的局数为，且服从二项分布，，
C、甲赢得比赛的概率为：
，
因为，，
所以，
故，故C正确；
A、，故A错误；
B、，故B错误；
D、，，
因为，
所以，所以，即单调递增，故D错误.
故答案为：C.
【分析】设甲获胜的局数为，且服从二项分布，根据独立事件概率计算方法和二项式定理的性质可求，即可判断ABC；判断和的大小确定的单调性，即可判断D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2025高二下·宁波月考）下列说法中正确的是（　　）
A．样本数据3，4，5，6，7，8，9的第80百分位数是
B．随机变量，若，则
C．已知随机事件A，B，且，，若，则事件A，B相互独立
D．已知变量x，y具有线性相关关系，其经验回归方程为，若样本中心点为，则实数m的值为
【答案】B,C,D
【知识点】回归分析；二项分布；条件概率；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、，则数据3，4，5，6，7，8，9的第分位数为第六个数8，
故A错误；
B、随机变量，若，即，解得，
则，故B正确；
C 、，，，即，
故，所以事件A，B相互独立，故C正确；
D、由回归方程必过样本中心点，将代入，即，解得，故D正确．
故答案为：BCD.
【分析】根据百分位数定义计算即可判断A；根据二项分布的期望与方差计算即可判断B；根据条件概率公式计算即可判断C；根据回归方程必过样本点中线计算即可判断D．
10．（2025高二下·宁波月考）一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球4个，白球1个，黑球3个，则下列选项正确的有（　　）
A．从该口袋中任取3个球，设取出的红球个数为，则数学期望
B．每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的黑球次数为，则
C．从该口袋中任取3个球，设取出的球的颜色有种，则数学期望
D．每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的黑球的个数为，则数学期望
【答案】A,C,D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：A、由题意可知：的可能值：0，1，2，3，
则，故A正确；
B、由题意可知：取到黑球的概率为，随机变量服从二项分布，
则，，故B错误；
C、的可能值：1，2，3，
则，故C正确；
D、的可能值：0，1，2，3，
，对应的事件为：红或白红，则，
，对应的事件为：黑红或黑白红或白黑红，
则，
，对应的事件为：黑黑红或黑黑白红或白黑黑红或黑白黑红，
则，
，
故，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】分别计算随机变量取不同值时对应的概率，求解期望即可判断ACD；由题意可知随机变量服从二项分布，根据二项分布求即可判断B.
11．（2025高二下·宁波月考）已知表示中最小的数，表示中最大的数.若为的任意排列，设，，则（　　）
A．排列总数为720个 B．满足的排列有80个
C．的概率为 D．的概率为
【答案】A,C,D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：A、的任意排列方法总数为个，故A正确；
B、 满足 ，即顺序确定，则不同的排列有个，故B错误；
CD、因为，，，，
，，，，
，，，，
，，，，
，，，，
，，，，
，，，，
，，，，
，，，，
，，，，
共有10种不同的情况，则的概率为，故C正确；
的概率为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据全排列计算即可判断A；按照定序问题求解即可判断B；利用列举法求解即可判断CD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
12．（2025高二下·宁波月考）100件产品中有5件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件.已知第1次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率是　 　.
【答案】
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：不放回抽样中，第次抽到次品后，还有件次品，件正品，
则第二次抽到正品的概率为.
故答案为：.
【分析】根据不放回抽样，在第次抽到次品后，还有件次品，件正品，利用条件概率计算公式求解即可.
13．（2025高二下·宁波月考）已知个点大致呈线性分布，其中，且数据的回归直线方程为，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】回归分析
【解析】【解答】解：易知，
由回归直线必过样本点中心，可得，
即，
则当时，的最小值为.
故答案为：.
【分析】先求，再根据回归方程必过样本中心点列式，结合二次函数的性质求解即可.
