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2024-2025学年四川省资阳市高一（下）期末数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．（5分）已知平面向量，．若与共线，则x＝（　　）
A．2 B． C． D．﹣2
2．（5分）已知复数z1＝2+i，z2＝1﹣2i，复数z＝z2+z1，则z的共轭复数对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5分）一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的85%分位数为（　　）
A．4 B． C．5 D．
4．（5分）函数y＝sin2x+cos（2x+π）的最小正周期为（　　）
A． B．π C．2π D．4π
5．（5分）如图，在△ABC中，点D满足，E为AC的中点，则（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）如图，在四面体ABCD中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是（　　）
A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ADC
7．（5分）已知，tanαtanβ＝2，则cos（α﹣β）＝（　　）
A． B． C． D．
8．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝BC＝2，∠BAC＝30°，则该三棱锥外接球的体积为（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）某地区举行了足球联赛，联赛结束后的数据显示：甲队每场比赛平均失球数是1.6，各场比赛失球个数的标准差为1.2；乙队每场比赛平均失球数是2.3，各场比赛失球个数的标准差是0.5，下列说法中正确的是（　　）
A．平均说来甲队比乙队防守技术好
B．甲队在防守中有时表现较差，有时表现又非常好
C．甲队比乙队技术水平更稳定
D．乙队很少不失球
（多选）10．（6分）若向量，满足，，则（　　）
A．与的夹角为
B．
C．
D．在上的投影向量为
（多选）11．（6分）函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．若将f（x）的图象向右平移个单位，则所得函数是奇函数
C．若，，则a的范围为[2，+∞）
D．若函数y＝f（x）﹣1的三个相邻零点分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），且|x1﹣x2|＝λ|x2﹣x3|，则λ的值是或2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知复数z（i为虚数单位），则|z|＝　 　 ．
13．（5分）将一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为5：3：2．若A，B，C三层的样本的平均数分别为20，30，40，则总体的平均数为 　 　 ．
14．（5分）已知点G是△ABC的重心，点M，N分别在AB，AC上，且满足，其中x+y＝1．若，则△ANG与△ABC的面积之比为 　 　 ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知函数f（x）＝2sinxcosx+cos2x（x∈R）．
（1）当x取什么值时，函数f（x）取得最大值？并求出该最大值；
（2）若θ为锐角，且，求tan2θ的值．
16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，BC＝2，AB＝AD＝4，E是线段PA的中点．
（1）求证：BE⊥平面PAD；
（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积．
17．为增强职工身体素质，某企业鼓励职工积极参加徒步活动．为了解运动情况，企业工会从该企业职工中随机抽取了100名，统计他们的日均运动步数，并得到如下频率分布直方图：
（1）求图中a的值；
（2）估计该企业职工日均运动步数的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
（3）若该企业恰好有的职工的日均运动步数达到了企业制定的“优秀运动者”达标线，试估计该企业制定的“优秀运动者”达标线．
18．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且．
（1）求角A的大小；
