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广东省惠州市2025届高三下学期4月模拟考试数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有—项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．（2025·惠州模拟）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·惠州模拟）已知复数满足，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·惠州模拟）已知单位向量满足，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·惠州模拟）已知，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·惠州模拟）2024年惠州马拉松赛事期间，组委会需从甲、乙、丙、丁4位志愿者中选3位安排到物资分发、路线指引、医疗协助三个不同服务点，每个服务点1人．已知甲不能安排在物资分发服务点，则不同的安排方法共有（　　）
A．9种 B．12种 C．15种 D．18种
6．（2025·惠州模拟）如图，在正方体中，分别为所在棱的中点，为下底面的中心，则下列结论中错误的是（　　）
A．平面平面 B．
C． D．平面
7．（2025·惠州模拟）已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，若，则（　　）
A． B．
C．函数的周期为2 D．
8．（2025·惠州模拟）已知，均为锐角，且，则（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2025·惠州模拟）已知函数，则（　　）
A．为偶函数 B．
C．无零点 D．在上单调递减
10．（2025·惠州模拟）用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点．若抛物线C：的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过C上的点反射，再经过C上另—点反射后，沿直线射出，则（　　）
A．C的准线方程为
B．
C．若点，则
D．设直线与C的准线的交点为，则点在直线上
11．（2025·惠州模拟）设随机变量X的所有可能取为1，2，3，…，n，且，，现定义，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则随着n的增大而增大
C．若，则的最小值为1
D．若，随机变量Y的所有可能取值为1，2，…，m，且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025·惠州模拟）在锐角中，则的值等于　 　 ．
13．（2025·惠州模拟）已知一试验田种植的某种作物一株生长果实的个数x服从正态分布，且，从试验田中随机抽取10株，果实个数在的株数记作随机变量X，且X服从二项分布，则X的方差为　 　．
14．（2025·惠州模拟）已知函数（，且），若恒成立，则的最小值为　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025·惠州模拟）已知数列的前n项和为，且．数列是公比为3的等比数列，且．
（1）求数列和数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和．
16．（2025·惠州模拟）体育课上，同学们进行投篮测试，规定：每位同学投篮3次，至少投中2次则通过测试，若没有通过测试，则该同学必须进行50次投篮训练．已知甲同学每次投中的概率为，每次是否投中相互独立．
（1）求甲同学通过测试的概率；
（2）若乙同学每次投中的概率为，每次是否投中相互独立．经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮训练的投篮次数之和记为X．求X的分布列与数学期望．
17．（2025·惠州模拟）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若曲线上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段与x轴有公共点，求实数a的取值范围．
18．（2025·惠州模拟）如图1，是等边三角形，为等腰直角三角形，，将沿AC翻折到的位置，且点P不在平面ABC内）（如图2），点F在线段PB上（不含端点）．
（1）证明：；
（2）若．
（ⅰ）当点F为线段PB的中点时，求直线PB与平面ACF所成角的大小；
（ⅱ）设平面ACF与平面PBC的夹角为，求的取值范围．
19．（2025·惠州模拟）已知椭圆C：，，．椭圆C内部的一点，过点T作直线AT交椭圆于M，作直线BT交椭圆于N．M、N是不同的两点．
（1）若椭圆C的离心率是，求b的值；
（2）设的面积是，的面积是，若，时，求t的值；
（3）若点，满足且，则称点U在点V的左上方．求证：当时，点N在点M的左上方．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：集合，，
则.
故答案为：C.
【分析】根据集合的并集定义求解即可.
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，可得.
故答案为：B.
【分析】根据复数代数形式的除法运算求解即可.
3．【答案】C
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：设与的夹角为，由，
两边平方可得：，
则，即.
故答案为：C.
【分析】根据向量数量积的性质求解即可.
4．【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】解：①，
②，
①②两式相减可得：.
故答案为：D.
【分析】利用两角和、差的余弦公式展开后消去求解即可.