14．（2025高二下·宁波月考）如图，某停车区域共有6个停车位，现有3辆白色汽车和2辆黑色汽车将停在车位上.记黑色汽车之间的白色汽车数为X，则X的数学期望为　 　.
【答案】1
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知：X可能的取值为：0，1，2，3，
，
，
，
，
则X的数学期望为
故答案为：1.
【分析】由题意可知，随机变量，分别计算取值的概率，再计算数学期望即可 .
15．（2025高二下·宁波月考）甲乙两个袋子，甲袋有1白2黑3个球，乙袋有2个白球.现从两袋各取1球，交换放入甲乙两袋.如此交换两次后，甲袋中的白球个数记作X，则=　 　.
【答案】
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意可知：X所有可能取值为1，2，3，
，，
，
则.
故答案为：.
【分析】由题意可知：X所有可能取值为1，2，3，求相应值得概率，再求期望即可.
四、解答题：本题共4小题，共72分．解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤．
16．（2025高二下·宁波月考）传统燃油汽车与新能源汽车相比，有着明显的缺点：如传统燃油汽车在行驶过程中会产生尾气排放和噪音污染，环保性能较差、能源效力较低等我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业迅速发展某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表．
年份t 2019 2020 2021 2022 2023
年份代码 1 2 3 4 5
销量y（万辆） 11 13 18 21 27
（1）统计表明销量y与年份代码x有较强的线性相关关系，求y关于x的线性同归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆；
（2）该企业随机调查了该地区2023年的购车情况．据调查，该地区2023年购置新能源汽车与传统燃油汽车的人数的比例大约为．从被调查的2023年所有车主中按分层抽样抽取12人，再从12人中随机抽取3人，记这3人中购置新能源汽车的人数为X，求X的分布列和期望．
参考公式：
对于一组数据，其回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．
【答案】（1）解：设关于的线性回归方程，
，，
，，
则，，
即关于的线性回归方程为，
令，解得，，取，
故该地区新能源汽车的销量最早在年能突破万辆；
（2）解：由题意可知：12人中有9人购置了传统燃油汽车，3人购置了新能源汽车，
的可能取值为，，，，
，，
，，
的分布列为：
.
【知识点】回归分析；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布
【解析】【分析】（1）计算，再根据公式求出回归直线方程，最后解不等式估算即可；
（2）求出的可能值，以及各个值对应的概率，列出分布列并求期望即可.
（1）设关于的线性回归方程，
依题意，，，
，，
因此，，
则关于的线性回归方程为，
令，解得，，取，
所以该地区新能源汽车的销量最早在年能突破万辆．
（2）依题意，按1：3分层抽样知，12人中有9人购置了传统燃油汽车，3人购置了新能源汽车，
所有可能的取值为，，，，
，，
，，
所以的分布列为：
期望.
17．（2025高二下·宁波月考）随着网络App的普及与发展，刷“抖音”成为了人们日常生活的一部分.某地区随机抽取了部分20～40岁的“抖音”用户，调查他们日均刷“抖音”的时间情况，所得数据统计如下表：
性别 日均刷“抖音”时间超过2小时 日均刷“抖音”时间不超过2小时
男性 48 72
女性 24 56
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为日均刷“抖音”时间的长短与性别有关？
（2）现从被调查的日均刷“抖音”时间超过2小时的用户中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取3名用户参加抖音知识问答，已知男性用户、女性用户顺利完成知识问答的概率分别为，，每个人是否顺利完成知识问答相互独立，求在有且仅有2人顺利完成知识问答的条件下，这2人性别不同的概率.
参考公式：，其中.
参考数据：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）解：列联表如下：
性别 日均刷“抖音”时间超过2小时 日均刷“抖音”时间不超过2小时 合计
男性 48 72 120
女性 24 56 80
合计 72 128 200
零假设为：日均刷“抖音”时间的长短与性别无关，
，
依据小概率值的独立性检验，我们推断零假设成立，即日均刷“抖音”时间的长短与性别无关；
（2）解：由分层随机抽样可知：抽取男性用户2人，女性用户1人；
记“有且仅有2人顺利完成知识问答”为事件，“2人性别不同”为事件，，
，
则.
