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2024-2025 学年湖南省衡阳市衡南县高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 = {1,2,3,4}，集合 = {1,3,4}， = {4}，则 ∩ =( )
A. {1} B. {3,4} C. {1,2,3,4} D. {1,3}
2.已知命题 ： > 0， 3 < ，则命题 的否定为( )
A. > 0， 3 ≤ B. ≤ 0， 3 ≥
C. > 0， 3 ≤ D. > 0， 3 ≥
3.已知 (2 ) = 1 + ，则| | =( )
A. 5 2 5 10 2 105 B. 5 C. 5 D. 5
4.一个体育队有 4 名女运动员和 3 名男运动员，现从队伍抽样尿检，每次从中抽选 1 个运动员，抽出的运
动员不再检查，则在第 1 次抽到女运动员的条件下，第 2 次抽到男运动员的概率为( )
A. 1 B. 36 10 C.
1
2 D.
3
4
5.已知向量 = (2, 1)， = ( , 2)，若(2 + ) ⊥ ，则| |的值为( )
A. 4 B. 3 5 C. 5 D. 4 5
6.已知 4 张卡片的正、反两面分别写有数字 1，2；3，4；5，6；7，8.将这 4 张卡片排成一排，则可构成
不同的四位数的个数为( )
A. 384 B. 360 C. 120 D. 368
7.不等式 2 < 6 6 sin
( 3)
6 < 3 在区间[0,2025]上的整数解的个数是( )
A. 674 B. 676 C. 1352 D. 1348
8.定义在 上的函数 ( )的导函数为 ′( )，且满足 1 < ′( ) < 2， ( 1) = 0， (5) > 10，则下列不等
式一定成立的是( )
A. (0) > 32 B. (1) < 3 C. (3) > 6 D. (4) < 9
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设随机变量 ～ (1, 2)，且 ( ≤ 0) = 0.2，则( )
A. (0 < < 2) = 0.4 B. ( ≤ 2) = 0.8
C. = 2 + 1 的方差为 4 2 D.若 增大，则 (| 1| < 1)增大
10.已知(1 2 )5 = 0 + 1 + 2 2 + + 5 5，则下列结论正确的是( )
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A. 0 = 1
B. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 2
C. 3 = 80
D. | 0| + | 1| + | 2| + | 3| + | 4| + | 5| = 35
11.已知定义域为 的函数 = ( )满足 (2024 ) = ( 2022)，且函数 = (2 1)是奇函数， (0) =
6
2 ，则下列说法正确的是( )
A.函数 = ( )的一个周期是 8
B. 2030 6 =1 ( ) = 2
C.函数 = ( 3)是偶函数
D.若 (1) = 3，则2030 =1 ( 2)
(4 3) = 3(2 22024)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若一个正四棱锥的底面是边长为 4 的正方形，高为 2 2，则侧棱长为______．
13 .已知等差数列{ }的前 项和为 ，满足 sin( 2 4 ) + 3 2 + cos(
3
4
3
2023) + 3 2023 = 2，则
2024 =______．
2 2
14.已知 1，

