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2024-2025 学年吉林省长春实验中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在△ 中、内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， = 2 ，若 3 = 2 ，则 的值为( )
A. 1 13 B. 4 C.
1
3 D.
1
4
2 2 .已知复数 = 1 + 1 ，则 1 + +
2 + + 2025 =( )
A. 1 + B. 1 C. D. 0
3.如图，在正方体 1 1 1 1中， ， ， 分别为 1 1， ， 1 1
的中点，则下列命题正确的是( )
A. //平面 1
B. 与 1 相交
C. 与 是异面直线
D.四边形 1 为正方形
4.在△ 中，角 ， ， 对边分别为 ， ， ， 2 + 2 2 = 2 3 ，且| + | = | |，则 =( )
A. 2 B.

4 C.

3 D.

6
5.在△ 与△ 1 1 1中，已知 = 1 1 = , = 1 1 = 3, = =

1 3，若对任意这样两个三角形，
总有△ ≌△ 1 1 1，则( )
A. ∈ (0, 32 ] B. ∈ (0, 3)
C. ∈ [ 3, + ∞) D. ∈ [ 3, + ∞) ∪ { 32 }
6.“方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有
“方斗”容器如图所示，已知 = 2 1 1，现往容器里加米，当米的高度是“方
斗”高度的一半时，用米 38 ，则该“方斗”可盛米的总质量为( )
A. 152 B. 133 C. 114 D. 112
7.已知正三角形 的边长为 2，点 ， 都在边 上，且 = 1 , = 3 2 4 ，
为线段 上一点， 为线段 的中点，则 的最小值为( )
A. 12 B. 0 C.
3
8 D.
5
13
8.已知在四棱锥 中， ⊥平面 ， = = 2 2， = = 4，△ 为等边三角形，
则平面 与三棱锥 的外接球球面的交线长为( )
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A. 4 B. 2 5 C. 6 D. 4 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 与 均为单位向量，其夹角为 ，则下列结论正确的是( )
A. | + | > 1 ∈ [0, 2 3 ) B. | +
| > 1 ∈ ( 2 3 , ]
C. | | < 1 ∈ [0, 3 ) D. |
| < 1 ∈ ( 3 , ]
10.已知 ， ， 分别是△ 三个内角 ， ， 的对边，下列四个命题中正确的是( )
A.若 + + > 0，则△ 是锐角三角形
B.若 = ，则△ 是等腰三角形
C.若 + = ，则△ 是等腰三角形
D. △ 是锐角三角形，则 >
11.如图，在棱长为 4 的正方体 1 1 1 1中， ， 分别是棱 1 1， 1 1的中点， 是正方形 1 1 1 1
内的动点，则下列结论正确的是( )
A.若 //平面 ，则点 的轨迹长度为 2 2
B.若 //平面 ，则三棱锥 的体积为定值
C.若 = 17，则点 的轨迹长度为 2
D.若 是棱 1 1的中点，则三棱锥 的外接球的表面积是 41
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.某校高一共有学生 240 人，现采用分层抽样的方法从中抽取 80 人进行体能测试；若这 80 人中有 35 人
是男生，则该校高一男生共有______人.
13.圆台的上下底面半径分别为 1、2，母线与底面的夹角为 60°，则圆台的侧面积为______．
14.△ 的内角 ， ， 对边分别为 ， ， ， = ( , )， = ( 3 , + )且 ⊥ ， = 2，
则 的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
1 1
如图所示，以向量 = ， = 为边作平行四边形 ，又 = ， 3 = 3
．
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(1)用 ， 表示 ， ；
(2) = 1， = 3，∠ = 3，求| |.
16.(本小题 15 分)
记△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 2 + = ( + )．
(1)求角 的大小；
(2)若 = 21 2 7， 边上的高为 7 ，求△ 的周长．
17.(本小题 15 分)
空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于 2 与多面
体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个

顶点均有 3 个面角，每个面角均为3，故其各个顶点的曲率均为 2 3 × 3 = ，如图，在直三棱柱
2 1 1 1中，点 的曲率为 3， ， 分别为 ， 1的中点，且 = ．
(1)证明： ⊥平面 1 1；
(2)若 1 = 2 ，求二面角 1 1的余弦值．
18.(本小题 17 分)
1
已知锐角△ ，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 = 3， 3 + 2 = ．
(1)求 ；
(2) 2
2+ 2
求 的取值范围．
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19.(本小题 17 分)
如图，在四棱台 1 1 1 1中， 1 ⊥平面 ，底面 为平行四边形， ⊥ 1 ，且 ， ，
分别为线段 1， 1 ， 的中点．
(1)证明：| 1 | = | 1 |．
(2)证明：平面 //平面 1 ．
(3)若 = 2 1 1, 1 = 1, ∠ =

3，当 1 与平面 1 所成的角最大时，求四棱台 1 1 1 1
的体积 ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.105
13.6
14. 2