【知识点】分层抽样方法；独立性检验；条件概率
【解析】【分析】（1）由题意，完善列联表，计算，与临界值比较判断即可；
（2）先求出有且仅有2人顺利完成知识问答的概率和这2人性别不同的概率，再根据条件概率公式求解即可.
（1）由题意，列联表如下：
性别 日均刷“抖音”时间超过2小时 日均刷“抖音”时间不超过2小时 合计
男性 48 72 120
女性 24 56 80
合计 72 128 200
零假设为：日均刷“抖音”时间的长短与性别无关，
则，
故依据小概率值的独立性检验，我们推断零假设成立，
即日均刷“抖音”时间的长短与性别无关.
（2）由分层随机抽样可知，抽取男性用户2人，女性用户1人.
记“有且仅有2人顺利完成知识问答”为事件，“2人性别不同”为事件，则，
，
故.
18．（2025高二下·宁波月考）某学校有甲、乙两家餐厅，对于学生的午餐就餐情况根据以往的统计调研分析可以得出如下结论：前一天选择甲餐厅就餐的同学第二天选择甲餐厅就餐的概率是，选择乙餐厅就餐的概率为﹔前一天选择乙餐厅就餐的同学第二天选择甲餐厅就餐的概率是，选择乙餐厅就餐的概率为，如此往复．假设所有同学开学第一天中午等可能随机选择一家餐厅就餐．
（1）第一天中午某班3位同学去餐厅就餐，求这3位同学中至少有1位同学去甲餐厅就餐的概率；
（2）求w同学与s同学第二天中午在同一餐厅就餐的概率；
（3）假设该学校有2000名学生，试估计一星期后中午在甲餐厅就餐的学生人数．
【答案】（1）解：记事件A为“这3位同学中至少有1位同学去甲餐厅就餐”，由题意可得：；
（2）解：记事件为“某同学第i天在甲餐厅就餐”，，
则，
记事件C为“w同学与s同学第二天在同一餐厅就餐”，则；
（3）解；记事件为“某同学第i天在甲餐厅就餐”，，
则，
，即，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
ze ，即，
记学校2000名学生第n天在甲餐厅就餐的学生人数为X，则，
当时，，
故一星期后在甲餐厅就餐的学生人数大约为人．
【知识点】等比数列的通项公式；互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；二项分布；全概率公式
【解析】【分析】（1）由题意，利用独立事件乘法公式以及对立事件概率计算即可；
（2）记事件为“某同学第i天在甲餐厅就餐”，利用全概率求解即可；
（3）记事件为“某同学第i天在甲餐厅就餐”，，得到，进而可求，再设记学校2000名学生第n天在甲餐厅就餐的学生人数为X，易知服从二项分布，，据此求解即可.
