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第2章《有理数》单元测试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。）
1．下列温度中，比低的温度是（ ）
A． B． C． D．
2．2020年12月17日，“嫦娥五号”返回器携带月球样品顺利返回地球，我国科学家通过研究证明了月球在年前仍存在岩浆活动．数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．数轴上表示的点在（ ）
A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间
4．已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．大雄和冬冬在哈尔滨冰雪大世界游玩，他们先后步测一个底面为圆形的冰雕的周长，他俩的起点和走的方向完全相同．冬冬每步长45厘米，大雄每步长55厘米．由于两人的脚印有重合因此冰雕周围只留下95个脚印．这个冰雕的底面周长大约是（ ）米．（结果保留整数）
A．100 B．50 C．30 D．25
6．某地的国际标准时间（）是指该地与格林尼治（）的时差．以下为同一时刻5个城市的国际标准时间（正数表示当地时间比格林尼治时间早的时数，负数表示当地时间比格林尼治时间迟的时数）
城市 伦敦 北京 东京 多伦多 纽约
国际标准时间 0
北京时间早晨8点时，纽约的当地时间是（　　）点．
A．前一天晚上7点 B．当天晚上7点
C．当天凌晨1点 D．前一天下午5点
7．若，，且，则的值是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
8．一只小虫在数轴上从A点出发，第1次向正方向爬行1个单位后，第2次向负方向爬行2个单位，第3次又向正方向爬行3个单位……按上述规律，它第2023次刚好爬到数轴上的原点处，小虫爬行过程中经过数轴上这个数的次数是（ ）
A．99 B．100 C．101 D．102
二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分．）
9．计算的结果是 ．
10．比较大小： ．（填“”“”或“”号）
11．下列各数中：，，0，，，，，（每相邻两个2之间0的个数逐次加1），其中正有理数有 个．
12．王军同学在自学了电脑编程后，设计了如图所示的程序，若他输入的数是3，则输出的数为 ．
13．若，则 ．
14．在我国古代数学著作《孙子算经》中，有这样一道题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？其最小正整数解记为a．又知，则a b（填“”“”或“”）．
15．【知识回顾】数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．同时我们知道，数轴上表示的数对应的两点之间的距离为．借助数轴解决下列问题：已知代数式最小值为 .
16．已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为 ．
三、解答题（本题共10小题，共68分．）
17．（5分）把下列各数填入表示它所在的数集的大括号里：
，，，，
正数集合：；
负有理数集合：；
整数集合：；
负分数集合：．
18．（5分）（）如图是一个不完整的数轴，请将数轴补充完整，并把下列各数在数轴上表示出来；
，，，，．
（）将上述各数按从小到大的顺序用“”把它们连接起来．
19．（5分）计算：
(1)； (2)
20．（6分）杨老师到市政务中心办理业务，假设乘电梯向上一楼记作，向下一楼记作．杨老师从1楼（即地面楼层）出发，电梯上下楼层依次记录如下：（单位：层），，，，，，．
(1)请通过计算说明杨老师最后是否回到了出发地1楼？
(2)该中心大楼每层楼高约3米，电梯每向上或向下1米需要耗电度，根据杨老师现在所处位置，请你算算，他办理业务时电梯需要耗电多少度？
21．（6分）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是．
(1)则B所表示的数是______．
(2)数轴上有点P，且P到A、B两点的距离相等，则P点表示的数为______．
(3)数轴上有点C，且与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为______．
22．（6分）观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你仔细观察，开动脑筋，解答下列问题
①；
②；
③；
(1)按以上规律，第④个等式为：________；第个等式为：________（用含的式子表示，为正整数）；
(2)按此规律，计算的值；