2分别为双曲线 1：2 2 = 1 的左、右焦点.过点 ( 3,0)作直线 与 的左、右两支分别相交
于 ， 两点，直线 1 与 2 相交于点 .若 1 // 2 ，则| 2| | 1| = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
如图，在四棱锥 中，侧面 为正三角形，侧面 ⊥底面 ，底面 为正方形， ，
分别为 ， 的中点．
(1)求证：直线 //平面 ；
(2)若 = 2，求侧面 与侧面 所成角的余弦值．
16.(本小题 15 分)
已知数列{ }满足 1 = 1， +1 = 2 + 1．
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(1)证明{ + 1}是等比数列，并求数列{ }的通项公式 ；
(2)令 = (2 1)( + 1)，求数列{ }前 项的和 ．
17.(本小题 15 分)
某学校校庆时统计连续 5 天进入学校参加活动的校友数(单位：千人)如下：
日期 10 月 1 日 10 月 2 日 10 月 3 日 10 月 4 日 10 月 5 日
第 天 1 2 3 4 5
参观人数 2.2 2.6 3.1 5.2 6.9
(1)由表格数据看出，可用线性回归模型拟合 与 的关系，请用相关系数 加以说明(保留小数点后两位)；(若
| | > 0.75，则认为 与 的线性相关性很强)，并求出 关于 的线性回归方程；
(2)校庆期间学校开放 1 号门、2 号门和 3 号门供校友出入，校友从 1 号门、2 号门和 3 号门进入学校的概
1 1 1 3 1
率分别为4、2、4，且出学校与进学校选择相同门的概率为5，选择与入校不同两门的概率各为5 .假设校友从
1 号门、2 号门、3 号门出入学校互不影响，现有甲、乙、丙、丁 4 名校友于 10 月 1 日回母校参加活动，
设 为 4 人中从 2 号门出学校的人数，求 的分布列、期望及方差．
附：参考数据：
5 5 2
5 2
=1 = 72， =1 = 55， = 4， =1 = 95.86， 158.6 ≈ 12.59．


参考公式：回归直线方程 = + = =1 ，其中 , = ．
=1
2
2

相关系数 = =1 ．
=1
2 2 2 2 =1
18.(本小题 17 分)
在平面直角坐标系中，分别以 轴和 轴为实轴和虚轴建立复平面，已知复数 = + ( , ∈ )，在复平面
内满足| + 1| + | 1|为定值的点 的轨迹为曲线 ，且点 (2,0)在曲线 上．
(1)求 的方程；
(2) 是过 右焦点的弦( 不是长轴)， 的中点为 ，过点 ， 分别作直线 ： = 4 的垂线，垂足分别为
， ，1 与 轴的交点为 ．
( )证明： / / ；
( )记 与 的交点为 ， 与 的交点为 ，求四边形 面积的最大值．
19.(本小题 17 分)
( ) = + 1 1 + + 1 + 0( ∈ , = 0,1,2, , )称为实系数一元多项式.若实数 0满足
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( 0) = 0，称 0是多项式 ( )的实数根，则 0是多项式 ( )的因式，即存在多项式 ( )使得 ( ) = (
4 30) ( )，设多项式 ( ) = 1．
(1)判断 ( )的实数根的个数并说明理由；
(2)记 ( )的所有实数根的和为 ， ( )的所有实数根的积为 ．
2
( )证明： ， 满足 = 2+1；
( )证明： < 11 610且 > 11．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.4
13.506
14.4 23
15.(1)证明：取 的中点 ，连接 ， ，
因为 为 的中点，所以 // 且 = 12 ，
1
因为底面 为正方形， 为 中点，所以 // 且 = 2 ，
所以 // 且 = ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 // ，因为 平面 ， 平面 ，
所以直线 //平面 ．
(2)取 的中点 ， 的中点 ，连接 ， ，
因为△ 为正三角形，故 ⊥ ，
因为侧面 ⊥底面 ，交线为 ， 平面 ，
所以 ⊥底面 ，
又 ⊥ ，
以 为原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，
又 = 2，故 A = 1， = 3， = 2，
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故 (0,0, 3)， (1,2,0)， (1,0,0)， ( 1,0,0)， ( 1,2,0)，
= (1,2, 3)， = ( 2,0,0)， = (1,0, 3)， = ( 2,0,0)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
⊥ = ( , , ) (1,2, 3) = + 2 3 = 0则
⊥