（1）记事件A为“这3位同学中至少有1位同学去甲餐厅就餐”，
则﹔
（2）记事件为“某同学第i天在甲餐厅就餐”，
则，
记事件C为“w同学与s同学第二天在同一餐厅就餐”，
则．
（3）记事件为“某同学第i天在甲餐厅就餐”，
则，
所以，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即，
记学校2000名学生第n天在甲餐厅就餐的学生人数为X，则，
当时，
所以一星期后在甲餐厅就餐的学生人数大约为人．
19．（2025高二下·宁波月考）某玩具公司推出一款智能机器狗玩具，开启电源后机器狗从起点处每次向前或向后跳动1个单位，当机器狗位置距离起点处不足（，且，可以进行手动设置）个单位时，每次向前跳动的概率为，向后跳动的概率为，当机器狗跳动后的位置距离起点处为个单位时，则连续向起点处跳动次，回到起点，然后从起点处重新开始跳动．
（1）若设置，求机器狗跳动6次后恰好回到起点的概率；
（2）若设置，记机器狗跳动5次后距离起点处个单位，求的分布列与数学期望；
（3）若机器狗跳动了次，求每次跳动后距离起点处都不足个单位的概率．
【答案】（1）解：记机器狗跳动6次后恰好回到起点为事件，则机器狗的6次跳动中，有3次向前，3次向后，
①、前3次都是向前跳动，后3次都是向后跳动或前3次都是向后跳动，后3次都是向前跳动，概率为；
②、每次跳动后距离起点处距离都不超过2个单位，向前跳动3次，向后跳动3次，且前3次跳动不全是向前或不全是向后，概率为，
则；
（2）解：由题意知：的所有可能取值为1，3，5，
当机器狗的5次跳动中，3次向前2次向后，或3次向后2次向前时，，
所以，
当机器狗的5次跳动中，4次向前1次向后，或4次向后1次向前时，，
所以，
当机器狗的5次跳动中，5次均向前或5次均向后时，，
所以，
的分布列为
1 3 5
；
（3）解：记每次跳动后距离起点处都不足个单位为事件，某次跳动后距离起点处个单位为事件，
则事件包含以下情况：
①机器狗前次跳动均向前，第，次跳动均向后或机器狗前次跳动均向后，第，次跳动均向前，相应概率为；
②机器狗前次跳动中有次向前，1次向后，第，次跳动均向前或机器狗前次跳动中有次向后，1次向前，第，次跳动均向后，
相应概率；
所以，
所以，
即每次跳动后距离起点处都不足个单位的概率为．
【知识点】互斥事件与对立事件；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）记机器狗跳动6次后恰好回到起点为事件，则机器狗的6次跳动中，有3次向前，3次向后，分类讨论可求机器狗跳动6次后恰好回到起点的概率；
（2）由题意知的所有可能取值为1，3，5，利用二项分布的概率公式可求得分布列，再求数学期望即可；
（3）记每次跳动后距离起点处都不足个单位为事件，则某次跳动后距离起点处个单位为事件，分类讨论求得的概率，利用对立事件的概率关系求的概率即可.
（1）记机器狗跳动6次后恰好回到起点为事件，
则机器狗的6次跳动中，有3次向前，3次向后．
①前3次都是向前跳动，后3次都是向后跳动或前3次都是向后跳动，后3次都是向前跳动，概率为，（点拨：该情况下，机器狗经过3次跳动后，距离起点处为3个单位，机器狗需连续向起点处跳动3次）；
②每次跳动后距离起点处距离都不超过2个单位，向前跳动3次，向后跳动3次，且前3次跳动不全是向前或不全是向后，概率为，（提示：表示从6次跳动中选择3次向前跳，则剩下的3次向后跳，减去的2表示减去①包含的2种情况）；
所以．
（2）由题意知的所有可能取值为1，3，5，
当机器狗的5次跳动中，3次向前2次向后，或3次向后2次向前时，，
所以，
当机器狗的5次跳动中，4次向前1次向后，或4次向后1次向前时，，
所以，
当机器狗的5次跳动中，5次均向前或5次均向后时，，
所以，
所以的分布列为
1 3 5
所以．
（3）记每次跳动后距离起点处都不足个单位为事件，
则某次跳动后距离起点处个单位为事件，
则事件包含以下情况：
①机器狗前次跳动均向前，第，次跳动均向后或机器狗前次跳动均向后，第，次跳动均向前，相应概率为．
②机器狗前次跳动中有次向前，1次向后，第，次跳动均向前或机器狗前次跳动中有次向后，1次向前，第，次跳动均向后，相应概率．
所以，
所以，（技巧：事件比较复杂，包含情况较多，考虑利用正难则反思想求解）
即每次跳动后距离起点处都不足个单位的概率为．
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