（2）若b＝2，求△ABC的面积；
（3）求3b+c的取值范围．
19．如图①，已知等腰梯形ABCD的外接圆圆心O在底边AB上，AB∥CD，CD＝AD＝3，P是上半圆上的动点（不包含A，B两点），点Q是线段PA上的动点，将半圆APB所在的平面沿直径AB折起，得到图②所示图形，据此解答下列各小题：
（1）当PC∥平面QBD时，求的值；
（2）若PB⊥AD，PB＝3，求PA与平面ABCD所成角的正弦值；
（3）若PB≤3，平面PAB⊥平面ABCD，设QB与平面ABCD所成的角为α，二面角Q﹣BD﹣A的平面角为β，求β﹣α取得最大值时tanα的值．
参考答案
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A C B D C A C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ABD BD ACD
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．（5分）已知平面向量，．若与共线，则x＝（　　）
A．2 B． C． D．﹣2
【解答】解：平面向量，．与共线，所以．
故选：B．
2．（5分）已知复数z1＝2+i，z2＝1﹣2i，复数z＝z2+z1，则z的共轭复数对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：由复数z1＝2+i，z2＝1﹣2i，复数z＝z2+z1＝2+i+1﹣2i＝3﹣i，
则，对应的点为（3，1）位于第一象限．
故选：A．
3．（5分）一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的85%分位数为（　　）
A．4 B． C．5 D．
【解答】解：已知一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6，
又10×0.85＝8.5，
所以第85%分位数为从小到大排列的第9个数，即第85%分位数为5．
故选：C．
4．（5分）函数y＝sin2x+cos（2x+π）的最小正周期为（　　）
A． B．π C．2π D．4π
【解答】解：由y＝sin2x+cos（2x+π）＝sin2x﹣cos2x
（sin2xcoscos2xsin）＝2sin（2x），
所以函数的周期为．
故选：B．
5．（5分）如图，在△ABC中，点D满足，E为AC的中点，则（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为2，所以，所以．
故选：D．
6．（5分）如图，在四面体ABCD中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是（　　）
A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ADC
【解答】解：∵AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则BE⊥AC，DE⊥AC，
∵BE∩DE＝E，BE，DE 平面BDE，
∴AC⊥平面BDE，
又AC 平面ABC，∴平面ABC⊥平面BDE，故C正确；
在平面ABC内取点P，作PM⊥AB，PN⊥BE，垂足分别为M，N，如图，
∵平面ABC⊥平面BDE，平面ABC∩平面BDE＝BE，
∴PN⊥平面BDE，则有PN⊥BD，
若平面ABC⊥平面ABD，同理可得PM⊥BD，
而PM∩PN＝P，PM，PN 平面ABC，
∴BD⊥平面ABC，BD与平面ABC不一定垂直，故A错误；
过A作△ABC边BD上的高AF，连接CF，
由△ABD≌△CBD，得CF是△CBD边BD上的高，
则∠AFC是二面角A﹣BD﹣C的平面角，而∠AFC不一下是直角，
即平面ABD与平面BDC不一定垂直，故B错误；
∵AC⊥平面BE，则∠DEB是二面角D﹣AC﹣B的平面角，∠DEB不一定是直角，
平面ABC与平面ADC不一定垂直，故D错误．
故选：C．
7．（5分）已知，tanαtanβ＝2，则cos（α﹣β）＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由cos（α+β），可得cosαcosβ﹣sinαsinβ，
因为tanαtanβ2，可得sinαsinβ＝2cosαcosβ，
所以，，可得．
故选：A．
8．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝BC＝2，∠BAC＝30°，则该三棱锥外接球的体积为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：在三棱锥P﹣ABC中，设其外接球的球心为点O，△ABC的外接圆的圆心为点E，如图，
