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第一课时：正弦定理（一）
知识梳理
1、正弦定理
形式一： (2R为外接圆的直径)
形式二：；；；（角到边的转换）
形式三：，，；（边到角的转换）
形式四：；（求三角形的面积）
2.解决以下两类问题：
1）、已知两角和任一边，求其他两边和一角；（唯一解）
2）、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）。
典例剖析
题型一 已知两角和任一边，求其它两边和一角
例1在中，，，，求，．
【解】因为，，所以．因为，
所以，．
因此， ，的长分别为和．
评析：已知三角形的任意两个角和一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的另一角，并由正弦定理求出另两边．
题型二 已知两边及其一边的对角，求其他的边和角
例2：根据下列条件解三角形：
（1）；
（2）．
【解】（1），∴，
，∴，∴为锐角， ∴，∴．
（2），∴，∴，
∴当
∴当所以，．
评析：已知三角形两边和其中一边的对角，解三角形。首先求出另一边的对角的正弦值，其次根据该正弦值求角时，需对角的情况加以讨论是否有解？如果有解，是一解，还是两解？
备选题 正弦定理的应用
例3.在ABC中，, sinB=.
（I）求sinA的值；
(II)设AC=，求ABC的面积.
解：（Ⅰ）由，且，∴，∴，
∴，又，∴
（Ⅱ）如图，由正弦定理得
∴，又
∴
点评：解三角形问题，还常常用到三角函数中的有关公式进行边角互化。
点击双基
1．在△ABC中，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
解：
答案：C
2．在△中，若，则等于（ ）
A． B．
C． D．
解： 或
答案：D
3．△ABC中，，A=，则边= （ ）
A 6 B 12 C 6或12 D
解：，sinB== B=
当B=60时，C=180-A-B=90，c==12
当B=120时，C=180-A-B=30，c=a=6
答案：C
4．在△ABC中，，则的最大值是_______________。
解：
答案：
5．在△ABC中，若_________。
解：
答案：
课外作业
一、选择
1．在△ABC中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
解.
答案：C
2. 在△ABC中，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
解:
答案：D
3.在△ABC中，sinA:sinB:sinC=3:2:4,则A、B、C大小关系是（ ）
A.A解：a:b:c=sinA:sinB:sinC=3:2:4,根据三角形中大边对大角，B答案：B
4.在△ABC中，已知a=5,c=10,A=30,则B等于（ ）
A. 105 B. 60 C. 15 D. 105或15
解： sinC== C=45或135
当C=45时，B= 105;当C=135时，B= 15
答案：D
5. 已知中，，，，那么角等于（ ）
A． B． C． D．
解：由正弦定理得:
答案：C
6.已知中，的对边分别为若且，则 （ ）
A.2 B．4＋ C．4— D．
解：
由可知,,所以,
由正弦定理得,故选A
答案：A
7. 满足=4，A=，C=105的△ABC的边的值为（ ）
A B C D
解：A=，C=105 ，B=，由正弦定理得:b===2
答案：A
8. 在中,,，则的外接圆半径为（　　　）
（A） （B）3 （C） （D）6
解：的外接圆直径2R===6，R=3
答案：B
二、填空题
9 在△ABC中，b=4asinB,则A=
解：b=4asinB, sinB =4sinA sinB, sinA =,在△ABC中,0 sinA =，A=或
答案：或
10、在三角形ABC中，、、所对的角分别为A、B、C，且，则△ABC是 三角形。
解：依题意，由正弦定理得：，a=b=c,即△ABC为等边三角形
答案：等边
11、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c ，若，则
解：依题意，由正弦定理得：,
即, ∴
答案：
三、解答题
12．在△ABC中，，∠B=，=1，求和∠A、∠C
解：由正弦定理知：
解得 或1500，因为 A+B+C=1800，所以 C=1500不合题意，舍去。
从而有 A=900， 。
13.在中，角的对边分别为，。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的面积.
解：（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且，
∴，
∴.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
又∵，∴在△ABC中，由正弦定理，得
∴.
∴△ABC的面积.
14.设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，,，求B.
解：由cos（AC）+cosB=及B=π（A+C）得
cos（AC）cos（A+C）=，
cosAcosC+sinAsinC（cosAcosCsinAsinC）=,
sinAsinC=.
又由=ac及正弦定理得
故 ，
或 （舍去），
于是 B= 或 B=.
又由 知或
所以 B=。

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