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第三课时：余弦定理（一）
知识梳理
余弦定理：
(1)形式一：，，
形式二：，，，（角到边的转换）(2)解决以下两类问题：
1）、已知三边，求三个角；（唯一解）
2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）
题型一 根据三角形的三边关系求角
例1．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝(＋1)∶(－1)∶，求最大角.
解：∵＝＝＝k
∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝(+1)∶(－1)∶
设a＝(＋1)k，b＝(－1)k，c＝k (k＞0)
则最大角为C.cosC＝
＝＝－
∴C＝120°.
评析：在将已知条件中角的关系转化为边的关系时，运用了正弦定理的变形式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，这一转化技巧，应熟练掌握.在三角形中，大边对大角，所以角C最大。
题型二 已知三角形的两边及夹角解三角形
例2.在△ABC中，=，=，且，是方程的两根，。
求角C的度数；
求的长；
（3）求△ABC的面积。
解：(1)
（2）因为，是方程的两根，所以

（3）
评析：在余弦定理的应用中，注意与一元二次方程中韦达定理的应用。方程的根往往不必直接求出，要充分利用两根之和与两根之差的特点。
备选题 正、余弦定理的综合应用
例3.在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且 求b
解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得.
解法二:由余弦定理得: .又,。
所以…………………………………①
又，
，即
由正弦定理得，故………………………②
由①，②解得。
评析:从近年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.
例3．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，，，证明：
。
证明：由余弦定理知：
，
则
，
整理得:
，
又由正弦定理得:
， ，


评析：三角形中的证明，应充分利用正、余弦定理，三角函数的公式，在边、角关系中，明确证明思路，都化为边的关系或都化为角的关系。
. 点击双基
1．在△ABC中，若a=2, b=2, c=+,则∠A的度数是 ( )
(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75°
解：=，A=30°
答案：A
2．在△ABC中，若则 ( )
A． B． C． D．
解：

答案：B
3. 在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是（ ）
A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
解：由2cosBsinA=sinC得×a=c，∴a=b.
答案：C
4．在△ABC中，若∶∶∶∶，则_____________。
解：∶∶∶∶∶∶，
令
答案：
5. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知 则A＝ .
解：由余弦定理可得，
∴
答案：
课后作业
1．边长为的三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A． B． C． D．
解： 设中间角为，则为所求
答案：B
2. 以4、5、6为边长的三角形一定是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角或钝角三角形
解：长为6的边所对角最大，设它为， 则

答案：A
3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
解：设顶角为C，因为，
由余弦定理得：
答案：D
4.在中，角A、B、C的对边分别为、、，若，则角B的值为（ ）
A. B. C.或 D. 或
解：由得即
,又B为△ABC的内角，所以B为或
答案：D
5．在△ABC中，若，则最大角的余弦是（ ）
A． B． C． D．
解： ，为最大角，
答案：C
6. 在中，，则三角形为（ ）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 等腰三角形 D. 等边三角形
解：由余弦定理可将原等式化为


答案：C
7.的内角的对边分别为，若，则等于（ ）
A． B．2 C． D．
解：由余弦定理得，，6=a+2+aa=或-2（舍去）
答案：D
8. 三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程的根，则三角形的另一边长为（ ）
A. 52 B. C. 16 D. 4
解：由题意得或2（舍去）
答案：B
二．填空题
9.△ABC中，若，则A=
解：= A=
答案：
10．在△ABC中，若则△ABC的形状是_________。
解： 为最大角，为锐角
答案：锐角三角形
11．在锐角△ABC中，若，则边长的取值范围是_________。
解：
答案：
三．解答题
12.在△ABC中：
(1)已知b＝8，c＝3，A＝60°，求a；
(2)已知a＝20，b＝29，c＝21，求B；
(3)已知a＝3，c＝2，B＝150°，求b；
(4)已知a＝2，b＝，c＝＋1，求A.
解：(1)由a2＝b2＋c2－2bccosA得
a2＝82＋32－2×8×3cos60°＝49，∴a＝7.
(2)由cosB＝得
cosB＝＝0，∴B＝90°.
(3)由b2＝a2＋c2－2accosB得
b2＝(3)2＋22－2×3×2cos150°＝49，∴b＝7.
(4)由cosA＝得
cosA＝＝，∴A＝45°.
13在△ABC中，，求。
解：
，而
所以
14半径为R的圆外接于△ABC，且2R(sin2A-sin2C)＝(a-b)sinB．求角C；
解：(1)∵　
∵　2R(sin2A-sin2C)＝(a－b)sinB
∴　2R［()2-()2］＝(a-b)·∴　a2-c2＝ab-b2
∴　∴　cosC＝，∴　C＝30°

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