连接AO，OE，AE，则OE⊥AE，设△ABC的外接圆的半径为R1，
因为BC＝2，∠BAC＝30°，
由正弦定理，得 R1＝2，即AE＝2，
因为PA⊥平面ABC，PA＝2，
所以OE＝1，
所以三棱锥外接球的半径，
所以三棱锥外接球的体积为．
故选：C．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）某地区举行了足球联赛，联赛结束后的数据显示：甲队每场比赛平均失球数是1.6，各场比赛失球个数的标准差为1.2；乙队每场比赛平均失球数是2.3，各场比赛失球个数的标准差是0.5，下列说法中正确的是（　　）
A．平均说来甲队比乙队防守技术好
B．甲队在防守中有时表现较差，有时表现又非常好
C．甲队比乙队技术水平更稳定
D．乙队很少不失球
【解答】解：对于A，甲队每场比赛平均失球数是1.6，小于乙队每场比赛平均失球数是2.3，
平均说来甲队比乙队防守技术好，A正确；
对于B，甲队在防守中有时表现较差，有时表现又非常好，B正确；
对于C，甲队各场比赛失球个数的标准差为1.2大于乙队各场比赛失球个数的标准差是0.5，
所以乙队比甲队技术水平更稳定，C错误；
对于D，虽然乙队每场比赛平均失球数是2.3，算是较大的数，而各场比赛失球个数的标准差是0.5，由于标准差很小，方差是0.25更小，说明每场失球数都集中在2.3附近，所以认为乙队很少不失球是正确的，D正确．
故选：ABD．
（多选）10．（6分）若向量，满足，，则（　　）
A．与的夹角为
B．
C．
D．在上的投影向量为
【解答】解：因为，，
所以，即，
解得，故B正确；
由，
可得，故A错误；
由，
可知与不垂直，故C错误；
因为，
所以在上的投影向量为，故D正确．
故选：BD．
（多选）11．（6分）函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．若将f（x）的图象向右平移个单位，则所得函数是奇函数
C．若，，则a的范围为[2，+∞）
D．若函数y＝f（x）﹣1的三个相邻零点分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），且|x1﹣x2|＝λ|x2﹣x3|，则λ的值是或2
【解答】解：A，，
所以，可得，
又，
因为|φ|＜π，所以，
所以，故A正确；
B，将f（x）的图象向右平移个单位后的解析式为，该函数不是奇函数，故B错误；
C，，可得，
，
，
，所以，
所以，所以f（3x）∈[﹣2，1]，﹣f（3x）∈[﹣1，2]，
所以，所以，故C正确；
D，函数y＝f（x）﹣1的零点，即f（x）＝1的解，
即，所以，
若，则，此时λ＝2，
若，则，此时，所以λ＝2或，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知复数z（i为虚数单位），则|z|＝　　 ．
【解答】解：∵z，
∴|z|．
故答案为：．
13．（5分）将一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为5：3：2．若A，B，C三层的样本的平均数分别为20，30，40，则总体的平均数为 　27　 ．
【解答】解：因为A，B，C三层个体数之比为5：3：2，且A，B，C三层的样本的平均数分别为20，30，40，
所以总体的平均数为．
故答案为：27．
14．（5分）已知点G是△ABC的重心，点M，N分别在AB，AC上，且满足，其中x+y＝1．若，则△ANG与△ABC的面积之比为 　　 ．
【解答】解：根据点G是△ABC的重心，可得，
结合题意，可得，
设，则，
因为，所以，结合x+y＝1，解得，，
由，可得，
因为△ABC的重心G到AC的距离等于点B到AC距离的，
所以．
故答案为：．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知函数f（x）＝2sinxcosx+cos2x（x∈R）．
（1）当x取什么值时，函数f（x）取得最大值？并求出该最大值；
（2）若θ为锐角，且，求tan2θ的值．
【解答】解：（1）由题意得f（x）＝sin2x+cos2xsin（2x），
令，解得，
所以当时，f（x）取得最大值，最大值为；
（2）因为，
所以，结合θ为锐角，可得，
所以tanθ，可得．
16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，BC＝2，AB＝AD＝4，E是线段PA的中点．
（1）求证：BE⊥平面PAD；
（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积．
【解答】解：（1）证明：因为AD⊥面PAB，BE 面PAB，
因此AD⊥BE，
因为△PAB是等边三角形，E是线段PA的中点，