15.解(1) = = ，∴ = + = + 1 = + 13 6 =
1
6 +
5
6
，

= + , = + = 1 + 1 = 2 = 2 + 2 2 6 3 3 3 ；
(2) ∵ = = 2 2 13 + 3 6
5 = 1 1 6 2 6 ，

∴ | | = ( 1 1 )2 = 1 2 + 2 × 1 × ( 1 ) 1
2
2 6 4 2 6 + 36
= 1 1 1 14 4 + 4 = 2．
16.解：(1)因为 2 + = ( + )，
所以 2 + = ，
由正弦定理得 2 + = ，
所以 2 = + = sin( + )，
即 sin( + ) = ，
又 ≠ 0，所以 = 12，
2
又 ∈ (0, )，所以 = 3；
(2)因为 = 21， 2 7边上的高为 = 7 ，
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1
所以△ 的面积 = 2 × × =
1
2 × 21 ×
2 7
7 = 3，
1 1 3
又由△ 的面积 = 2 = 2 × 2 = 3，
解得 = 4，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 = 2 + 2 + = ( + )2 ，而 = 21，
所以 21 = ( + )2 4，解得 + = 5，
所以△ 的周长 + + = 5 + 21．
17.(1)证明：在直三棱柱 1 1 1中，
∵ 1 ⊥平面 ， 平面 ， 面 ， 平面 ，
∴ 1 ⊥ ， 1 ⊥ ， 1 ⊥ ，
∴ 点 的曲率为 2 2 × 2 ∠ =
2
3，
∴ ∠ = 3，
∵ = ，
∴△ 为等边三角形，
∵ 分别为 的中点，
∴ ⊥ ，
∵ 1 ⊥ ， ⊥ ， 1 ∩ = ， 1， 平面 1 1，
∴ ⊥平面 1 1．
(2)
取 1 1的中点 ，连接 1 ， ，
∵△ 1 1 1为等边三角形，
∴ 1 ⊥ 1 1，
∵三棱柱 1 1 1是直三棱柱，
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∴平面 1 1 ⊥平面 1 1 1，
∵平面 1 1 ∩平面 1 1 1 = 1 1， 1 ⊥ 1 1， 1 平面 1 1 1，
∴ 1 ⊥平面 1 1 ，
∵ ， 平面 1 1 ，
∴ 1 ⊥ ， 1 ⊥ ，
设 = 2，
∵ 1 = 2 ，
∴ 1 = 2， = 1 = 3， 1 = 6，
∴ 2 + 1 2 = 21，
∴ ⊥ 1 ，
∵ ⊥ 1 ， 1 ⊥ ，
又 1 ∩ 1 = 1， 1 面 1 ， 1 平面 1 ，
∴ ⊥平面 1 ，
∵ 平面 1 ，
∴ ⊥ ，
∴ ∠ 1为二面角 1 1的平面角，
∵ = ( 2 2 2 3 6， = 3，2 ) + 1 = 2 = 2 1
6
∴在 △ 1中，cos∠ 2 21 = = = ， 1 3 2
∴二面角 1 1的余弦值为
2．
2
18.解：(1)由题意得 + 12 =
1
，结合正弦定理得 + 2 = = sin( + )，
即 + 12 = +
1
，化简得2 = ，
1
因为 、 ∈ (0, )， ≠ 0，所以 = 2，可得 = 3；
0 < <
(2) 2 在锐角△ 中， 2 ，结合 + = = 3，解得 ∈ (

0 < < 6
, 2 ).
2
1 3
=
sin( +3) + 所以 = =
2 2 1
= 2 +
3 3 1
2 ，结合 ∈ ( 3 , + ∞)，可得 ∈ ( 2 , 2)．
2 2+ 2 = 2 + ≥ 2 2 2 = = 2由基本不等式，可得 ，当且仅当 时，即 2 时，等号成立．
设 = 1 1 2 2 ，则 ( ) = 2 + 在( 2 , 2 )上为减函数，在( 2 , 2)上为增函数，
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( ) 2的最小值为 ( 2 ) = 2 2，最大值小于 (2) =
9
2，即 ( ) ∈ [2 2,
9
2 ).
2 2+ 2
综上所述， 的取值范围是[2 2,
9
2 ).
19.解：(1)证明：如图，连接 ，与 交于点 ，
因为 1 ⊥平面 ， 平面 ，所以 1 ⊥ ，
又因为 ⊥ 1 ， 1 ∩ 1 = 1，
所以 ⊥平面 1 ，
因为 平面 1 ，所以 ⊥ ，
因为四边形 是平行四边形，所以四边形 是菱形，则| | = | |，
因为 1 ⊥平面 ，所以 1 ⊥ ， 1 ⊥ ，
所以| |21 = | 2 21 | + | | = | 1 |2 + | |2 = | |21 ，即| 1 | = | 1 |．
(2)证明：延长 交 1于点 ，连接 ，
由中位线性质可得 // 1 1，因为 1 1// // ，所以 // ，
因为 平面 1 ， 平面 1 ，
所以 / /平面 1 ，
所以 为 1的中点，则 // 1 ，
因为 平面 1 ， 1 平面 1 ，所以 / /平面 1 ，
因为 ∩ = ，所以平面 / /平面 1 ．
(3)设| | = > 0. ∠ = ， 因为 3，
所以| | = | | = | | = ，则| 21 | = + 1，| 1 | = | 1 | = 2 + 1,
1
△ 1 = 2
2 + 1 14
2 = 1 3 4 22 4 + ，
设点 到平面 1 的距离为 ， 1 与平面 1 所成的角为 ，
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则 = | 1 |
= ，
2+1
1
因为 1 = 3 |
1 1 3 2 3 2
1| △ = 3 △ = 3 × 4 = 12 ，
1 =
1
3
1
△ 1 = 3
1 3 4 2
2 4 + ，
1 1 3所以 4 + 2 3 2 3 3 2 4 = 12 ，得 = ，3 2+4
3
3 2+4
所以 = = 3 ≤ 3 = 3 = 2 3 3，
2+1 3 2+ 4 +7 2 12+7 2+ 3
2
4
当且仅当 4 = ，即 2 = 2 33 3 时，等号成立，此时 1 与平面 1 所成的角最大，
1 1 1
1 3 1 3 3 1 3
1的体积 = 2 2 2 23 × 1 × (2 × 4 + 2 × 4 × 4 + 2 × 4 × 2 × 4 × 4 )
= 1 ( 3 2 3 1 3 2 33 2 × 3 + 2 × 4 × 3 +
3 × 2 3 × 1 × 3 2 32 3 2 4 × 3 )
= 712．
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