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第六课时：正、余弦定理的应用举例（1）
知识梳理
一、解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解
二．测量的主要内容是求角和距离，教学中要注意让学生分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念，将实际问题转化为解三角形问题.
三．解决有关测量、航海等问题时，首先要搞清题中有关术语的准确含义，再用数学语言（符号语言、图形语言）表示已知条件、未知条件及其关系，最后用正弦定理、余弦定理予以解决.
典例剖析
题型一 距离问题
例1.如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？
解：如图，连结，由已知，
，
，又，是等边三角形，
，由已知，，，
在中，由余弦定理，．．
因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）．答：乙船每小时航行海里．
题型二 高度问题
例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。
解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中，
AC=BC=30， AD=DC=10， ADC =180-4，
= 。 sin4=2sin2cos2
cos2=,得 2=30 =15， 在RtADE中，AE=ADsin60=15
答：所求角为15，建筑物高度为15m
解法二：（设方程来求解）设DE= x，AE=h
在 RtACE中,(10+ x) + h=30 在 RtADE中,x+h=(10)
两式相减，得x=5,h=15 在 RtACE中,tan2==
2=30,=15
答：所求角为15，建筑物高度为15m
解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=x，由题意，得
BAC=， CAD=2， AC = BC =30m , AD = CD =10m
在RtACE中，sin2=------ ① 在RtADE中，sin4=, ---- ②
②① 得 cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15
答：所求角为15，建筑物高度为15m
评析：根据题意正确画出图形是解题的关键，同时要把题意中的数据在图形中体现出来。
备选题 角度问题
例3．如图1-3-2，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该渔轮在方位角为，距离为的处，并测得渔轮正沿方位角为的方向，以的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到，时间精确到）.
解：设舰艇收到信号后在处靠拢渔轮，则，，又，.
由余弦定理，得
，
即
.
化简，得
，
解得（负值舍去）.
由正弦定理，得
，
所以，方位角为.
答 舰艇应沿着方向角的方向航行，经过就可靠近渔轮.
评析：本例是正弦定理、余弦定理在航海问题中的综合应用.解本题的关键是根据实际，找出等量关系，在画示意图时，要注意方向角的画法。
点击双基
一. 选择题：
1．在△ABC中，下列各式正确的是 （ ）
A. ＝ B.asinC＝csinB
C.asin(A＋B)＝csinA D.c2＝a2＋b2－2abcos(A＋B)
解：根据正弦定理得,又sinC=sin(A+B), asin(A＋B)＝csinA
答案：C
2．海上有A、B两个小岛相距10 nmile，从A岛望B岛和C岛成60°的视角，从B岛望A岛和C岛成75°角的视角，则B、C间的距离是 （ ）
A.5nmile B.10nmile C. nmile D.5nmile
解：根据题意知：AB=10，A=60°,B=75°则C=45°,
a===5
答案：D
3．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ ）
? A. 米? B. 米 C. 200米 D. 200米
　解：如图，设塔高AB为h，
　　Rt△CDB中，CD＝200，∠BCD＝90°-60°＝30°
　　
　　在△ABC中，∠ABC＝∠BCD＝30°，∠ACB＝60°-30°＝30°
　　∴　∠BAC＝120°
　　∴　
　　∴　（m）
答案：A
　　
4．某人以时速a km向东行走，此时正刮着时速a km的南风，那么此人感到的风向为 ，风速为 .
答案：东南 a
5．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行30 nmile后看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是 .
