资源简介

2024-2025学年安徽省部分学校高二（下）期末数学试卷（A卷）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 210 =( )
A. 90 B. 60 C. 45 D. 30
2.随着天气转暖旅游人数逐步增加，各景区投入不同数额的经费( 万元)对环境进行治理，得到旅游景区收
益的增加值( 万元)，对应数据如表所示：
投入经费 (单位：万元) 1 2 3 4 5 6 7
收益增加值 (单位：万元) 2 3 2 5 7 7 9

若 与 的回归直线方程为 = 1.2 + ，则 =( )
A. 0.2 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.4
3.下列函数在区间(0, )上单调递减的是( )
A. = B. = +
C. = + D. =
4.已知数列{ }满足 1 = 2， +1 = 2 ，则 16 =( )
A. 64 B. 128 C. 256 D. 512
5.已知 5 件产品中有 2 件次品，3 件正品，检验员从中随机抽取 2 件进行检测，则取到的正品数为 2 的概
率为( )
A. 1 1 3 310 B. 5 C. 5 D. 10
6.已知数列{ }满足(1 )(1 + +1) = 1 = 2，则 1000 =( )
A. 3 B. 1 12 C. 3 D. 2
7.已知点 在曲线 ： = 1( > 0)上，点 在直线 2 + = 0 上，则 ， 两点距离最小值为( )
A. 10 B. 2 105 5 C.
5
5 D.
2 5
5
2
8
2
.已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的右焦点为 ，以 ( 为坐标原点)为直径的圆与一条渐近线交
于点 ，直线 与另一条渐近线交于点 ，且 = 2 ，则 的离心率为( )
A. 2 33 B. 3 C. 2 D. 2 3
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列{ }的前 项和 2 = 9 ，则下列说法正确的是( )
第 1页，共 9页
A. 的最大值为 20 B. 1， 7， 4成等比数列
C.数列{ }