5．【答案】D
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：若甲不入选，则其他3人随意安排有种不同的安排方法；
若甲入选，甲不能安排在物资分发服务点，则有种不同的安排方法，
根据分类加法原理可得：共有种不同的安排方法．
故答案为：D．
【分析】由题意，分为甲入选和甲不入选，结合分类加法计数原理求解即可．
6．【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、因为分别为的中点，所以，
由正方体的性质易知，平面，平面，
所以，，，平面，
所以平面，平面，
所以平面平面，故A正确；
B、因为为下底面的中心，所以为的中点，
又因为为所在棱的中点，所以，故B正确；
C、若，由B选项知，则，
由正方体的性质知：为直角三角形，，则不满足，故C错误；
D、由A选项知：，由正方体的性质易知，
则，平面，平面，即平面，故D正确.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据正方体的特征结合空间线面位置关系逐项判断即可.
7．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】解：A、因为为奇函数，所以，
又因为为偶函数，所以，所以，故A错误；
C、由，令，可得，
令，可得，则函数是周期为4的周期函数，故C错误；
B、由，令，
得，则，故B错误；
D、因为，所以，所以，
故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据函数的奇偶性化简得即可判断A；由求得周期即可判断C；再由函数的周期为4，代入计算即可判断BD.
8．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：由，可得，
构造函数，，，
易知，即函数在上单调递增，则，
因为，均为锐角，所以，，
所以，.
故答案为：D.
【分析】原式变形为，构造函数，，求导，利用导数判断函数在上的单调性，从而可得，再由正余弦函数的单调性判断即可.
9．【答案】A,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为，
且满足，则为偶函数，故A正确；
B、因为函数为偶函数，所以，当时，函数，且在上单调递增，所以，故B错误；
C、令，解得，则函数有2个零点，故C错误；
D、由B选项可知：函数在上单调递增，又因为函数为偶函数，所以在上单调递减，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】先求函数的定义域，再利用函数的奇偶性定义判断奇偶性即可判断A；利用分段函数及对数函数的单调性即可判断BD；直接解方程求零点个数即可判断C.
10．【答案】A,B,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：A、易知抛物线C：的焦点为，准线方程为，故A正确；
B、设直线的方程为，联立，消元整理可得，
则，故B正确；
C、若点，则，，，
故C错误；
D、直线的方程为，由，可得，
令，可得，即，而直线的方程为，则点在直线上，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据抛物线方程确定准线方程即可判断A；设直线的方程为，联立方程组，结合韦达定理即可判断B；由求出，由两点间的距离求解即可判断C；直线的方程为，又，联立求解即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】对数的性质与运算法则；对数函数的单调性与特殊点；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A、当时，，则，故A正确；
B、若，则，
则随着的增大而增大，故B正确；
C、当时，，则，其中，
.
设，
则，
当时，；当时，；
故当时，随着增大而增大；当时，随着增大而减小，
当时，，故C错误；
D、若，随机变量Y的所有可能取值为1，2，…，m，
且，
，
，
则
，
因为，所以，所以，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】将当代入，根据题中定义求的值即可判断A；利用对数函数的单调性即可判断B；当时，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性即可判断C；求得和的表达式，利用对数函数的单调性即可判断D.
12．【答案】2
【知识点】二倍角的正弦公式；正弦定理
【解析】【解答】解：在锐角中，，，由正弦定理，可得，即.
故答案为：2.
【分析】由正弦定理，结合正弦的二倍角公式化简求值即可.
13．【答案】2.1
【知识点】二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：随机变量服从，且，则，
即，
由题意可得：，则的方差为.
故答案为：2.1.
【分析】由生长果实的个数x服从正态分布 ，求得，
则随机变量服从二项分布，利用二项分布的方差公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
，当时，函数在上单调递增，且，不合题意；
当时，，
易知，在上单调递增，
令，解得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
则当时，函数有极小值，也是最小值，
又因为恒成立，且，所以，
则，得，所以，
设，，令，得，
当，，则在上单调递减，
当，，则在上单调递增，
所以，即的最小值为.
