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湖北省武汉市青山区2024-2025学年八年级下学期期末数学试题
一、单选题
1．要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
2．下列式子中，y是x的正比例函数的是（ ）．
A． B． C． D．
3．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）．
A．13，14，15 B．2，3，4
C．1，， D．，2，
4．体育课上，某班两名同学分别进行了7次短跑训练，要判断哪一名同学的成绩比较稳定，通常需要比较两名同学成绩的（ ）．
A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数
5．如图，在矩形中，对角线，相交于点O．则下列结论不一定正确的是（ ）．
A． B． C． D．
6．若点P在一次函数的图象上，则点P一定不在（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．如图，在中，，的角平分线交于点E，连接．若，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
8．一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．小明同学了解到身高与脚长之间近似存在着一个函数关系，部分对应数据如下表：若小华的脚长为，则他的身高为（ ）．
脚长 … 23 24 25 26 27 …
身高 … 156 163 170 177 184 …
A． B． C． D．
9．如图，在矩形中，，．分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点．作直线EF分别与，，相交于点M，O，N．则线段的长为（ ）．
A．3 B．5 C．6 D．
10．如图1，在菱形中，对角线，相交于点O，动点P由点A出发，沿向点D运动．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x之间的关系如图2所示，则的长为（ ）．
A． B． C．6 D．8
二、填空题
11．计算的结果是 ．
12．请写出一个随增大而增大的一次函数表达式 ．
13．一家公司打算招聘一名英文翻译．甲应试者的听、说、读、写四项英语水平的测试成绩分别为：85、78、85、73．公司想招一名笔译能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照的比确定，则甲应试者的平均成绩（百分制）为 分．
14．已知，则代数式的值为 ．
15．在平行四边形中，，为边上的高， ，，则平行四边形的周长为 ．
16．我们把a、b、c三个数的中位数记作，例如：．已知函数．则下列结论：
①和为函数图象上两点，当时，；
②当时y随x增大而增大；
③当时y有最小值0；
④若直线与函数的图象有且只有2个交点，则或．
其中正确的有 ．（请填写正确结论的序号）
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．如图，的对角线，相交于点O，E，F分别是，的中点，连接，，，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)请添加一个条件：______，使四边形为菱形．
19．3月14日是国际数学日，“数学是打开科学大门的钥匙．”为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩（本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息：
信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端点值，不含后端点值）．

信息二：第三组的成绩（单位：分）为74 71 73 74 79 76 77 76 76 73 72 75
根据信息解答下列问题：
（1）补全第二组频数分布直方图（直接在图中补全）；
（2）第三组竞赛成绩的众数是_________分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是_________分；
（3）若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的约为_________人．
20．1号探测气球从海拔处出发，以的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔处出发，以的速度上升，两个气球都上升了．设两个气球所在位置的海拔分别为和（单位：），上升时间为x（单位：）．
(1)用式子分别表示和关于x的函数关系；
(2)当时，求的值；
(3)在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？
21．如图，是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B是格点，C是网格线上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．
(1)在图1中，先在上画点D，使；再在上画点E，使．
(2)在图2中，先在内部画格点F，使为等腰直角三角形；再过C作于点G．
22．某商场购进甲，乙两种商品进行销售，设用元购进甲种商品件，与之间的函数关系如图所示，乙种商品按元件的价格购进．
(1)求当时，与之间的函数关系式；
(2)若经销商计划一次性购进甲，乙两种商品共件，且甲种商品不少于件，甲乙两种商品的总进货款不少于元，求的取值范围；
(3)若甲，乙两种商品的销售价格分别为元件和元件．经销商将中购进的甲，乙两种商品全部销售完，获得的利润最多为元，请直接写出的值．
23．【问题情景】在一次数学研究性学习中，小明发现：如图1，在正方形中，M为边上一点（不与点B、C重合），E，F分别是边，上一点，若，可证得．
请你完善小明的思路：先把问题特殊化，过D作交于点K，构造平行四边形，得______，即把平移到特殊的位置．
再证______，得：______，∴______．
【深入探究】在上述情景中，连接，．若G，H分别为，的中点．
①如图2，连分别交，于点Q，N．求的度数；
②如图3，若正方形的边长为4，点M为的中点，连接，，诮直接写出的最小值．
24．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点B，C．
(1)直接写出点B，C的坐标；
(2)如图2，过点的直线与y轴交于点F，与直线交于点D，．
①求直线的解析式；
②若E是直线上的动点，则在y轴上是否存在点G，使以点G，E，B，D为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．A
解：要使二次根式有意义，被开方数必须满足，
解此不等式得，
故选：A．
2．B
A.含常数项“”，不符合的形式，不是正比例函数．
B.符合（），是正比例函数．
C.中的次数为2，不符合次数为1的条件．
D.中位于分母，次数为，不符合次数为1的条件．
故选：B．
3．C
解：选项A：13，14，15，最大边为15，计算：
，
，
，故A不符合．
选项B：2，3，4，最大边为4，计算：
，
，
，故B不符合．
选项C：1，，，最大边为，计算：
，
，
，满足勾股定理，故C符合．
选项D：，2，，最大边为，计算：
，
，
，故D不符合．
故选C．
4．B
解：方差反映一组数据的波动情况，方差越小，数据越稳定；
平均数反映数据的平均水平，中位数和众数反映数据的集中趋势，均不能直接体现稳定性；
因此，比较两名同学7次短跑成绩的方差可判断成绩的稳定程度．
故选B．
5．D
解：在矩形中，对角线，相交于点O．
，，，
不能得出，
故选：D．
6．B
解：函数中，斜率，说明图象从左向右上升；
截距，说明图象与轴交于负半轴．
综上可知，图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故选：B．
7．C
解：如图，∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∵是的平分线，
∴．
∵，
∴．
∴．
故选：C．
8．D
解：观察表格数据，脚长每增加，身高增加，故设函数关系为，
将点代入，得，
解得，即．
当时，，
故选D．
9．B
解：如图，连接，
由作图知，是的垂直平分线，
，
矩形中，，，
，，，
设，则，
在中，，
，
解得，
即线段的长为5，
故选B．
10．D
解：四边形是菱形，
，，，
由题意知，，
，，
设，，则，，
，
，
x和y是一元二次方程的两个根，
解得，，
由图可得，
，
，
故选D．
11．
解：，
故答案为：．
12．（答案不唯一）
解：如，y随x的增大而增大．
故答案为：（答案不唯一）．
13．
解：分．
即甲应试者的平均成绩（百分制）为分．
14．/
解：
故答案为：．
15．14或22
解：如图， ①当高在平行四边形内部时，
四边形是平行四边形，
，，
，，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
平行四边形的周长为：；
②如图：当高在平行四边形外部时，
四边形是平行四边形，
，，
，，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
平行四边形的周长为：．
故答案为：14或22．
16．②③④
解：当时，
解得：，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
∴
∴函数的图象如图所示：
①如图，当时，满足，但，故①不正确；
②由图象可知，当时，y随x增大而增大，故②正确；
③由图象可知，当时，y有最小值0，故③正确；
④∵与函数的图象有且只有2个交点，
当直线经过点时，则， 解得，
当直线 经过点时，则， 解得， 故④正确．
故答案为：②③④．
17．(1)
(2)
（1）原式
（2）原式
18．(1)见解析
(2)
（1）（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
∵分别是的中点，
∴四边形是平行四边形；
（2）添加，
，
，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形为菱形，
故答案为：．
19．（1）补全图形见解析；（2）76；78；（3）720．
（1）第二组人数为：50-4-12-20-4=10（人）
补全统计图如下：

