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第二课时：正弦定理（二）
知识梳理
1.在△ＡＢＣ中，A>Ba>bsinA>sinB
2.在△ＡＢＣ中，A+B+C=, ,
,
3.若为锐角，则＞A>-BsinA>cosBcosA4.=ah( h表示a边上的高)
5.正弦定理的另一个作用是能够进行边角互化，应用此法可根据条件判断三角形形状或证明三角形中的公式，但要注意三角形和三角函数的有关知识。
题型一 判断三角形的形状
【例1】在△ＡＢＣ中，已知＝＝，试判断△ＡＢＣ的形状．
【解】令＝ｋ，由正弦定理，得
代入已知条件，得＝＝　　，即tanＡ＝tanＢ＝tanＣ．
又Ａ，Ｂ，Ｃ∈ （０，π），
所以Ａ＝Ｂ＝Ｃ，从而△ＡＢＣ为正三角形．
点评: 　判断三角形的形状，必须深入研究边与边的大小关系，角与角的大小关系，是否角相等？有无直角或钝角?一般有两种转化方向，要么转化为边，要么转化为角。通过正弦定理，可以实现边角互化．
题型二 正弦定理的应用
例2. 在△ＡＢＣ中，tanA=,tanB=,且最长边的长为l,求：（1）角C,（2）最短边的长
解：（1） tan（A+B）==1,C=
（2）tanA>tanB，且C为钝角，故b最小，c最大，由tanB=得sinB=
由正弦定理得，最短边长b=l
点评: 利用正弦定理解三角形中，要注意三角形和三角函数的有关知识。
备选题 正弦定理的综合应用
例3 已知△ABC的面积为1，tanB=,tanC=-2,求△ABC的边长以及△ABC外接圆的面积。
解： tanB=，0又tanC=-2,则sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=(―)+=
, a==b
则S=absinC=b=1
解得b=,于是a=
再由正弦定理得c==
外接圆的直径2R==
R=,于是外接圆的面积的面积S==
点评 综合应用同角三角函数关系式，正弦定理和三角形的面积公式进行计算。
点击双基
1．在△ABC中，角均为锐角，且则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
解 都是锐角，则
答案C
2.在中，，则 ( )
A． B． C． D．
解： A=120,B=C=30
答案：D
3．在△ABC中，若，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．不能确定 D．等腰三角形
解.

答案:B
4.在△ABC中，若则一定大于，对吗？填_________（对或错）
解： 则
答案 对
5．在△ABC中，若_________。
解：
答案：
课后作业
一、选择题
1．在△ABC中，若，，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B。等腰或直角三角形 C。等腰直角三角形 D。等腰三角形
解：a=b+cA=90B+C=90,cosC=sinB
又 sinB=,B=45=C
答案：C
2. 在△ABC中，已知b = 6，c = 10，B = 30°，则解此三角形的结果是 （　　 ）
A.无解 B.一解 C.两解 D.解的个数不能确定
解：=， sinC==,有两解
答案：C
3. 已知△ABC中，，，三角形面积，则角A等于（ ）
A. B. C. 或 D. 或
解：由可得，∴或.
答案：D
4.已知△ABC中，a∶b∶c＝1∶∶2，则A∶B∶C等于(　 )
A．1∶2∶3 B．2∶3∶1 C．1∶3∶2 D．3∶1∶2
解：a∶b∶c＝1∶∶2c=a+b△ABC是直角三角形且C=90，A=30,B=60
答案：A
5．在△ABC中，若，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．不能确定 D．等腰三角形
解：
，
答案：等腰三角形
6．在△ABC中，∠A=60°, a=, b=4, 那么满足条件的△ABC ( )
(A) 有 一个解 (B) 有两个解 (C) 无解 (D)不能确定
解：bsinA=2 a< bsinA 不能构成三角形
答案：D
7. 已知、、为的三个内角、、的对边，向量，．若，且，则角、的大小分别
为（ ）
A． B． C． D．
解：∵ ∴，
又
，∴.
答案：C
8.△ABC中，则△ABC的周长为（ ）
A． B．
C． D．
解：在中，由正弦定理得：化简得AC=
，化简得AB=，
所以三角形的周长为：3+AC+AB=3++
=3+。
答案：D
二、填空
9.在中，若，且，则 ， ， ．
解：a:b:c=4:5:64 ，5 ，6 ．
10．若在△ABC中，则=_______。
解：

答案：
11.在锐角中，则的值等于 ，
的取值范围为 .
解: 设由正弦定理得
由锐角得，
又，故，
答案：2，
三．解答题
12. 在△ABC中，已知=,且sinAsinB=sinC,判断△ABC的形状。
解：由== b-a=ab
又sinAsinB=sinC，由正弦定理得ab=c b-a=c即 b=a+c
△ABC为直角三角形
13. 在中，，.
（1）求角C的大小；
（2）若的最长边为，求最短边的长.
解：（1）∵，
∴=
又∵角C为的内角，∴.
（2）∵，∴为最长边，，
又∵，、 ∴，角最小，边最短，
由得，
由正弦定理：，得
所以最短边的长为.
14.已知ΔABC的三个内角A、B．C成等差数列，其外接圆半径为1，且有。（1）求A、B．C的大小；（2）求ΔABC的的面积。
解：∵A+B+C=180°且2B=A+C，∴B=60°，A+C=120°，C=120°－A。
∵，
∴=，

又∵0°当A=60°时，B=60°，C=60°，
当A=105°时，B=60°，C=15°，

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