故答案为：.
【分析】分和进行分类讨论，易知当时，不合题意，则，对求导，利用导数判断函数的单调性，求得最小值为，从而，进而由，令，求导得到的最小值即可.
15．【答案】（1）解： 数列的前n项和为，且 ，
当时，，
当时，，
经检验，时，，符合上式，则；
因为数列是公比为3的等比数列，且，所以，则；
（2）由（1）可得：，
则①，
②，
①②相减得，，
则.
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）利用与的关系式求得数列的通项，再根据等比数列的定义求数列的通项公式即可；
（2）由（1）可得，再利用错位相减法求和即可.
（1）当时，，
当时，，
当时也符合上式，
所以，
，所以.
（2），
所以，
，
两式相减得，
，
所以.
16．【答案】（1）解：记事件A=“甲同学通过测试”，即甲同学在3次投篮中，投中2次或3次，
且投中的次数服从二项分布，
则；
（2）解：若乙通过测试，则乙同学在3次投篮中，投中2次或3次，
则乙通过测试的概率为，
由题意可知，随机变量的可能取值有0，50，100，
，，
，
的分布列
0 50 100
.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）先记事件，由题意可知甲投中的次数服从二项分布，利用二项分布求甲通过测试的概率即可；
（2）求出的可能取值及对应的概率，得到分布列，再计算数学期望即可.
（1）记事件A：甲同学通过测试，则甲同学在3次投篮中，投中2次或3次，
则.
（2）若乙通过测试，则乙同学在3次投篮中，投中2次或3次，
所以乙通过测试的概率为，
由题意可知，随机变量的可能取值有0，50，100，
，，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
0 50 100
故.
17．【答案】（1）解：函数定义域为，且，
，
令，解得或，
当时，当或时，，当时，，
函数在或上单调递增，在上单调递减；
当时，当或时，，当时，，
函数在或上单调递减，在上单调递增，
综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递减，在上单调递增；
（2）解：由（1）可知曲线上的两点的纵坐标为函数的极值，且函数在，处分别取得极值，，
因为线段与x轴有公共点，所以，
所以，即，
整理可得，且，解得或，
则实数a的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，分、利用导数的正负求函数的单调区间即可；
（2）由题意可得函数在点A、B处取得极值，再根据线段与x轴有公共点，可得，从而可求出实数a的取值范围．
（1）由题意得，，
令，得或，
①当时，当或时，，当时，，
所以在或上递增，在上递减，
②当时，当或时，，当时，，
所以在或上递减，在上递增，
综上，当时，在和上递增，在上递减；当时，在和上递减，在上递增；
（2）由（1）可知曲线上的两点的纵坐标为函数的极值，
且函数在，处分别取得极值，
，
因为线段与x轴有公共点，
所以，
所以，
，
所以，且，
解得或，
所以实数a的取值范围为.
18．【答案】（1）证明：取中点为，连接，如图所示：
因为，所以，
又因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以；
（2）解：（i）因为为等腰三角形，，即，所以，
因为为等边三角形，所以，
则，，，满足，即，
又因，所以两两互相垂直，
以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
，F为线段PB的中点，
则，，，
设平面的法向量为，则，
取，得，
所以，
设直线PB与平面所成角为，则，
又因为，所以，则直线PB与平面所成角为；
（ii）设平面的法向量为，
，
则，取，得，
设，所以，所以，
则平面的法向量为，
则，取，得，
，
令，则，
，
因为时，，所以，
则.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取中点为，由题意可得，结合线面垂直的判定定理及性质定理证明即可；
（2）（i）以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可；
（ii）利用二面角的向量求法可得，令，则，可得，所以，即可求解.
（1）证明：取中点为，连接，
因为，
所以，
又因为，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以.