解：10
课后作业
1．已知三角形的三边长分别为a、b、，则这个三角形的最大角是 （ ）
A.135° B.120° C.60° D.90°
解：根据三角形中大边对大角，可知所对的角为最大角，设为，则
cos==-, 120°
答案：B
2．如下图，为了测量隧道AB的长度，给定下列四组数据，测量应当用数据
A.、a、b B.、β、a
C.a、b、γ D.α、β、γ
解：根据正弦定理和余弦定理知，测量a、b、γ，利用余弦定理
可求AB的长度。
答案：C
3. 海上有A、B、C三个小岛，已知A、B之间相距8 n mile，A、C之间相距5 nmile，在A岛测得B岛和C岛的视角为60°，则B岛与C岛相距的n mile数为 ( )
A.7 B.6 C.5 D.4
解：根据题意知：AB=8，AC=5,∠A=60°,根据余弦定理有BC=8=49，BC=7
答案：A
4．在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30 m至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，则等于(　)
　　A．15° B．10°
　　C．5° D．20°
解：如图，BC＝CA，CD＝DA，
　　设AE＝h，则
∴　2cos2＝，∴　cos2＝
　　∴　2＝30°，∴　＝15°．
答案：A
5. 某人朝正东方向走x km后，向左转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点正好是km，那么x的值为( )
A. B.2 C.2或 D.3
解：如图，设出发点为A，则由已知可得
　　AB＝x千米，BC＝3千米
　　∠ABC＝180°-150°＝30°
　　AC＝，∴　，
　　∴　，
　　∴　∠CAB＝60°或∠CAB＝120°
　　当∠CAB＝60°时，∠ACB＝180°-30°-60°＝90°
　　x＝2千米
　　当∠CAB＝120°，∠ACB＝180°-120°-30°＝30°
　　∴　x＝AC＝千米
答案：C　
6. 已知一塔高80m，分别在塔底和塔顶测得一山的山顶的仰角分别是60°和30°，则山高为 ( )
A.240m B.180m C.140m D.120m
解：D
7.如图,建造一幢宽为,房顶横截面为等腰三角形的住房,则∠ABC=,则等于( )时,可使雨水从房顶最快流下.
A.300 B.450 C.600 D.任意角
解：根据题意知s=AB=，加速度a=gsin.
由s=得t=, =45时t最小
答案：B
8.一艘船以4km/h的速度沿着与水流方向成120的方向航行,已知河水流速为2km/h,则经过,该船的实际航程为 ( )
A. B. C. D.
解：船的实际速度是v==2,则经过,该船的实际航程为2=6
答案：B
二．填空题
9．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x＝________．
解：如图，
　　∠ABC＝180°-105°＝75°
　　∠BCA＝180°-135°＝45°，
　　BC＝10 cm
　　∴　∠A＝180°-75°-45°＝60°
　　∴　
10．坡度为45°的斜坡长为100 m，现在要把坡度改为30°，则坡底要伸长________．
　　解：如图，DB＝100 m
　　∠BDA＝45°，∠BCA＝30°
　　设CD＝x
　　∴　(x＋DA)·tan30°＝DA·tan45°
　　又DA＝BD·cos45°＝100×
∴　x＝-DA
　　
　　＝50(-1)
　　＝50()(m)
答案：50() m
11．如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在
同一水平面内的两个测点与．测得∠BCD＝15°，
∠BDC＝30°，CD＝30米，并在点 测得塔顶的
仰角为60°, 则BC= 米, 塔高AB= 米。
解：在，，
∵
∴
在中，
∴
答案：，
三．解答题
12.如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1）？
解：连接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10cos120°=700.
于是,BC=10。 ∵，∴sin∠ACB=，
∵∠ACB<90°，∴∠ACB=41°。
∴乙船应朝北偏东41°方向沿直线前往B处救援。
13．如图，某海岛上一观察哨在上午时测得一轮船在海岛北偏东的处，时分测得轮船在海岛北偏西的处，时分轮船到达海岛正西方的港口.如果轮船始终匀速前进，求船速.
解：设，船的速度为，则，.
在中，，.
在中，，
.
在中，，
，，
船的速度.
14.如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC＝0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449） 解：在中，＝30°，
＝60°－＝30°，
所以CD＝AC＝0.1
又＝180°－60°－60°＝60°，
故CB是底边AD的中垂线，所以BD＝BA 5分
在中，，
即AB＝
因此，
故B、D的距离约为0.33km。

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