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吉林省松原市前郭县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列实数，，0，，，，中，无理数有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2.某校为了了解家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，随机对全校100名学生家长进行调查，这一问题中样本是( )
A. 100 B. 被抽取的100名学生家长
C. 被抽取的100名学生家长的意见 D. 全校学生家长的意见
3.用“垂线段最短”来解释的现象是( )
A. 测量跳远成绩 B. 木板上弹墨线
C. 两钉子固定木条 D. 弯曲河道改直
4.若，则下列不等式正确的是( )
A. B. C. D.
5.若关于x，y的方程是二元一次方程，则m的值为( )
A. B. 0 C. 1 D. 2
6.下列各图是由含或的直角三角板组合而成，其中利用内错角相等，画出的有( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
7.命题“如果a，b都是负数，那么”是______命题填“真”或“假”
8.如图，边长为5cm的两个正方形拼在一起，则阴影部分的面积为______
9.如图是前郭县2025年6月日每天最高温度的折线统计图，由此图可知前郭县这10天中，出现气温为的频率是______.
10.若第二象限内的点，满足则点P的坐标是______.
11.《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十;行酒一斗，直钱一十.今将钱三十，得酒二斗.问醇、行酒各得几何 ”其译文是：今有醇酒优质酒斗，价值50钱;行酒劣质酒斗，价值10钱.现有30钱，买得2斗酒.问醇酒、行酒各能买得多少 设醇酒为x斗，行酒为 y斗，则可列二元一次方程组为 .
三、解答题：本题共11小题，共87分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
12.本小题6分
；
13.本小题6分
已知的立方根是2，的算术平方根为3，
分别求a，b，c的值；
若，求的平方根.
14.本小题6分
如图，直线AB，CD交于点O，OF平分，
若，求的度数；
若：：3，求的度数.
15.本小题7分
已知方程组的解x，y满足，且m为非负数，求m的取值范围.
16.本小题7分
如图，在单位正方形网格中，建立了平面直角坐标系xOy，试解答下列问题：
若将向右平移6个单位，再向下平移2个单位后得到，请画出平移后的；
求的面积；
已知第一象限内有两点，平移线段PQ，使点P，Q分别落在两条坐标轴上.请直接写出点P平移后的对应点的坐标.
17.本小题7分
松原市教育局为进一步开展“初中生睡眠管理”工作，对本市部分学生的睡眠情况进行了抽样调查.将数据整理后，设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是：A组：；B组：；C组：；D组：；E组：根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图：
请根据图中信息解答下列问题：
本次共调查了______名学生，在扇形统计图中，C组所对扇形圆心角的度数为______；
该市现有26000名初中生，请估计平均每天的睡眠时间为9小时及以上的学生共有多少人？
根据上述调查数据，简要谈谈你关于“初中生睡眠管理”的看法，并结合自己的实际，提一条合理化的建议.
18.本小题8分
我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”．
，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由．
若三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值．
19.本小题8分
如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面EF，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，
求证：；
若OE平分，，求扶手AB与靠背DM的夹角的度数.
20.本小题10分
综合与实践
问题情境：
数学课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动.如图1，已知，直角三角板ABC中，，将其顶点A放在直线上，并使边于点D，AC与相交于点
试判断边BC与直线的位置关系并说明理由；
操作探究：
如图2，将图1中三角板ABC的直角顶点B放在平行线之间，两直角边AB，CB分别与，相交于点E，F，得到和，试探究与的数量关系并说明理由；
下面是小明不完整的解答过程，请你补充完整.
解：，理由：
过点B作直线，如图4所示.
因为已知
所以______
所以，____________
因为______，
所以
深入探究：
受小明启发，同学们继续探究下列问题.
在图2中作线段EO和FO，使它们分别平分和的对顶角，如图3，请直接写出的度数.
21.本小题10分
随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，“中国智造”的新能源汽车正引领世界潮流，逐渐成为人们喜爱的交通工具.某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售，根据市场调研知，2辆A型汽车和3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车和2辆B型汽车的进价共计95万元.
求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元；
若该4S店计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车两种型号的汽车均购买，则该4S店共有几种购进方案？
若该4S店销售1辆A型汽车可获利万元，销售1辆B型汽车可获利万元，在中的购买方案中，不计其他成本，当购进的新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？
22.本小题12分
如图，四边形ABCD是长方形，边AB在x轴上，轴.已知点A坐标为，点C坐标为动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点C运动，设点P的运动时间为
点D坐标为______；
连接PC，当直线PC将长方形ABCD的面积分为1：2的两部分时，求x的值；
连接OP，OD，直接写出三角形OPD的面积为3时，点P的坐标.
答案和解析
1.C
解：，
无理数为：，，，共3个．
故选
2.C
解：某校为了了解家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，随机对全校100名学生家长进行调查，这一问题中样本是：被抽取的100名学生家长的意见．
故选：
3.A
解：A、测量跳远成绩是利用了“垂线段最短”，故本选项符合题意；
B、木板上弹墨线是利用了“两点确定一条直线”，故本选项不合题意；
C、两钉子固定木条是利用了“两点确定一条直线”，故本选项不合题意．
D、把弯曲的河道改直，就能缩短路程是利用了“两点之间，线段最短”，故本选项符合题意；
故选：
4.B
解：A、，，不符合题意；
B、，，符合题意；
C、，，不符合题意；
D、，，不符合题意；
故选：
5.A
解：由题意得：，且，
解得：，
故选：
6.B
解：由同位角相等，两直线平行，可以画出，故不符合题意；
，由内错角相等，两直线平行，可以画出，故符合题意；
，由同旁内角互补，两直线平行，可以画出，故不符合题意；
，由内错角相等，两直线平行，可以画出，故符合题意．
故选：
7.假
解：当a，b都是负数时，，
则命题“如果a，b都是负数，那么”是假命题，
故答案为：假．
8.25
解：通过观察可以发现，左边正方形左上部的空白部分与右边正方形左上部的阴影部分大小一样，只需将右边正方形左上部的阴影部分平移到左边正方形左上部的空白部分，所有的阴影部分便构成了一个正方形，所以阴影部分的面积是
故答案为：
9.
解：由频数分布折线图知，共有10个数据，其中出现3次，
所以出现气温为的频率是，
故答案为：
10.
解：点在第二象限，
，，
，
，，
，，
，，
点P的坐标是
故答案为
11.
解：依题意得：，
故答案是：
12.；
10或
原式
；
，
，
所以或
13.解：的立方根是2，的算术平方根为3，
，，
解得：，，
，
；
若，则，
，，
，
的平方根是
14.解：由条件可知，
，
，
，
；
由条件可知，
：：3，
，
，
，
平分，

