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福建省龙岩市长汀县2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题
一、单选题
1．下列各数是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（　　）
A．的算术平方根是3 B．0的算术平方根是0
C．的平方根是 D．的立方根是
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，沿直线向右平移得到，已知，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．2024年10月26日，我区某校八年级270名师生前往研学基地：左权麻田八路军纪念馆、中共中央北方局旧址，参加了主题为《缅怀革命英烈，传承红色精神》的研学活动．山西文旅集团晋游旅行有限公司向本校提供了两种坐车方案，让学校选择，方案1：提供A型座次的车4辆，B型座次的车1辆，这时有15个空座位；方案2：提供A型座次的车2辆，B型座次的车2辆，这时所有的车刚好坐满．若设A型座次的车有个座位，B型座次的车有个座位，则可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
6．阳光初级中学要调查在校1200名学生的睡眠情况，下列抽样方式合适的是（ ）
A．选取该校各班班长 B．选取该校100名七年级的学生
C．选取该校100名女生 D．选取该校各班座位号尾数为5的学生
7．某种服装的进价为240元，出售时标价为360元，由于换季，商店准备打折销售，但要保持利润不低于，那么至多打（ ）折
A．8折 B．8.5折 C．9折 D．9.5折
8．若，则（ ）
A． B． C． D．
9．甲、乙两个长方形的边长如图（m为正整数），其面积分别为S1，S2，若满足条件的整数n有且只有8个，则m为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．8
10．在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的幸运点，已知点的幸运点为，点的幸运点为，点的幸运点为，……，这样依次得到，若点的坐标为则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．计算 的结果为 ．
12．《义务教育课程标准（年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定，某班有名学生，其中已经学会炒菜的学生频率是，则该班学会炒菜的学生频数是 ．
13．统计得到一组数据，其中最大值是125，最小值是42，取组距为10，可以分成 组．
14．要说明命题“若，则”是假命题，反例的值可以是 （写出一个即可）．
15．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，那么的值是 ．
16．如图，已知长方形纸片，点和点分别在边和上，且，点和点分别是边和上的动点，现将点，，，分别沿，折叠至点，，，，若，则的度数为 ．
三、解答题
17．计算：．
18．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
19．图1是小明设计的一个美丽图案．图2是其中的一个图形，其中，，，．

(1)求的度数．
(2)试说明．
20．已知当m，n都是实数，且满足时，称点为“如意点”．
(1)当时，写出“如意点”：______；
(2)判断点是否为“如意点”，并说明理由；
21．根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛的抽样与数据分析过程．
【收集数据】现随机将全校学生以20人为一组进行分组，再随机抽取3个小组，并收集这3个小组的学生成绩．
【整理数据】将抽取的成绩进行整理，并把学生的百分制成绩（分）用5级记分法呈现：“”记为1分，“”记为2分，“”记为3分，“”记为4分，“”记为5分．
【描述数据】根据抽取的3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如表所示：
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)请直接补全第1小组得分条形统计图；
(2)在第2小组得分扇形统计图中，求“得分为1分”这一项所对应的圆心角的度数；
(3)若该校共有3000名学生，以这3个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校有多少名学生竞赛成绩不低于90分．
22．如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形．