（2）第三组竞赛成绩中76分出现次数最多，出现了3次，故众数为76分；
50个数据中，最中间的两个数据分别是第25个和26个数据，对应的分数为：77分和79分，它们的平均数为：（分），故中位数为78（分）；
故答案为：76；78；
（3）1500×=720（人），
故答案为：720．
20．(1)，；
(2)
(3)两个气球能位于同一高度，这时气球上升了．
（1）解：根据气球所在位置的海拔=初始海拔+上升速度×上升时间可知：，；
（2）当时，，，
∴，
∴的值为；
（3）当时，得，
解得，
∴两个气球能位于同一高度，这时气球上升了．
21．(1)见解析
(2)见解析
（1）解：如图1中，点，点即为所求；
（2）解：如图2中，，线段即为所求．
22．(1)
(2)
(3)
（1）解：当时，甲种商品的进价为元件，
则，
当时，与之间的函数关系式为．
（2）根据题意，得，
解得，
，
的取值范围为．
（3）设获得的利润为元，则，
当的最大值为时，得，
，
，即，
随的减小而增大，
当时值最大，，
解得，
的值为．
23．[问题情景]见解析；[深入探究]①②的最小值为
解：[问题情景]依题意，过D作分别交于点K，交于点，如图所示：
∵四边形是正方形
∴，
∴
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴
∴
即
∵
∴
∵
∴
∴
∴，
得，
∴．
即先把问题特殊化，过D作交于点K，构造平行四边形，得，即把平移到特殊的位置．
再证，得：，∴．
故答案为：；
[深入探究]①连接，取的中点，连接，，
∵G，H分别为，的中点．为的中点
∴是的中位线，是的中位线，
∴且，且，
由[问题情景]得出，，
∴，
∵
∴，
∵
∴
∵
∴是等腰直角三角形
∴
②的最小值为，
∵正方形的边长为4，点M为的中点，
∴，
∴，
由①知，是等腰直角三角形，
∴，
则，
∴的最小值为．
24．(1)
(2)①；②G点坐标为或
（1）解：当时，，当时，，
；
（2）①设直线的解析式为，
，
当时，解得，
，
，
，
解得或（舍），
∴直线的解析式为；
②在点，使以点为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：
设，
由①可知，
当为平行四边形的对角线时，
，解得：
；
当为平行四边形的对角线时，
，解得，
；
当为平行四边形的对角线时，
，解得，
．
综上所述：G点坐标为或．

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