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2024-2025学年内蒙古呼和浩特二中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则角是( )
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
2.在中，已知，，，则( )
A. B. C. D.
3.已知单位向量，满足，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
4.下列函数中周期不是的是( )
A. B. C. D.
5.函数，在一个周期内的图象如图所示，、分别是图象的最高点和最低点，其中点横坐标为，为坐标原点，且，则，的值分别是( )
A. ， B. ， C. ， D.
6.已知，且，则( )
A. B. C. D.
7.函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
8.已知向量，满足，，，则向量在方向上的投影向量坐标为( )
A. B. C. D.
9.在中，已知，，则周长最大值为( )
A. B. C. D.
10.已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
11.已知向量，，设与的夹角为，则( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则与的夹角为 D. 若与垂直，则
12.函数的部分图象如图所示，下列结论正确的是( )
A.
B.
C. 的图象的一个对称中心为
D. 的图象向左平移个单位后得到一个关于轴对称的图象
13.已知，，为的内角，，的对边，则下列命题中正确的是( )
A. 在中，是的充要条件
B. 若，则必是等腰三角形
C. 在锐角中，不等式恒成立
D. 若，则必是等边三角形
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
14.已知，则______．
15.满足等式的数组有无穷多个，试写出一个这样的数组______．
16.若向量，满足，则的最小值为 ．
17.已知函数，若方程在上恰好存在个实数根，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
已知，且、．
若，求的值；
若，求的值．
19.本小题分
如图，以为坐标原点，建立直角坐标系，扇形的圆心角为，，点为线段的中点，点为弧上任意一点．
若，试用向量、表示向量；
设，若函数，求函数的最大值，及取到最大值时点的坐标．
20.本小题分
已知的内角、、所对边的长分别为、、满足．
求角；
若，且，求、边．
21.本小题分
已知向量，．
若，求的值；
若函数；
求的值域；
当取最小值时，求与垂直的单位向量的坐标．
22.本小题分
如图，在中，，是斜边上的一点，，．
若，求和的面积；
若，求的值．
参考答案
1.
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14.
15.
16.
17.
18.根据为锐角，，可得，
由，，可得，
所以；
由知，
根据，，可得，
所以，
结合，可得．
19.已知以为坐标原点，扇形的圆心角为，，点为线段的中点，点为弧上任意一点．
当时，点坐标为，
即，
由题意得，，，，
所以，
所以．
由题意得，，，
则，
所以，
其中为锐角，且，
由，得，
当，即时，，
此时，
即点，
综上，函数的最大值为，取到最大值时点的坐标为．
20.因为，
所以，
又因为，
可得，可得，
而为三角形内角，
所以；
由于，
所以，
所以，
所以或，
若，而为三角形内角，可得，可得，
可得，此时可得，；
若，则，由，可得，
可得，，
综上，，或，．
21.因为，，且，
所以，即
整理得，即，
两边平方得：，解得；
因为，，
所以
，
设，
因为，所以，
所以，即，
(ⅰ)设，
因为的图象开口向上，对称轴为，
所以，，
所以的值域为；
(ⅱ)当取最小值时，即，，此时，，
设，因为单位向量与垂直，
所以，解得 或，
所以或．
22.解：因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，，
所以；
设，
所以，
所以，
因为，可得，
所以，
所以，
所以，可得，
所以．
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