(3)探究计算：的值．
23．（8分）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
【提出问题】三个有理数a，b，c满足，求的值．
【解决问题】解：由题意得，a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①若a，b，c都是正数，即，，时，则；
②若a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，
，
综上所述，的值为3或．
【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
(1)三个有理数a，b，c满足，求的值；
(2)若a，b，c为三个不为0的有理数，且，求的值．
24．（8分）某停车场为24小时营业，其收费方式如表所示：
停车时段 收费方式
白天 8元/小时
夜间 4元1小时
备注 1．收费计时单位时段为1小时，不足一个收费计时单位的按一个收费计时单位收费； 2．白天时段连续停放超过6小时，不超过12小时（含12小时）的，一律按6小时停车时间收费； 3．夜间时段连续停放超过6小时，不超过12小时（含12小时）的，一律按6小时停车时间收费； 4．停车时间横跨多个时段，按照每个时段的收费标准累计收费．
(1)若某日刘老师进场停车，离场，则需付停车费_______元；
(2)若某日刘老师进场停车，离场，则需付停车费_______元；
(3)若某日刘老师进场停车，停了x小时后离场，x为整数，且离场时间介于当日的间，则他此次停车的费用为多少元？
(4)若某次刘老师在该停车场停车费用为60元，其中白天时段停车a小时，夜间时段停车b小时（均为非负整数），请你写出三种符合条件的的值．
25．（9分）定义：若，，为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离倍，我们就称点是【，】的美好点．若规定、两点之间的距离为，即当时，我们称点是【，】的美好点．
例如：如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的美好点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点．
如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为．
(1)点，，表示的数分别是，，，其中是【，】美好点的是；写出【，】美好点所表示的数是______．
(2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以个单位每秒的速度向左运动．请你写出当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？
26．（10分）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离．这个结论可以推广为：点、在数轴上分别表示有理数、，则A，B两点之间的距离示为，即．例如，在数轴上，表示和的点的距离为．
【问题解决】
（1）表示数轴上数与　　（填数字）之间的距离；
（2）若点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，则　　（用含的代数式表示）；
【关联运用】
（3）运用一：若，则x的值为　　；
（4）运用二：代数式的最小值为　　；
（5）运用三：代数式的最大值为　　；
（6）运用四：已知动点、、分别从数轴、、的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为个单位长度/秒，个单位长度/秒，个单位长度/秒．原点为点，线段的中点分别为，若，且的值为常数，求出和的值
参考答案
一、选择题
1．A
【分析】本题考查了有理数大小的比较．根据题意，选出比小的数即可．
【详解】解：根据两个负数，绝对值大的反而小可知，
所以比低的温度是．
故选：．
2．C
【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同．
【详解】解：
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，有理数大小比较，根据数轴的特点，在原点的右边，数依次向右增大，在原点的左边，数依次向左减小即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴数轴上表示的点在与之间，
故选：．
4．C
【分析】本题考查了有理数在数轴上的表示，有理数的加、减、乘、除等运算法则的理解，深刻理解有理数的运算法则是解题的关键；
根据a，b两数在数轴上对应的点位置可得：，再根据有理数的加、减、乘、除等运算法则逐一判断即可.
【详解】解：由a，b两数在数轴上对应的点位置可得：，
