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2.2 等差数列
知识梳理
1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差，常用字母“d”表示。
⑴公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
⑵对于数列{},若－=d (与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N，则此数列是等差数列，d 为公差
2．等差数列的通项公式：
①普通式：；
②推广式：；
③变式：；
；；
注：等差数列通项公式的特征：等差数列的通项公式为关于项数n的次数不高于一次的多项式函数即an=An+B(若{an}为常数列时,A=0).
3．如果a,A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项；且。
是等差数列
4．等差数列的单调性：由等差数列的定义知an+1－an=d,
当d＞0时an+1＞an即{an}为递增数列；
当d=0时，an+1=an即{an}为常数列；
当d＜0时，an+1＜an即{an}为递减数列.
注：等差数列不会是摆动数列.
5．已知是等差数列，若，则
第一课时：
典例剖析
题型一 等差数列的通项公式
例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项
⑵ 401是不是等差数列5，9，13…的项？如果是，是第几项？
解：⑴由 ， n=20，
得
⑵由 ，
得数列通项公式为：
由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，
使得成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项。
评析：只要已知等差数列的两个条件，就可求出等差数列的通项公式。
题型二 等差数列通项公式的形式
例2. 已知数列{}的通项公式，其中、是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？
解：当n≥2时, （取数列中的任意相邻两项与（n≥2））
为常数
∴{}是等差数列，首项，公差为p。
评析：由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看（n≥2）是不是一个与n无关的常数。
①若p=0，则{}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…
②若p≠0, 则{}是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.
③数列{}为等差数列的充要条件是其通项=pn+q (p、q是常数)。
备选题
例3. 如图，三个正方形的边ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ的长组成等差数列，且ＡＤ＝２１ｃｍ，这三个正方形的面积之和是１７９ｃｍ２．
（１）求ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ的长；
（２）以ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ的长为等差数列的前三项，以第１０项为边长的正方形的面积是多少？
【解】
设公差为ｄ（ｄ＞０），ＢＣ＝x，则ＡＢ＝x－ｄ，ＣＤ＝x＋ｄ．
由题意得
解得或（舍去）
ＡＢ＝３（ｃｍ），ＢＣ＝７（ｃｍ），ＣＤ＝１１（ｃｍ）
（２）正方形的边长组成首项是３，公差是４的等差数列｛ａｎ｝，所以
ａ１０＝３＋（１０－１）×４＝３９．
ａ２１０＝３９２＝１５２１（ｃｍ２）．
所求正方形的面积为１５２１ｃｍ２．
评析：等差数列的通项公式的求出后，其余的量也就随着确定。
点击双基
1．已知等差数列{an}的通项公式an=3-2n，则它的公差为 （　　）
A．2 B．3 C．-2 D．-3
解：公差为-2，故选C
2．在数列{an}中，a1=2，2an+1=2an+1，则a101的值为 （　　）
A．49 B．50 C．51 D．52
解：，故选D
3. 等差数列中， ,则的值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
解：，故选D
4．已知数列是等差数列，求未知项
解:,
5.在数列中，，且对任意大于1的正整数，点在直 上，则=_____________.
解：
课外作业
一、选择题
1.数列｛an｝的通项公式an＝2n＋5，则此数列（ ）
A.是公差为2的等差数列 B.是公差为5的等差数列
C.是首项为5的等差数列? D.是公差为n的等差数列
解：是公差为2的等差数列 ，故选A
2．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（　 ）
A．92 B．47 C．46 D．45
解：首项为1，公差为2的等差数列，an＝2n＋3，89=2n＋3，，故选C
3. △ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则B等于 （　　）
A．30° B．60° C．90° D．120°
解：，故选B
4.已知等差数列的公差为d，则（为常数且）是（ ）
A、公差为d的等差数列 B、公差为的等差数列
C、非等差数列 D、以上都不对
解：，故选B
5.等差数列的前三项依次为，，，则它的第5项为（ ）
A、 B、 C、5 D、4
解：，它的第5项为4，故选D
6.设等差数列中，,则的值等于（ ）
A、11 B、22 C、29 D、12
解：，故选C
7.已知等差数列的首项，第10项是第一个比1大的项，则公差d的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
解：，，故选D
8.设等差数列中，已知，，，则是（ ）
A、48 B、49 C、50 D、51
解：，，，故选C
二、填空
9.在－1和8之间插入两个数a,b，使这四个数成等差数列，则公差为
解：d==3
10. 等差数列中, 则的公差为_____________
解：
11. 等差数列中, 则_________
解：
三、解答
12．在等差数列中, 求的值．
解：解：
∴
13. 成等差数列的四个数的和为，第二数与第三数之积为，求这四个数
解：设四数为，则
即，
当时，四数为
当时，四数为
14. 已知等差数列{an}中,公差d>0,且满足a2·a3=45,a1+a4=14,求数列{an}的通项公式.
解:∵a1+a4=14,
∴a2+a3=14.
由
解得或
∵d>0, ∴
∴d=4, an=5+(n-2)×4=4n-3.
思悟小结
1、深刻理解等差数列的定义，紧扣从“第二项起”和“差是同一常数”这两点.
2、等差数列中，已知四个元素a1，an，n，d，中的任意三个，便可求出其余两个.
3、等差数列的判断方法：定义法或
第二课时：
典例剖析
题型一 求等差数列的项
例1. 在等差数列{}中，若+=9, =7, 求 , .
解：∵ {an }是等差数列
∴ +=+ =9=9－=9－7=2
∴ d=－=7－2=5
∴ =+(9－4)d=7+5*5=32 ∴ ? =2, =32
评析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式。而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项。
题型二 等差数列的通项公式
【例2】在等差数列中，已知，，求
【解法一】：∵，，则