，
= ( , , ) ( 2,0,0) = 2 = 0
解得 = 0，令 = 3 3，则 = 2，
所以 = (0, 32 , 3)，
设平面 的法向量为 = ( 0, 0, 0)，
⊥
= ( 0, 0, 0) (1,0, 3) = 3 = 0则 ， ⊥ = ( 0, 0, 0) ( 2,0,0) = 2 = 0
解得 0 = 0， 0 = 0，令 0 = 1，
所以 = (0,1,0)，
设侧面侧面 与侧面 所成角为 ，
|(0,1,0)(0,3, 3)| 3
所以 = |cos( , )| = | | 2 2 21| | | | = = = 7 ．9+3 214 4
16.(1)证明：由 1 = 1， +1 = 2 + 1，可得 +1 + 1 = 2( + 1)，
即有{ + 1}是首项和公比均为 2 的等比数列，
可得 + 1 = 2 ，即 = 2 1；
(2) = (2 1)( + 1) = (2 1) 2 ，
数列{ }前 项的和 = 1 21 + 3 22 + 5 23 + . . . + (2 1) 2 ，
2 = 1 22 + 3 23 + 5 24 + . . . + (2 1) 2 +1，
1
相减可得 = 2 + 23 + 24 + . . . + 2 +1 (2 1) 2 +1 = 2 +
8(1 2 )
1 2 (2 1) 2
+1 = 6 + (3
2 ) 2 +1，
化为 = 6 + (2 3) 2 +1．
17. (1) = 1+2+3+4+5 依题意， 5 = 3，而
5 5 2
=1 = 72, =1 = 55, = 4，


则 = =1
= 72 5×3×4 = 12 12
2

2 2 2 55 5×32× 95.86 5×42 158.6
= 12.59 ≈ 0.95．
=1 =1
因为 ≈ 0.95 > 0.75 时线性相关程度高，所以 与 线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合．

= =1 = 72 5×3×4

所以
2
2
=1 55 5×3
2 = 1.2， = = 4 1.2 × 3 = 0.4，
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因此， 关于 的线性回归方程为 = 1.2 + 0.4．
(2)记“甲从 2 号门出学校”为事件 ，“甲从 1 号门进学校”为事件 ，
“甲从 2 号门进学校”为事件 ，“甲从 3 号门进学校”为事件 ，
由题意可得 ( ) = 14， ( ) =
1 1
2， ( ) = 4，
( | ) = 1 ( | ) = 3 ( | ) = 15， 5， 5，
由全概率公式得： ( ) = ( ) ( | ) + ( ) ( | ) + ( ) ( | ) = 1 × 1 + 14 5 2 ×
3 1 1 2
5 + 4 × 5 = 5，
2
同理乙、丙、丁从 2 号门出学校的概率也为5，
为 4 2人中从 2 号门出学校的人数，则 ～ (4, 5 )，
所以 ( = 0) = 0 2 0 2 44 × ( 5 ) × (1 5 ) =
81
625，
( = 1) = 1 2 1 2 34 × ( 5 ) × (1 5 ) =
216
625，
( = 2) = 2 × ( 2 )2 × (1 2 )2 = 2164 5 5 625，
( = 3) = 34 × (
2
5 )
3 × (1 25 ) =
96
625，
( = 4) = 4 2 4 164 × ( 5 ) = 625，
故 的分布列为：
0 1 2 3 4
81 216 216 96 16
625 625 625 625 625
所以 ( ) = 4 × 2 85 = 5， ( ) = 4 ×
2 2
5 × (1 5 ) =
24
25．
18.(1)根据题意，复数 = + 满足| + 1| + | 1|为定值，
即点( , )到点( 1,0)和(1,0)的距离之和为定值，
由椭圆定义，该轨迹为椭圆，则焦距 2 = 2，故： = 1，已知点 (2,0)在椭圆上，即长半轴 = 2，
2 2
则 2 = 2 2 = 4 1 = 3，因此，曲线 的方程为：
4 +

3 = 1；
(2)( )证明：易知椭圆右焦点为 (1,0)，设直线 方程： = + 1，设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= + 1
联立 2 2 ，消 得：(3 2 + 4) 2 + 6 9 = 0，
4 + 3 = 1
6 9
由韦达定理： 1 + 2 = 3 2+4， 1 2 = 3 2+4，
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又 (4, 1)， (4, 2)， (4,0), (
1+ 2 , 1+ 22 2 )，
1+ 2
= 1 0 = 1 = 2 2 所以 4 4，
1 2
1 1
=
1+ 2 4 1+ 2 8
，
2