∴，
∴，
综上分析可知：选项C正确，符合题意；
故选：C.
5．D
【分析】本题主要考查了最小公倍数的应用，有理数运算的应用，先求出45和55的最小公倍数为，即每走重合一个脚印，然后用（步），（步），得出每的脚印个数为个，然后用得出一圈共有5个循环，然后求出结果即可．
【详解】解：45和55的最小公倍数为，
（步），
（步），
（个），
，
，
即这个冰雕的底面周长大约是，
故选：D．
6．A
【分析】本题考查了正数和负数及有理数运算，结合已知条件列出正确的算式是解答本题的关键．
根据正数和负数的实际意义列式计算即可．
【详解】解：，则北京时间早晨8点时，格林尼治时间为前一天的晚上24点，
（时），
此时是纽约的前一天晚上7点．
故选：A．
7．D
【分析】本题考查了绝对值、有理数的乘法、有理数的加法，首先根据，，可得：，，又因为，可知、同号，然后分情况求出的值即可．
【详解】解：，，
，，
又，
、同号，
当，时，
，
当，时，
，
综上所述，的值是或，
故D选项符合题意．
故选：D ．
8．C
【分析】本题考查数字变化的规律和有理数的加减运算，理解题意观察出数字变化规律是解题的关键．
先根据题意求出点A所表示的数，再求出小虫第一次经过时的爬行次数，据此可解决问题．
【详解】解：设点A所表示的数为a，
则第1次爬行后的点所表示的数为，
第2次爬行后的点所表示的数为，
第3次爬行后的点所表示的数为，
第4次爬行后的点所表示的数为，
…，
∴第2n次爬行后的点所表示的数为，
故第2022次爬行后的点所表示的数为，
则第2023次爬行后的点所表示的数为．
∵第2023次刚好爬到数轴上的原点处，
∴，
则，
即点A所表示的数为．
∵，
∴表示的点在A点的右边，与A点相距962个单位长度．
∵第1次爬行后的点在点A的右边1个单位长度处，
第3次爬行后的点在点A的右边2个单位长度处，
第5次爬行后的点在点A的右边3个单位长度处，
……，
∴第次爬行后的点在点A的右边n个单位长度处，且，
即小虫爬行第1923次时，对应点所表示的数为，
∴从第1923次开始（包括第1923次），后面的每次爬行都经过这个数．
∵，
∴小虫爬行过程中经过数轴上这个数的次数是101．
故选：C．
二、填空题
9．1
【分析】本题考查的是含乘方运算的混合运算，先计算乘方，再计算乘法运算即可．
【详解】解：，
故答案为：
10．
【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值的意义，根据有理数的大小比较方法即可求解，掌握有理数的大小比较方法是解题的关键．
【详解】解：，，
∵，即，
∴，
故答案为：．
11．3
【分析】本题考查了有理数的定义和分类，熟练掌握有理数的定义是解题的关键；
有理数是整数（正整数、、负整数）和分数的统称，正有理数是大于的有理数，据此解答即可．
【详解】解：：是正分数，属于正有理数；
：是负整数，小于，不是正有理数；
：既不是正数也不是负数，不是正有理数；
：是负数，不是正有理数；
，是正整数，属于正有理数；
：是无限不循环小数，不是正有理数；
：是有限小数，可化为分数，且大于，属于正有理数；
（每相邻两个之间的个数逐次加）：是无限不循环小数，不是正有理数；
综上，正有理数有，和，共3个．
故答案为：3．
12．
【分析】此题考查了有理数的运算与程序图，正确理解程序图的要求是解题的关键．根据程序计算，若结果的绝对值小于，则将结果作为输入的数代入计算，若结果的绝对值大于则输出．
【详解】解：输入的数是3，，绝对值小于
输入，，绝对值大于则输出
故答案为：．
13．9
【分析】本题主要考查非负数的性质和有理数的乘方，根据非负数的性质求出的值，再代入计算即可．
【详解】解：∴，且
∴
∴，
∴
故答案为：9．
14．
【分析】本题考查了有理数的乘法运算，理解题意，分别由小到大进行分析，发现符合题意的最小正整数解为，即，再结合，即可作答．
【详解】解：∵三三数之剩二，
∴
，
∵五五数之剩三，
∴
∵七七数之剩二．
∴
∵最小正整数解记为a．
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
15．225
【分析】本题考查了数轴的应用，数轴上两点之间的距离公式，再根据数轴的定义得代数式表示的意义，确定或16时，有最小值，再代值计算即可．
【详解】解：根据数轴的定义可知，代数式表示，表示点的点到1、2、3、30的距离之和，
∴当时，有最小值，
当时，
．
故答案为：225．
16．
【分析】先化简x的表达式，再利用a，b，c中负因数的个数为奇数个分别求出最大值与最小值即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，，
∴，
∵，
∴a，b，c中负因数的个数为奇数个
∴当时，x的最大值为，
当时，x的最小值为，
∴x的最大值与最小值的成绩为，
故答案为： ．