（2）（i）因为为等腰三角形，，即，所以，
因为为等边三角形，所以，
故，，因，则，即，
又因，所以两两互相垂直，
以为原点，以为基底，建立空间直角坐标系，
，F为线段PB的中点，
则，，
设平面的法向量为，
则，
取，得，
所以，
设直线PB与平面所成角为，则，
又，则，
所以直线PB与平面所成角为，
（ii）设平面的法向量为，
，
则，
取，得，
设，所以，
所以，
则平面的法向量为，
则，
取，得，
所以
，
令，则，
所以，
因为时，，
所以，
所以.
19．【答案】（1）解：椭圆的离心率是，
当时，，解得；
当时，，解得；
则的值为或；
（2）解：由题意，直线的斜率存在，直线的斜率存在，
，直线的方程，设，
则，
，直线的方程，设，
则，
由图，，因为，所以，
又，
同理可得，
则；
（3）解：由题意，直线的斜率存在，直线的斜率存在，
，直线的方程，设，
则，
，直线的方程，设，
则，
则，
又因为在椭圆内部，所以，故，
又根据题意知，所以，所以当时，点在点的左上方．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，分，两种情况讨论，结合椭圆离心率公式计算即可；
（2）由题意，可知直线的斜率存在，直线的斜率存在，联立直线的方程与椭圆方程可得，联立直线的方程与椭圆方程可得.结合图形可得，后结合，及弦长公式可得，即可得答案；
（3）联立直线与椭圆方程可得，，后结合在椭圆内部可得大小，又由题意可得大小，即可证明结论.
（1）因为椭圆的离心率是.
当时，，得；
当时，，得；
所以的值为或；
（2）由题意，直线的斜率存在，直线的斜率存在，
，直线的方程，设．
则.
，直线的方程，设．
则.
由图，，
注意到，则.
又，同理可得
.则
（3）由题意，直线的斜率存在，直线的斜率存在，
，直线的方程，设．
则.
，直线的方程，设．
则.
则.又在椭圆内部，则，故.
又根据题意知，所以.所以当时，点在点的左上方．
1 / 1广东省惠州市2025届高三下学期4月模拟考试数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有—项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．（2025·惠州模拟）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：集合，，
则.
故答案为：C.
【分析】根据集合的并集定义求解即可.
2．（2025·惠州模拟）已知复数满足，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，可得.
故答案为：B.
【分析】根据复数代数形式的除法运算求解即可.
3．（2025·惠州模拟）已知单位向量满足，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：设与的夹角为，由，
两边平方可得：，
则，即.
故答案为：C.
【分析】根据向量数量积的性质求解即可.
4．（2025·惠州模拟）已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】解：①，
②，
①②两式相减可得：.
故答案为：D.
【分析】利用两角和、差的余弦公式展开后消去求解即可.
5．（2025·惠州模拟）2024年惠州马拉松赛事期间，组委会需从甲、乙、丙、丁4位志愿者中选3位安排到物资分发、路线指引、医疗协助三个不同服务点，每个服务点1人．已知甲不能安排在物资分发服务点，则不同的安排方法共有（　　）
A．9种 B．12种 C．15种 D．18种
【答案】D
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：若甲不入选，则其他3人随意安排有种不同的安排方法；
若甲入选，甲不能安排在物资分发服务点，则有种不同的安排方法，
根据分类加法原理可得：共有种不同的安排方法．
故答案为：D．
【分析】由题意，分为甲入选和甲不入选，结合分类加法计数原理求解即可．
6．（2025·惠州模拟）如图，在正方体中，分别为所在棱的中点，为下底面的中心，则下列结论中错误的是（　　）
A．平面平面 B．
C． D．平面
【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、因为分别为的中点，所以，
由正方体的性质易知，平面，平面，
所以，，，平面，
所以平面，平面，
所以平面平面，故A正确；
B、因为为下底面的中心，所以为的中点，
又因为为所在棱的中点，所以，故B正确；
C、若，由B选项知，则，
由正方体的性质知：为直角三角形，，则不满足，故C错误；
D、由A选项知：，由正方体的性质易知，
则，平面，平面，即平面，故D正确.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据正方体的特征结合空间线面位置关系逐项判断即可.