(1)图2的阴影部分的正方形的边长是________．
(2)用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．
【方法1】________；【方法2】_________；；
(3)若，且，，求的值．
23．根据生活中的碳足迹，探索完成以下碳中和任务
探索膳食中的“碳足迹”
素材 中国居民平衡膳食宝塔是根据《中国居民膳食指南》结合中国居民的膳食结构特点设计的．它把平衡膳食的原则转化各类食物的重量，并以直观的宝塔形式表现出来，便于群众理解和在日常生活中应用．下表是根据平衡膳食宝塔计算出的中国居民膳食每天的“碳足迹”． 序号种类日消耗量/g年耗碳量/kg1谷物类2573.12薯物类07510.953蔬菜类40043.84水果类27550.195动物性食物160175.26大豆及豆制品40087.67奶及奶制品4001468油27.525.169盐、水盐<5g，水1600ml忽略不计合计/612
问题解决
任务1 一棵成年树一年大约吸收25（1是指耗碳量为1kg，下同），根据上表至少需要种植_______棵树才能实现碳中和．
任务2 小明践行低碳饮食，减少肉类和奶制品摄入．已知原来每天肉类和奶制品产生的碳足迹任务2共0.5，现在减少一定量后，肉类碳足迹变为原来的，奶制品碳足迹变为原来的，此时两者碳足迹共0.3，求原来肉类和奶制品每天的碳足迹分别是多少？
任务3 小红为实现低碳饮食，设定自己每天食物碳足迹不超过1.2．已知她每天谷任务3物、蔬菜、水果等碳足迹共0.5，其余碳足迹来自动物性食物和奶制品．若动物性食物碳足迹是奶制品碳足迹的2倍，设奶制品碳足迹为x，求的最大值．
24．如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中满足．
（1）填空：_______，________；
（2）若在第三象限内有一点，用含的式子表示的面积；
（3）在（2）条件下，当时，点是坐标轴上的动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点的坐标．
25．【问题情境】（1）如图1，，，求度数．
小明的思路：过P作，通过平行线性质来求．
按小明的思路，易求得的度数为 度．
【问题迁移】（2）如图2，，点P在射线上运动．记，．
当点P在 B、D两点之间运动时，问：与，之间有何数量关系？请说明理由；
②若点P在线段或射线上运动，（不与O、B、D三点重合），请直接写出与，之间的数量关系．
【拓展创新】（3）图3为北斗七星的位置图，将其抽象成图4，并将北斗七星分别标为A、B、C、D、E、F、G，顺次连接各点，天文小组发现线段恰好经过点G，且，，，请你根据这些信息求出的度数．
参考答案
1．D
解：A．是有理数，故本选项不符合题意；
B．是有理数，故本选项不符合题意；
C．是有理数，故本选项不符合题意；
D．是无理数，故本选项符合题意．
故选：D．
2．B
解：A、，3的算术平方根是，原说法错误，故本选项不符合题意；
B、0的算术平方根是0，原说法是正确的，故本选项符合题意；
C、负数没有平方根，原说法错误，故本选项不符合题意；
D、0.001的立方根是0.1，原说法错误，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．A
解：A、，原式计算正确，符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、没有意义，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：A．
4．A
解：由平移的性质可得，
∵，，
∴，
∴，
故选：A．
5．A
解：∵A型座次的车有个座位，B型座次的车有个座位，
A型座次的车4辆，B型座次的车1辆，这时有15个空座位，
∴，
∵A型座次的车2辆，B型座次的车2辆，这时所有的车刚好坐满，
∴，
∴．
故选：A．
6．D
解：A. 选取该校各班班长，该抽取方式不合适，本选项不符合题意；
B. 选取该校100名七年级的学生，该抽取方式不合适，本选项不符合题意；
C. 选取该校100名女生，该抽取方式不合适，本选项不符合题意；
D. 选取该校各班座位号尾数为5的学生，该抽取方式合适，本选项符合题意．
故选：D．
7．A
设至多打x折，
由题意得，
解得：．
答：至多打8折．
故选A．
8．C
解：，当，时，
A、，，，故该选项错误，不符合题意；
B、∵m＞n，
∴，,
∴，故该选项错误，不符合题意；
C、∵m＞n，
∴，
又∵，
∴，故该选项正确，符合题意；
D、，，，故该选项错误，不符合题意．
故选C．
9．B
解：，
，
，
为正整数，
∴，
∵，
∴，
∵整数n有且只有8个，
为正整数，
，
故选：B．
10．A
∵的坐标为，
∴……