要证 / / 1 1 2，即证 4 =1 1+ 2 8，
即证 1 2 + 2 1 = 4( 1 + 2)，
即证( 1 + 1) 2 + ( 2 + 1) 1 = 4( 1 + 2)，
即证 2 1 2 = 3( 1 + 2)，
9 18
又根据韦达定理：2 1 2 = 2 ( 3 2+4 ) = 3 2+4 = 3( 1 + 2)，得证；
( )如图：
在△ 中，因为 // ， 是 中点，所以 是 中点，
由( )同理可得 // ，所以四边形 是平行四边形，且 是 中点，
1 1
所以 是 中点，连接 ，易知 △ = 2 △ ， △ = 2 △ ，
所以 1 1 1四边形 = △ + △ = 2 △ + 2 △ = 2 △ ，
由( )得： 1 + =
6 9
2 3 2+4， 1 2 = 3 2+4，
1令椭圆的右焦点为 ，则 △ = △ + △ = 2 × | | × | 2 1|，
即 1△ = 2 × (4 1) × | 2 1|，
2
计算| | = ( + )2 4 = ( 6 )2 + 36 12 +11 2 1 2 1 2 ，3 2+4 3 2+4 = 3 2+4
18 2+1 18 18 △ = 2 (令 = 2 + 1( ≥ 1))化简得：
△ = 3 23 +4 +1
=
3 +1，
由对勾函数 = 3 + 1 ( ≥ 1)
1
单调递增，(对 = 3 + 求导 = 3
1
2 > 0, ≥ 1)，
所以 3 + 1 ≥ 3 × 1 + 1 = 4，
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18 18 9
则： △ = ≤ =3 +1 4 2，
1 1 9 9
故： 四边形 = 2 △ ≤ 2 × 2 = 4，
9所以四边形 面积的最大值为：4．
19.(1)因为 ( ) = 4 3 1，
所以 ′( ) = 4 3 3 2，
令 ′( ) = 0 3，得 = 0 或 = 4，
， ′( )， ( )变化情况如下表：
( ∞,0) 0 3 3 3(0,4 ) 4 (4 , + ∞)
′( ) 0 0 +
无极
( ) 单调递减 单调递减 极小值 单调递增
值
( ) ( ∞, 3 ) 3所以 在 4 上单调递减，在( 4 , + ∞)上单调递增，
3
又 ( 1) = 1 > 0， ( 4 ) < (0) = 1 < 0， (2) = 7 > 0，
3 3
所以 ( )在( ∞, 4 )和( 4 , + ∞)上分别存在唯一的实数根，
故 ( )有 2 个实数根；
(2)( )证明：记 ( )的两个实数根分别为 1， 2，
则 ( ) = 4 3 1 = ( 1)( 2)( 2 + + ) = ( 2 + )( 2 + + )，
从而得 = 1， + + = 0， = 0， = 1，
消去 ， 1得： ( 1) + = 0， ( 1) +

= 0，
2
由 ( 1) + = 0，得 = 2+1；
2( )证明：由 = 2+1，得 ∈ [0,1)，
又 2 + + = 0 无实数根，
4
所以 = 2 4 = ( 1)2 + < 0，故必有 < 0，
[ ( 1) + 1 ] + [ ( 1) + ] = 0，
2
得 2 1 + = 0，所以
2 = 3，
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由 ∈ [0,1)，得 ( 1) ∈ [ 14 , 0]，
所以 1 = ( 1) ≤ 0，
所以 ≤ 1，
2 = ≥ 1再由 2+1，得 2，
故 2 = 3 ≥ 14，
令 ( ) = 3，则 ′( ) = 1 3 2，
当 ≤ 1 时， ′( ) = 1 3 2 < 0，
所以 ( )单调递减，
而 ( 1.1) = 1.1 + 1.331 = 0.231 < 2，
11
所以 < 1.1 = 10，
2 1.21 1.2 6
所以 = 2+1 > 1.21+1 > 1.2+1 = 11．
第 10页，共 10页

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