因此PA⊥BE，
又因为AD∩PA＝A，AD，PA 平面PAD，
因此BE⊥平面PAD；
（2）因为AD⊥面PAB，AD 平面ABCD，
因此平面PAB⊥平面ABCD，
又平面PAB∩平面ABCD＝AB，
取AB中点为F，
因为△PAB是等边三角形，因此PF⊥AB，
PF 平面PAB，
因此PF⊥平面ABCD，即PF为四棱锥的高，
因为△PAB是等边三角形，AB＝4，
因此，
因此四棱锥P﹣ABCD的体积为．
17．为增强职工身体素质，某企业鼓励职工积极参加徒步活动．为了解运动情况，企业工会从该企业职工中随机抽取了100名，统计他们的日均运动步数，并得到如下频率分布直方图：
（1）求图中a的值；
（2）估计该企业职工日均运动步数的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
（3）若该企业恰好有的职工的日均运动步数达到了企业制定的“优秀运动者”达标线，试估计该企业制定的“优秀运动者”达标线．
【解答】解：（1）由频率分布直方图得2（a+0.1+5a+0.12+a）＝1，解得a＝0.04．
（2）由频率分布直方图可得平均数为：
．
所以该企业职工日均运动步数的平均数约为9.08千步．
（3）日均运动步数在[12，14]的频率为2×0.04＝0.08，
日均运动步数在[10，12）的频率为0.12×2＝0.24，
日均运动步数在[8，10）的频率为5×0.04×2＝0.4，
所以达标线位于[8，10）内，
则达标线为，解得m＝9.6，
该企业制定的优秀强国运动者达标线是9.6千步．
18．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且．
（1）求角A的大小；
（2）若b＝2，求△ABC的面积；
（3）求3b+c的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意可知，，∴，
，
，∵，∴sinB≠0，
∴，∴，
又∵，∴；
（2）在锐角△ABC中，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA，
又，b＝2，，∴，整理得c2﹣2c﹣8＝0，
解得c＝4或c＝﹣2（舍去），∴c＝4，
∴；
（3）设锐角△ABC外接圆半径为R，由正弦定理可得：，
∴
，
其中，φ为锐角，
∵△ABC为锐角三角形，则，解得，
∴，
又，
，
∴，即，
∴，从而3b+c的取值范围为．
19．如图①，已知等腰梯形ABCD的外接圆圆心O在底边AB上，AB∥CD，CD＝AD＝3，P是上半圆上的动点（不包含A，B两点），点Q是线段PA上的动点，将半圆APB所在的平面沿直径AB折起，得到图②所示图形，据此解答下列各小题：
（1）当PC∥平面QBD时，求的值；
（2）若PB⊥AD，PB＝3，求PA与平面ABCD所成角的正弦值；
（3）若PB≤3，平面PAB⊥平面ABCD，设QB与平面ABCD所成的角为α，二面角Q﹣BD﹣A的平面角为β，求β﹣α取得最大值时tanα的值．
【解答】解：（1）连接AC交BD于点M，连接QM，
因为CD＝AD＝3，AB∥CD，所以BC＝3，AB＝6，
则平面PAC∩平面QBD＝QM，
依题意，PC∥平面QBD，PC 平面PAC，
所以PC∥QM，
所以，等腰梯形ABCD中，△MAB∽△MCD，
所以；
（2）因为等腰梯形ABCD的外接圆圆心O在底边AB上，所以∠ADB＝90°，
所以AD⊥DB，又因为PB∩BD＝B，PB，BD 平面PBD，
所以AD⊥平面PBD，
又AD 平面ABD，所以平面ABD⊥平面PBD，
过P作PN⊥BD于N，连接AN，所以PN⊥平面ABD，
则∠PAN为PA与平面ABCD所成的角，
由（1）可得，
，，
因为PD2+BP2＝18+9＝27＝BD2，所以∠BPD＝90°，
所以，
所以，
解得，
所以，
所以PA与平面ABCD所成角的正弦值；
（3）作QH⊥AB于H，连接BQ，
因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，
所以QH⊥平面ABCD，所以BH是BQ在平面ABCD内的射影，
因为PB≤3，所以，
所以∠QBH即为QB与平面ABCD所成的角为α∈（0，∠PBA），
则，
过H作GH⊥BD，垂足为G，连结QG，
又因为QH⊥BD，GH∩QH＝H，GH，QH 平面QHG，
所以BD⊥平面QHG，
又因为QG 平面QHG，所以BD⊥QG，
所以∠QGH为二面角Q﹣BD﹣A的平面角β，
所以，所以，tanβ＝2tanα，
所以，
当且仅当tanα＝1时，tan（β﹣α）取得最大值，即β﹣α取得最大值，
所以β﹣α取得最大值时tanα＝1．
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