15.
解：
①+②，得：，
，
，即，
解得，，
又，
16.见解析；
6；
点P平移后的对应点的坐标是或
即为所求；
的面积；
设平移后点P、Q的对应点分别是、
分两种情况：
①在y轴上，在x轴上，
则横坐标为0，纵坐标为0，
把线段PQ向左平移3个单位长度，再向下平移n个得到线段，
点P平移后的对应点的坐标是；
②在x轴上，在y轴上，
则纵坐标为0，横坐标为0，
，
点P平移后的对应点的坐标是；
综上可知，点P平移后的对应点的坐标是或
17.100，；
91000人；
建议增加学生睡眠时间答案不唯一
本次共调查了学生：名，
C组所对应的扇形圆心角的度数为：，
故答案为：100，；
人，答：平估计平均每天的睡眠时间为9小时及以上的学生共有91000人；
根据上述调查数据，平均每天的睡眠时间为9小时及以上的学生人数占比较小，建议增加学生睡眠时间答案不唯一
18.解：，，这三个数是“完美组合数”，理由如下：
因为，，，
所以，，这三个数是“完美组合数”；
因为，
所以分两种情况讨论：
①当时，，
所以；
②当时，，
所以不符合题意，舍；
综上，m的值是
19.证明：，，
，
；
解：与底座CD都平行于地面EF，
，
，
，
，
平分，
，
，
，

20.证明见解析过程；
，理由见解析过程；
理由见解答过程．
解：，
理由：，，
，
；
，理由：
过点B作直线，如图4所示．
因为已知
所以平行于同一条直线的两条直线平行
所以，两直线平行，同位角相等
因为，
所以，
故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行，，两直线平行，同位角相等，
，理由如下：
如图3，过点O作，则，
，，
，，，
，
和FO分别平分和，
，，
，
，
即
21.A汽车进价为25万元，B汽车进价为10万元；
方案一：购买A汽车6辆，B汽车5辆；方案二：购买A汽车4辆，B汽车10辆；方案三：购买A汽车2辆，B汽车15辆；
购买A汽车2辆，B汽车15辆，利润最大，为万元．
设A汽车进价为x万元，B汽车进价为y万元，
，
，
答：A进价为25万元，B进价为10万元；
设购买A汽车a辆，B汽车b辆，
，
，根据都为正整数可得：
，且2b为5的倍数，
或或，
则或或，
方案一：购买A汽车6辆，B汽车5辆；
方案二：购买A汽车4辆，B汽车10辆；
方案三：购买A汽车2辆，B汽车15辆；
根据题意算出每种方案利润比较如下：
方案一：购买A汽车6辆，B汽车5辆，
利润为万元；
方案二：购买A汽车4辆，B汽车10辆；
利润为万元；
方案三：购买A汽车2辆，B汽车15辆；
利润为万元，
故选择方案三：购买A汽车2辆，B汽车15辆，利润最大，为万元．
22.；
x的值为或；
或
解：四边形ABCD是矩形，，，
，，
，
故答案为：；
如图1中，当点P在线段AB上时，
由题意，，
，
如图2中，当点P在线段AD上时，
由题意，，
，
综上所述，满足条件的x的值为或；
如图3中，
当点P与A重合时，的面积为3，此时，
过点A作交CD于点，此时，的面积为3，
，
综上所述，满足条件的点P的坐标为或

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