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第四课时：余弦定理（二）
知识梳理
1．余弦定理：
(1)形式一：，，
形式二：，，，（角到边的转换）
2.解决以下两类问题：
1）、已知三边，求三个角；（唯一解）
2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）
3.三角形ABC中
典例剖析
题型一：利用余弦定理解三角形
例1在中，已知，，，，求c.
解∵且，∴为钝角，，
由余弦定理知，∴
即，解得或（舍去）
∴.
评述 已知三角形的三边或两边和一角可应用余弦定理求解。熟练掌握余弦定理是解题的关键，同时还要注意方程思想的运用。
题型二：判断三角形的形状
例2在中，若，试判断的形状.
解：方法一：
由正弦定理和已知条件得：，
∵，∴，即，
∵B、C为的内角，∴，
故为直角三角形.
方法二：
原等式变形为：，
即：，
由余弦定理得：
故为直角三角形.
评述：判断三角形的形状，一般是从题设条件出发，根据正弦定理、余弦定理进行边角变换，全化为边的关系或全化为角的关系，导出边或角的某种特殊关系，然后利用平面几何知识即可判定三角形的形状。
备选题：余弦定理的应用
例3：已知A、B、C是△ABC的三个内角，且满足（sinA＋sinB）2－sin2C＝3sinAsinB
求证：A＋B＝120°
证明：由（sinA＋sinB）2－sin2C＝3sinA·sinB
可得sin2A＋sin2B－sin2C＝sinA·sinB
又∵sinA＝，sinB＝，sinC＝，
∴＋－＝·
整理得a2＋b2－c2＝ab
∴cosC＝＝
又0°＜C＜180°，∴C＝60°
∴A＋B＝180°－C＝120°
评述：（1）有关三角形内角的证明，选择余弦值与正弦值相比较，要省去取舍的麻烦.但注意在根据三角函数值求角时，应先确定角的范围；
（2）在将已知条件中角的关系转化为边的关系时，运用了正弦定理的变形式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，这一转化技巧，要求熟练掌握.
（2）解法二中用到了三角函数中两角差的正弦公式，但应注意在根据三角函数值求角时，一定要先确定角的范围.另外，也可运用同角三角函数的商数关系，在等式sinB·cosA＝sinAcosB两端同除以sinAsinB得cotA＝cotB，再由0＜A，B＜π，而得A＝B.
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1.在在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=,则AC边上的高为（ ）
A. B. C. D,
解：由余弦定理知：cosA===,A=
AC边上的高为ABsinA=
答案：B
2.在在△ABC中,已知其面积S=（a）,则角C的度数为（ ）
A. 135 B. 45 C. 60 D. 120
解：S=（a），absinC=（a）sinC=
即sinC=cosC,tanC=1C=45
答案：C
3．在△ABC中，若，则其面积等于（ ）
A． B． C． D．
解：
答案：D
4.. 已知锐角三角形的三边长分别为2、3、，则的取值范围是 ．
解：在锐角三角形中，
答案：
5．在△ABC中，若，则
解：
答案：120
课后作业
1若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段能组成（ ）三角形。A.锐角 B.钝角 C.直角 D.等腰
解：长为7的边所对角最大，设它为， 则

答案：A
2.△ABC中，若a4+b4+c4=2(a2+b2)c2 则∠C的度数（ ）A、600 B、450或1350 C、1200 D、300
解：由a4+b4+c4=2(a2+b2)c，得 a4+b4+c4-2a2c-2b2c=0
(a)= a4+b4+c4-2a2c-2b2c+2bc=2bc, a=
==,C=450或1350
答案：B
3.设a,a+1,a+2是钝角三角形的三边，则a的取值范围是 ( )A. B. C. D.4解：a,a+1,a+2是钝角三角形的三边，则（a+2）>a+(a+1)，a<0
-10
答案：A
4. △ABC中，a,b,c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若<0,则△ABC （ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角或钝角三角形
解：由余弦定理得cosC<0,C是钝角
答案：C
5.已知△ABC的三边满足（a+b+c）(a+b-c)=3ab,则C的度数为（ ）
A. 15 B. 30 C. 45 D. 60
解：由条件将a+b看作一个整体，利用平方差公式得到（a+b）-c=3ab,化简整理，得
a=ab,cosC===,C= 60
答案：D
6.在△ABC中，cos=,则△ABC的形状是（ ）
A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形
解：根据余弦的二倍角公式变形式，原式可化为=，cosA=
=,a+b=c△ABC为直角三角形
答案:B
7.在△ABC中，若，，C=，则此三角形有( )
A. 一解 B. 两解 C. 无解 D. 无法判断
解：由余弦定理得：
负值不合题意，舍去。
答案：A
8. 若的周长等于20，面积是，，则边的长是（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
解：由三角形面积，得，
又∵的周长等于20，∴
由余弦定理得：==
∴，解得.
答案：C
二．填空题
9.在△ABC中，A=600,最大边和最小边的长是方程的两实根，那么BC边长等于 .
解： A=600最大边和最小边为b,c, 最大边和最小边的长是方程的两根，b+c=9,bc=, a=b+c-2bccosA=(b+c)-2bc-2bccosA=49, a=7
答案：7
10.在△ABC中，a=1,B=450,,则△ABC的外接圆的直径是 .
解：S =acsinB=c,c=4,=25
2R===5
答案：5
11.在△ABC中,,则角A= .
解：由得，
又=-，A=120
答案：120
三．解答题
12. 在四边形ABCD中，四个角A、B、C、D的度数的比为3:7:4:10，求AB的长。
解：设四个角A、B、C、D的度数分别为3x、7x、4x、10x
则有
解得

连BD，在中，由余弦定理得：



是以DC为斜边的直角三角形





13.在△ABC中，bcosA＝acosB，试判断三角形的形状.
解法一：利用余弦定理将角化为边.
∵bcosA＝acosB
∴b·＝a·
∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2
∴a2＝b2 ∴a＝b
故此三角形是等腰三角形.
解法二：利用正弦定理将边转化为角.
∵bcosA＝acosB
又b＝2RsinB，a＝2RsinA
∴2RsinBcosA＝2RsinAcosB
∴sinAcosB－cosAsinB＝0
∴sin（A－B）＝0
∵0＜A，B＜π，∴－π＜A－B＜π
∴A－B＝0，即A＝B
故此三角形是等腰三角形.
14.在中，角所对的边分别为，且满足， ．
（I）求的面积； （II）若，求的值．
解析：（I）因为，，又由，得， 21世纪教育网
（II）对于，又，或，由余弦定理得， w.w.w.k.s.5.u.c.

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