7．（2025·惠州模拟）已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，若，则（　　）
A． B．
C．函数的周期为2 D．
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】解：A、因为为奇函数，所以，
又因为为偶函数，所以，所以，故A错误；
C、由，令，可得，
令，可得，则函数是周期为4的周期函数，故C错误；
B、由，令，
得，则，故B错误；
D、因为，所以，所以，
故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据函数的奇偶性化简得即可判断A；由求得周期即可判断C；再由函数的周期为4，代入计算即可判断BD.
8．（2025·惠州模拟）已知，均为锐角，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：由，可得，
构造函数，，，
易知，即函数在上单调递增，则，
因为，均为锐角，所以，，
所以，.
故答案为：D.
【分析】原式变形为，构造函数，，求导，利用导数判断函数在上的单调性，从而可得，再由正余弦函数的单调性判断即可.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2025·惠州模拟）已知函数，则（　　）
A．为偶函数 B．
C．无零点 D．在上单调递减
【答案】A,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为，
且满足，则为偶函数，故A正确；
B、因为函数为偶函数，所以，当时，函数，且在上单调递增，所以，故B错误；
C、令，解得，则函数有2个零点，故C错误；
D、由B选项可知：函数在上单调递增，又因为函数为偶函数，所以在上单调递减，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】先求函数的定义域，再利用函数的奇偶性定义判断奇偶性即可判断A；利用分段函数及对数函数的单调性即可判断BD；直接解方程求零点个数即可判断C.
10．（2025·惠州模拟）用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点．若抛物线C：的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过C上的点反射，再经过C上另—点反射后，沿直线射出，则（　　）
A．C的准线方程为
B．
C．若点，则
D．设直线与C的准线的交点为，则点在直线上
【答案】A,B,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：A、易知抛物线C：的焦点为，准线方程为，故A正确；
B、设直线的方程为，联立，消元整理可得，
则，故B正确；
C、若点，则，，，
故C错误；
D、直线的方程为，由，可得，
令，可得，即，而直线的方程为，则点在直线上，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据抛物线方程确定准线方程即可判断A；设直线的方程为，联立方程组，结合韦达定理即可判断B；由求出，由两点间的距离求解即可判断C；直线的方程为，又，联立求解即可判断D.
11．（2025·惠州模拟）设随机变量X的所有可能取为1，2，3，…，n，且，，现定义，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则随着n的增大而增大
C．若，则的最小值为1
D．若，随机变量Y的所有可能取值为1，2，…，m，且，则
【答案】A,B,D
【知识点】对数的性质与运算法则；对数函数的单调性与特殊点；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A、当时，，则，故A正确；
B、若，则，
则随着的增大而增大，故B正确；
C、当时，，则，其中，
.
设，
则，
当时，；当时，；
故当时，随着增大而增大；当时，随着增大而减小，
当时，，故C错误；
D、若，随机变量Y的所有可能取值为1，2，…，m，
且，
，
，
则
，
因为，所以，所以，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】将当代入，根据题中定义求的值即可判断A；利用对数函数的单调性即可判断B；当时，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性即可判断C；求得和的表达式，利用对数函数的单调性即可判断D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025·惠州模拟）在锐角中，则的值等于　 　 ．
【答案】2
【知识点】二倍角的正弦公式；正弦定理
【解析】【解答】解：在锐角中，，，由正弦定理，可得，即.
故答案为：2.
【分析】由正弦定理，结合正弦的二倍角公式化简求值即可.
13．（2025·惠州模拟）已知一试验田种植的某种作物一株生长果实的个数x服从正态分布，且，从试验田中随机抽取10株，果实个数在的株数记作随机变量X，且X服从二项分布，则X的方差为　 　．
【答案】2.1
【知识点】二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：随机变量服从，且，则，
即，
由题意可得：，则的方差为.