∴
【解法二】：


评析：等差数列的通项公式涉及到四个量a1、an、n、d，用方程的观点知三求一。列方程组求基本量是解决等差数列问题的常用方法，注意通项公式更一般的形式
备选题
【例3】若，则成等差数列。
【证明】由得
，
即，，
成等差数列。
评析：当已知a、b、c成等差数列时，通常采用2b=a+c作为解决问题的出发点.
点击双基
1．已知｛an｝是等差数列，a7+a13=20，则a9+a10+a11=（ ）
A.36 B.30 C.24 D.18
解：由a7+a13=20，，a9+a10+a11=，故选B
2、已知等差数列中，的值是( )
( )
A 15 B 30 C 31 D 64
解：已知等差数列中，
又，故选C
3、是首项=1，公差为=3的等差数列，如果=2005，则序号等于( )
A 667 B 668 C 669 D 670
解：是首项=1，公差为=3的等差数列，如果=2005，则1+3(n－1)=2005，
故n=669，故选C
4.等差数列中，的等差中项为，的等差中项为，则 .
解：，，
5、等差数列1，－3，－7，－11，…的通项公式是_________
解： ；-75
课外作业
一、选择题
1. 设等差数列中，,则的值等于（C ）
A、11 B、22 C、29 D、12
解：也成等差数列，=29，故选C
2.在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=450，则a2+a8等于（ ）
A.45 B.75 C.180 D.300
解：a3+a4+a5+a6+a7=450， a2+a8，故选C
3. 等差数列{an}中，若a2+a4+a9+a11=32，则a6+a7= ( )
（A）9 （B）12 （C）15 （D）16
解：a2+a4+a9+a11=32，，
故选D
4. 设是公差为正数的等差数列，若，，
则( )
A． B． C． D．
解：,,
,故选B
5. 若等差数列的公差，则 （ ）
（A） （B）
（C） （D） 与的大小不确定
解：，故选B
6. 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是?（ ）
A.d＞ B.d＜3 C. ≤d＜3 D.＜d≤3
解：，＜d≤3，故选D
7、在等差数列中，，
则为（ ）
A B C D
解：，
，故选C
8、已知方程（x2－2x+m）（x2－2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，
则|m－n|等于（ ）
A.1 B. C. D.
解：设4个根分别为x1、x2、x3、x4，则x1+x2=2，x3+x4=2，由等差数列的性质，当m+n=p+q时，am+an=ap+aq.设x1为第一项，x2必为第4项，可得数列为，，，，∴m=，n=.∴|m－n|=，故选C
二、填空
9.已知等差数列的第10项为23，第25项为－22，则此数列的通项公式为an＝
解：
10. 若等差数列中，则
解：
11、已知数列中，，，则数列通项__________
解：是以为首项，以为
公差的等差数列，
三、解答
12. 等差数列中，，（），求的值。
解：公差d=
13．已知数列为等差数列，且 求数列的通项式。
解:设等差数列的公差为d.
由即d=1.
所以即
14．数列中，，，求数列的通项公式
解：解：∵ ∴
∴ 即
∴ 数列是首项为，公差为的等差数列
∴
由已知可得 ∴
思悟小结
1、等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且
2、为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；偶数个数成等差，可设为…，,…（公差为2）
3、当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。
4、当时,则有，特别地，当时，则有.
5、若、是等差数列，则、 (、是非零常数)、、 ，…也成等差数列，而成等比数列；

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