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章末测试
一、选择题(本大题共10小题，第小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符是合题目要求的．)
1．在△ABC中，已知AB=5，AC=6，BC=，则A= （ ）
A B C D
解:cosA= A=
答案：A
2．在中,,，则等于（　　　）
（Ａ）或 （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）以上都不对
解： sinB===B=或（不合）
答案：C
3．三角形两边分别为5和3，他们夹角的余弦是方程5x-7x-6=0的根，则三角形的面积是（ ）
A. 12 B. 6 C. 24 D. 4
解：方程5x-7x-6=0的根为-或2，余弦值为-，则正弦值为。则三角形的面积为=6
答案：B
4在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是 ( )
A等腰直角三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等边三角形
解：由2cosBsinA=sinC得×a=c，∴a=b
答案：C
5.在△ABC中，周长为7.5cm，且sinA：sinB：sinC＝4：5：6,下列结论：
① ②
③ ④
其中成立的个数是 ( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解：sinA：sinB：sinC＝①正确，②错误。又△ABC周长为7.5cm
且，③正确，④错误
答案：C
6.已知△ABC的三边长分别是2m+3,m+2m, m+3m+3(m>0),则最大内角的度数是（ ）
A. 150 B. 120 C. 90 D. 135
解：依题意可知m+3m+3所对的角为最大角，设为，则cos=-, 120
答案：B
7在△ABC中，b=asinC,c=acosB,则△ABC一定是（ ）
等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
解：由c=acosB得c=a,a△ABC直角三角形b=asinC=a=c
ABC等腰直角三角形
答案：D
8在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是
Ab=20，A=45°，C=80° Ba=30，c=28，B=60°
Ca=14，b=16，A=45° Da=12，c=15，A=120°
解：由a=14，b=16，A=45°及正弦定理，得=，所以sinB=因而B有两值
答案：C
9．在△ABC中，已知，，B=，则 （ ）
A 2 B C D
解：由得sinC=ca=2+1-2(-)=2+, a=
答案：B
10△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果2b=a+c，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b等于 ( )
A B1+ C D2+
解：∵2b=a+c平方得a2+c2=4b2－2ac
又△ABC的面积为，且∠B=30°，
故由S△ABC=acsinB=acsin30°=ac=，得ac=6∴a2+c2=4b2－12
由余弦定理，得cosB====，
解得b2=4+2又b为边长，∴b=1+
答案：B
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上．）
11已知（a+b+c）（b+c－a）=3bc，则∠A=_______
解：由已知得（b+c）2－a2=3bc，∴b2+c2－a2=bc
∴=∴∠A=
答案：
12．在△ABC中，tanB＝1，tanC＝2，b＝100，则c＝ .
解：由tanB＝1，tanC＝2，得sinB= ,sinC=,由得c=40
答案：40
13在锐角△ABC中，边长a=1，b=2，则边长c的取值范围是_______
解：若c是最大边，则cosC＞0∴＞0，∴c＜
又c＞b－a=1，∴1＜c＜
答案：（1，）
14在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S=（a2+b2－c2），则∠C的度数是_______
解：由S=（a2+b2－c2）得absinC=·2abcosC∴tanC=1∴C=
答案：45°
15在△ABC中，若∠C=60°，则=_______
解：== （*）
∵∠C=60°，∴a2+b2－c2=2abcosC=ab∴a2+b2=ab+c2
代入（*）式得=1
答案：1
三、解答题（本大题共5小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.在△ABC中，若sinA＝，试判断△ABC的形状.
解：∵sinA＝，∴cosB＋cosC＝，
应用正、余弦定理得＋＝，
∴b（a2c2－b2）＋c（a2－b2c2）＝2bc（b＋c），
∴a2（b＋c）－（b＋c）（b2－2bc＋c2）＝2bc（b＋c）
即a2＝b2＋c2
故△ABC为直角三角形.
17如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动
赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数
y=Asinx(A>0, >0) x[0,4]的图象，且图象的最高点为
S(3，2)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛
运动员的安全，限定MNP=120
（I）求A , 的值和M，P两点间的距离；
（II）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？
解法一
（Ⅰ）依题意，有，，又，。
当 是，
又
（Ⅱ）在△MNP中∠MNP=120°，MP=5，
设∠PMN=，则0°<<60°
由正弦定理得
,
故
0°<<60°，当=30°时，折线段赛道MNP最长
亦即，将∠PMN设计为30°时，折线段道MNP最长
解法二：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）在△MNP中，∠MNP=120°，MP=5，
由余弦定理得∠MNP=
即
故
从而，即
当且仅当时，折线段道MNP最长
18. 在中，内角对边的边长分别是,已知.
(1)若的面积等于，求，；
(2)若，求的面积.
解（1）由余弦定理及已知条件得，，
又因为的面积等于，所以，得．
联立方程组解得，．
（2）由题意得，即，
当时，，，，，
当时，得，由正弦定理得，
联立方程组解得，．
所以的面积．
19.如图，在海岸A处，发现北偏东45方向距A为（）n mile的B处有一艘走私船。在A处北偏西75°方向，距离A为2 n mile的C处的我方缉私艇奉命以
向北偏东30°方向逃窜。问：缉私艇沿什么方向行驶，才能在最短时间内追上走私船？并求出所需时间。
解：设缉私艇追上走私船需t h，由余弦定理，得：


由正弦定理，得：

∴∠ABC＝45°
向A点的正北方向作直线，交BC于E点
则在△AEB中，可得∠AEB＝90°
则可知C处恰在B处的正西方



答：
20已知△ABC中，2（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，外接圆半径为
（1）求∠C；（2）求△ABC面积的最大值.
解：（1）由2（sin2A－sin2C）=（a－b）·sinB
得2（－）=（a－b）
又∵R=，∴a2－c2=ab－b2∴a2+b2－c2=ab∴cosC==
又∵0°＜C＜180°，∴C=60°
（2）S=absinC=×ab=2sinAsinB=2sinAsin（120°－A）
=2sinA（sin120°cosA－cos120°sinA）=3sinAcosA+sin2A
=sin2A－sin2Acos2A+=sin（2A－30°）+
∴当2A=120°，即A=60°时，Smax=

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