故答案为：2.1.
【分析】由生长果实的个数x服从正态分布 ，求得，
则随机变量服从二项分布，利用二项分布的方差公式求解即可.
14．（2025·惠州模拟）已知函数（，且），若恒成立，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
，当时，函数在上单调递增，且，不合题意；
当时，，
易知，在上单调递增，
令，解得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
则当时，函数有极小值，也是最小值，
又因为恒成立，且，所以，
则，得，所以，
设，，令，得，
当，，则在上单调递减，
当，，则在上单调递增，
所以，即的最小值为.
故答案为：.
【分析】分和进行分类讨论，易知当时，不合题意，则，对求导，利用导数判断函数的单调性，求得最小值为，从而，进而由，令，求导得到的最小值即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025·惠州模拟）已知数列的前n项和为，且．数列是公比为3的等比数列，且．
（1）求数列和数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和．
【答案】（1）解： 数列的前n项和为，且 ，
当时，，
当时，，
经检验，时，，符合上式，则；
因为数列是公比为3的等比数列，且，所以，则；
（2）由（1）可得：，
则①，
②，
①②相减得，，
则.
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）利用与的关系式求得数列的通项，再根据等比数列的定义求数列的通项公式即可；
（2）由（1）可得，再利用错位相减法求和即可.
（1）当时，，
当时，，
当时也符合上式，
所以，
，所以.
（2），
所以，
，
两式相减得，
，
所以.
16．（2025·惠州模拟）体育课上，同学们进行投篮测试，规定：每位同学投篮3次，至少投中2次则通过测试，若没有通过测试，则该同学必须进行50次投篮训练．已知甲同学每次投中的概率为，每次是否投中相互独立．
（1）求甲同学通过测试的概率；
（2）若乙同学每次投中的概率为，每次是否投中相互独立．经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮训练的投篮次数之和记为X．求X的分布列与数学期望．
【答案】（1）解：记事件A=“甲同学通过测试”，即甲同学在3次投篮中，投中2次或3次，
且投中的次数服从二项分布，
则；
（2）解：若乙通过测试，则乙同学在3次投篮中，投中2次或3次，
则乙通过测试的概率为，
由题意可知，随机变量的可能取值有0，50，100，
，，
，
的分布列
0 50 100
.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）先记事件，由题意可知甲投中的次数服从二项分布，利用二项分布求甲通过测试的概率即可；
（2）求出的可能取值及对应的概率，得到分布列，再计算数学期望即可.
（1）记事件A：甲同学通过测试，则甲同学在3次投篮中，投中2次或3次，
则.
（2）若乙通过测试，则乙同学在3次投篮中，投中2次或3次，
所以乙通过测试的概率为，
由题意可知，随机变量的可能取值有0，50，100，
，，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
0 50 100
故.
17．（2025·惠州模拟）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若曲线上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段与x轴有公共点，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：函数定义域为，且，
，
令，解得或，
当时，当或时，，当时，，
函数在或上单调递增，在上单调递减；
当时，当或时，，当时，，
函数在或上单调递减，在上单调递增，
综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递减，在上单调递增；
（2）解：由（1）可知曲线上的两点的纵坐标为函数的极值，且函数在，处分别取得极值，，
因为线段与x轴有公共点，所以，
所以，即，
整理可得，且，解得或，
则实数a的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，分、利用导数的正负求函数的单调区间即可；
（2）由题意可得函数在点A、B处取得极值，再根据线段与x轴有公共点，可得，从而可求出实数a的取值范围．
（1）由题意得，，
令，得或，
①当时，当或时，，当时，，
所以在或上递增，在上递减，
②当时，当或时，，当时，，
所以在或上递减，在上递增，
综上，当时，在和上递增，在上递减；当时，在和上递减，在上递增；
（2）由（1）可知曲线上的两点的纵坐标为函数的极值，
且函数在，处分别取得极值，
，
因为线段与x轴有公共点，
所以，
所以，
，
所以，且，
解得或，
所以实数a的取值范围为.