以此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∵，
∴点的坐标与的坐标相同，为．
故选：A．
11．6
解：，
故答案为：6．
12．
解：该班学会炒菜的学生频数为：．
故答案为：．
13．9
解：∵，
∴（组）
∴可分成9组，
故答案为：9．
14．（答案不唯一）
解：∵命题“若，则”是假命题，
∴，
∴反例的值可以是（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
15．2
解：根据题意，三角形的三边长分别为2，3，3，
则，
所以其面积，
，
，
，
∵面积介于整数和之间，
的值为2．
故答案为：2．
16．或
解：当在上方时，延长、交于点，
由折叠可知，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
当在下方时，延长，交于点，
由折叠可知，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
综上所述：或，
故答案为：或．
17．2
解：
．
18．；数轴见解析
解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以原不等式组的解集是；
在数轴上表示为：
19．(1)
(2)见解析
（1）解：∵，
∴．
∵，
∴．
（2）证明：∵，，
∴，
∴．
∵，
∴．
20．(1)
(2)是，理由见解析
（1）解：当时，，解得，
∴，
∴“如意点”为；
故答案为：；
（2）解：点是“如意点”．理由如下：
当时，，当时，，
∴此时
∴此时满足，
∴点是“如意点”．
21．(1)见解析
(2)
(3)估计该校有900名学生竞赛成绩不低于90分
（1）解：第1小组中，得分为4分的人数为人，
补全条形统计图如下：
（2）解：；
∴在第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角的度数为；
（3）解：（人），
答：估计该校有900名学生竞赛成绩不低于90分．
22．(1)
(2)，
(3)
（1）解：由图形可得：图2的阴影部分的正方形的边长是；
故答案为：；
（2）解：方法1：利用正方形面积面积公式可得；
方法2：利用大正方形的面积减去4个小长方形的面积，可得；
故答案为：，；
（3）解：由（2）可得，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
23．任务1：25；任务2：原来肉类每天碳足迹为，奶制品每天碳足迹为；任务3：的最大值是
解：任务1：设需要种植m棵树才能实现碳中和，依题意，得
，
解得
，
∴至少需要种植25棵树才能实现碳中和．
任务2：设原来肉类每天碳足迹为，奶制品每天碳足迹为
根据题意得，
解得
答：原来肉类每天碳足迹为，奶制品每天碳足迹为．
任务3：动物性食物碳足迹是，
依题意，得，
解得
答：的最大值是．
24．(1)，；(2) ；(3) (，0)或(，0)或(，)或(，)
(1)∵，
∴，，
∴，；
(2)如图1所示，过M作CE⊥轴于E，
∵，，
∴A(-1，0)，B(3，0)，
∴OA=1，OB=3，
∴AB=4，
∵在第三象限内有一点M(-2，m)，
∴ME，
∴S△ABM=AB×ME=×4×()=；
(2)当时，点M的坐标为(，)， S△ABM=，
∴，
设直线BM交轴于C点，
①当点P在轴上时，如图：
∵
解得：PC=，
设直线BM的解析式为，
把点M(，)， B(3，0)代入得：，
解得：，
∴直线BM的解析式为，
当时，，
∴点C的坐标为(，)，
∴OC=，
当点P在点C的下方时，点P的坐标为(，)，即P(，)，
当点P在点C的上方时，点P的坐标为(，)，即(，)，
②当P在轴上且在点A的左侧时，设P点的坐标为(，0)，如图：
∵，
∴PB=2AB，
∵B(3，0)，AB=4，
∴，
∴，
∴P点的坐标为(，0)，
当P在轴上且在点B的D右侧时，设P点的坐标为(，0)，如图：
同理，PB=2AB，
∵B(3，0)，AB=4，
∴，
∴，
∴P点的坐标为(，0)，
综合上述：P点的坐标为(，0)或(，0)或(，)或(，)．
25．（1）110；（2） ①，理由见解析；② 或（3）
解：（1）过点P作，如图1，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：110；
（2）①，
理由：如图2，过P作交于E，
∵，
∴，
∴，
∴；
②如图3所示，当P在延长线上时，设与交于点，
∵
∴
又
∴；
如图4所示，当P在延长线上时，同理可得．
（3）如图5．过点C作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．

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