三、解答题
17．解∶正数集合：；
负有理数集合：；
整数集合：；
负分数集合：．
故答案为：，；，；，；．
18．解：（）∵，，
∴各数在数轴上表示如下：
（）由数轴可得，．
19．（1）解：
．
（2）解：，
．
20．（1）解：
，
∴杨老师最后能回到出发点1楼；
（2）解：杨老师走过的路程是：
，
他办事时电梯需要耗电（度．
答：他办事时电梯需要耗电度．
21．（1）解：点A表示的数是，则原数如图所示，
∴点B表示的数为4，
故答案为：4；
（2）解：点A表示的数是，点B表示的数为4，
∴到A、B两点的距离相等的点表示的数为，
∴则P点表示的数为，
故答案为：；
（3）解：点B表示的数为4，
∴当点C在点B左边时，点C表示的数为2；当点C在点B的右边时，点C表示的数为6，
故答案为：2或6．
22．（1）解：由规律可得，第④个等式为；第个等式为；
故答案为：；；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
23．（1）解：由题意得，a，b，c三个有理数都为负数或其中一个为负数，另两个为正数．
①若a，b，c都是负数，即，，时，
；
②若a，b，c中有一个为负数，另两个为正数时，
不妨设，，，
则，
综上所述，的值为或1．
（2）解：∵a，b，c为三个不为0的有理数，且，
∴a，b，c有2个负数，1个正数，
∴，
∴．
24．（1）解：刘老师进场停车，离场，则他停车2小时36分，
因为不足一个收费计时单位的按一个收费计时单位收费，且为白天停车，未超过6小时，
所以刘老师需付停车费元；
（2）解：刘老师进场停车，离场，则他白天停车8小时，夜间停车1小时41分，
所以刘老师白天停车按6小时计费，夜间停车按2小时计费，
所以刘老师需付停车费元；
（3）解：若某日刘老师进场停车，停了x小时后离场，x为整数，且离场时间介于当日的间，则他白天停车10小时，夜间停车小时，
因为离场时间介于当日的间，
所以夜间停车未超过6小时，
所以刘老师需付停车费元；
（4）解：分类讨论：①当，时，
因为在该停车场停车费用为60元，
所以，即．
因为均为非负整数，
所以只能取，；
②当，时，
因为在该停车场停车费用为60元，
所以，即，
因为均为非负整数，
所以此时a取大于等于6小于等于12的任意整数都可以，；
③当，时，
因为在该停车场停车费用为60元，
所以，即，不符合题意；
④当，时，
刘老师应付停车费元，不符合题意．
综上可知，或，或，．
25．（1）解：根据美好点的定义，，，，只有点G符合条件，
故答案是：．
结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，进而可以确定符合条件．点的左侧距离点M的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是．
故答案为：或；
（2）解：根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分种情况，
第一情况：当为【，】的美好点，点在，之间，如图，
当时，则，
因此秒；
第二种情况，当为【，】的美好点，点在，之间，如图2，
当时，则，
因此秒；
第三种情况，为【N，M】的美好点，点在左侧，如图3，
当时，则，
因此秒；
第四种情况，M为【P，N】的美好点，点在左侧，如图4，
当时，则，点对应的数为，
因此秒；
第五种情况，M为【N，P】的美好点，点在左侧，如图5，
当时，则，点对应的数为，
因此秒；
第六种情况，M为【N，P】的美好点，点在，左侧，如图，
当时，则，
因此秒；
第七种情况，为【，】的美好点，点在左侧，
当时，则，
因此秒，
第八种情况，N为【M，P】的美好点，点在右侧，
当时，则，
因此秒，
综上所述，的值为：，，，，，．
26．（1）解：由题意可得：表示数轴上数与之间的距离；
故答案为：；
（2）解：；
故答案为：；
（3）解：根据题意可得：和表示与的距离和与的距离的和，，
当时， 则：，
解得：；
当时，则 ，不符合题意；
当时，则：，
解得：；
故答案为：或；
（4）解：，
当时， 则：，
当时，则，
当时，则：，
∴时，的最小值为，
故答案为：；
（5）解：∵表示与的距离和与的距离的差，
∴当时， 则：，
当时，则，
∴，
当时，则，
∴综上的最大值为：；
故答案为：7；
（6）解：∵动点、、分别从数轴、、的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为个单位长度/秒，个单位长度/秒，个单位长度/秒，设时间为，
∴点可表示为：，点可表示为：，点可表示为：，
∴的中点为：，的中点为：，的中点为：，
∵在的左边，在的左边，
∴在的左边，在的左边，
∴，，
∴，
∴时，的值与无关，即，
∴，
∴，．

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