18．（2025·惠州模拟）如图1，是等边三角形，为等腰直角三角形，，将沿AC翻折到的位置，且点P不在平面ABC内）（如图2），点F在线段PB上（不含端点）．
（1）证明：；
（2）若．
（ⅰ）当点F为线段PB的中点时，求直线PB与平面ACF所成角的大小；
（ⅱ）设平面ACF与平面PBC的夹角为，求的取值范围．
【答案】（1）证明：取中点为，连接，如图所示：
因为，所以，
又因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以；
（2）解：（i）因为为等腰三角形，，即，所以，
因为为等边三角形，所以，
则，，，满足，即，
又因，所以两两互相垂直，
以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
，F为线段PB的中点，
则，，，
设平面的法向量为，则，
取，得，
所以，
设直线PB与平面所成角为，则，
又因为，所以，则直线PB与平面所成角为；
（ii）设平面的法向量为，
，
则，取，得，
设，所以，所以，
则平面的法向量为，
则，取，得，
，
令，则，
，
因为时，，所以，
则.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取中点为，由题意可得，结合线面垂直的判定定理及性质定理证明即可；
（2）（i）以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可；
（ii）利用二面角的向量求法可得，令，则，可得，所以，即可求解.
（1）证明：取中点为，连接，
因为，
所以，
又因为，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以.
（2）（i）因为为等腰三角形，，即，所以，
因为为等边三角形，所以，
故，，因，则，即，
又因，所以两两互相垂直，
以为原点，以为基底，建立空间直角坐标系，
，F为线段PB的中点，
则，，
设平面的法向量为，
则，
取，得，
所以，
设直线PB与平面所成角为，则，
又，则，
所以直线PB与平面所成角为，
（ii）设平面的法向量为，
，
则，
取，得，
设，所以，
所以，
则平面的法向量为，
则，
取，得，
所以
，
令，则，
所以，
因为时，，
所以，
所以.
19．（2025·惠州模拟）已知椭圆C：，，．椭圆C内部的一点，过点T作直线AT交椭圆于M，作直线BT交椭圆于N．M、N是不同的两点．
（1）若椭圆C的离心率是，求b的值；
（2）设的面积是，的面积是，若，时，求t的值；
（3）若点，满足且，则称点U在点V的左上方．求证：当时，点N在点M的左上方．
【答案】（1）解：椭圆的离心率是，
当时，，解得；
当时，，解得；
则的值为或；
（2）解：由题意，直线的斜率存在，直线的斜率存在，
，直线的方程，设，
则，
，直线的方程，设，
则，
由图，，因为，所以，
又，
同理可得，
则；
（3）解：由题意，直线的斜率存在，直线的斜率存在，
，直线的方程，设，
则，
，直线的方程，设，
则，
则，
又因为在椭圆内部，所以，故，
又根据题意知，所以，所以当时，点在点的左上方．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，分，两种情况讨论，结合椭圆离心率公式计算即可；
（2）由题意，可知直线的斜率存在，直线的斜率存在，联立直线的方程与椭圆方程可得，联立直线的方程与椭圆方程可得.结合图形可得，后结合，及弦长公式可得，即可得答案；
（3）联立直线与椭圆方程可得，，后结合在椭圆内部可得大小，又由题意可得大小，即可证明结论.
（1）因为椭圆的离心率是.
当时，，得；
当时，，得；
所以的值为或；
（2）由题意，直线的斜率存在，直线的斜率存在，
，直线的方程，设．
则.
，直线的方程，设．
则.
由图，，
注意到，则.
又，同理可得
.则
（3）由题意，直线的斜率存在，直线的斜率存在，
，直线的方程，设．
则.
，直线的方程，设．
则.
则.又在椭圆内部，则，故.
又根据题意知，所以.所以当时，点在点的左上方．
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