为单调递减数列 D.数列{ }为单调递增数列
10.已知 盒子中有 2 个白球和 3 个黑球， 盒子中有 3 个白球和 2 个黑球.先从 盒子随机取出一球放入
盒子，设“从 盒子取出的球是白球”为事件 1，“从 盒子取出的球是黑球”为事件 2；再从 盒子中随
机取一球，设“从 盒子取出的球是白球”为事件 1，“从 盒子取出的球是黑球”为事件 2，下列说法正
确的是( )
A. 1， 2是互斥事件 B. 1， 2是独立事件
C. ( 1 2) =
1
3 D. ( 1) =
17
30
11.在长方体 1 1 1 1中， = 2， = 1 = 1，则( )
A. cos∠ 1 =
1
10
B. 2平面 1与底面 夹角的余弦值为3
C.直线 2与平面 1所成角的余弦值为3
D.点 21到平面 1的距离为3
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12 7.在二项式( + )
的展开式中，所有项的系数和为 4096，则此二项式展开式中二项式系数之和是______．
13.在三棱柱 1 1 1中， ⊥ ，∠ 1 = ∠ 1 = 60°， 1 = 2 = 2 = 2， 为 1 1的中
点，则| | = ______．
14.已知函数 ( ) = 2( > 1)有三个零点，则 的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
为了研究臭氧效应，先选取 40 只小白鼠，随机地将其中 20 只分配到试验组，另外 20 只分配到对照组，
将试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠
体重的增加量(单位： ).试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量为
第 2页，共 9页
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
(1)求 40 只小白鼠体重的增加量的中位数 ，并分别统计两样本中小于 与不小于 的数据的个数，完成如
下列联表：
< ≥
对照组
试验组
(2)根据(1)中的列联表，依据小概率值 = 0.05 的独立性检验，能否认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正
常环境中体重的增加量有差异？
( )2
附： 2 = ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
16.(本小题 15 分)
已知数列{ }的前 项和为 ， + = 1．
(1)求证：数列{ }是等比数列；
(2) 2024若 > 2025，求 的最小值．
17.(本小题 15 分)
在某次乒乓球团体比赛中甲乙两支球队进入总决赛，比赛采用 5 局 3 胜制，只要有一支球队先获胜 3 场比
3 2
赛结束.在第一场比赛中甲队获胜，已知甲队第 2，3，4 场获胜的概率为5，第 5 场获胜的概率为5，各场之
间互不影响．
(1)求甲队以 3：2 获胜的概率；
(2)设 表示决出冠军时比赛的场数，求 的分布列与数学期望．
18.(本小题 17 分)
在平面直角坐标系 中，过点 ( 2,0)， (2,0) 3的两条直线 与直线 的斜率分别为 1， 2，且 1 2 = 4，
记动点 的轨迹为曲线 ．
(1)求 的方程；
(2)若 1 + 2 =
1
4，求点 的坐标；
第 3页，共 9页
(3)已知点 (1,0)，直线 ： = 4 与 轴交于点 ，直线 与 交于点 ，是否存在常数 ，使得∠ = ∠ ？
若存在，求出 的值；若不存在.请说明理由．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = + ( ∈ ) = (1 1，直线 ) 与曲线 = ( )相切．
(1)求实数 ；
2
(2)若函数 ( ) = ( )有三个极值点 1， 2， 3：
①求实数 的取值范围；
②求证： 1 + 2 + 3 > 3．
第 4页，共 9页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.16
13. 262
2
14.(1, )
15.(1)由题意知，这 40 只小鼠体重增量的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排序后，第 20 位和第
21 位数据的平均值，第 20 位为 23.2，第 21 位为 23.6．
1
所以这组数据的中位数为 = 2 × (23.2 + 23.6) = 23.4．
填写列联表如下：
< ≥ 合计
对照组 6 14 20
试验组 14 6 20
合计 20 20 40
2
(2)根据(1)中的列联表数据，结合给定公式计算 2 = 40×(6×6 14×14)20×20×20×20 = 6.4，
根据小概率值 = 0.05 的独立性检验知 = 3.841，则 2 = 6.4 > 3.841，
所以依据小概率值 = 0.05 的独立性检验，能认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常体重的增加量有差异．
16.(1)证明：当 ≥ 2 时，由 + = 1，
可得 1 + 1 = 1，
第 5页，共 9页
两式相减可得 1 + = 0，
2 = 1即有 1.，即 = 2 1( ≥ 2)，
当 = 1 1时， 1 + 1 = 1，得 1 = 2，
1
则数列{ }是首项为和公比均为2的等比数列；
(2) (1) = 1由 得 × ( 1 ) 1 = ( 1 2 2 2 ) ，
由 = 1
2024
， > 2025，
可得 1 2024 1 > 2025，即 < 2025，
= 1 1所以 2 < 2025，
则2 > 2025， = 2 单调递增，
211 = 2048 > 2025，210 = 1024 < 2025，
则 的最小值为 11．
17.(1)甲队以 3：2 获胜，已知甲队在第一场比赛中获胜，
3 2 2 72
则甲队必在第五场获胜，第 2，3，4 场中胜 1 场，负 2 场，则甲队以 3：2 获胜的概率为 13 × 5 × ( 5 )
2 × 5 = 625．
(2)根据题意 可取 3，4，5，
当 = 3 3 9时，即甲再连胜 2 场，所以 ( = 3) = ( 5 )
2 = 25，
当 = 4 时，有 2 种情况，甲胜或乙胜，
所以 ( = 4) = ( 2 )3 + 1 × 3 × 2 × 3 = 445 2 5 5 5 125，
当 = 5 时，有 2 种情况，甲胜或乙胜，
所以 ( = 5) = 72625 +
1 3 2 2 3 36
3 × 5 × ( 5 ) × 5 = 125，
所以 的分布列为：
3 4 5
9 44 36
25 125 125
9
所以数学期望 ( ) = 3 × 25 + 4 ×
44 36 27 176 36 491
125 + 5 × 125 = 25 + 125 + 25 = 125．
18.(1)设 ( , )，
3那么 = 1 2 = +2 2 = 4，
第 6页，共 9页
2
化简得 +
2
4 3 = 1 且 ≠± 2，
2 2
因此点 的轨迹(曲线 )的方程为
4 +

3 = 1 且 ≠± 2．
31 2 = 3 1 = 1
(2) = 结合题意，根据 4 1
+ = 1
4或 3，
1 2 2 = 1 2 = 4 4
1 = 1
如果 = 3，那么 ： = 1 × ( + 2)①； ： =
3
4 ( 2)②；2 4
= 2
根据①②可得 712，即 (
2
7 ,
12
7 )； = 7
1 =
3
如果 4，那么 ： = 3 ( + 2)①； ： = 1 × ( 2)②；
2 = 1 4
= 2 2 12
根据①②可得 7
= 12
，即 ( 7 , 7 )．
7
( 2 , 12 2 12综上， 7 7 )或 ( 7 , 7 )．
(3)设 (4, )，

那么直线 为 = 6 ( + 2)，
= 6 ( + 2)
联立曲线 得 2 2 ，
4 +

3 = 1
整理得( 2 + 27) 2 + 4 2 + 4 2 108 = 0，
2
根据题设知 + =
4
，
2+27
54 2 2
那么 = 2 ，+27
因此 108 18 = 6 × 2+27 = 2+27，
又因为 tan∠ = 3，tan∠ =
= 6 1 9 2，
因此 2∠ = 2 ∠ 1 tan2∠
2
= 3 = 6 2 9 2 = tan∠ ，1 9
所以∠ = 2∠ ，
第 7页，共 9页
因此存在 = 2，使得∠ = 2∠ ．
19.(1)因为 ( ) = + ( ∈ )，
所以 ′( ) = 1 + ，
设直线 = (1 1 ) 与曲线 = ( )相切于点( , + )，
1 + = 1 1
则 ，解得 = 1；
+ = (1 1 )
(2)①由题意及(1)得， > 0， ∈ ，
在 ( ) = + 中， = 1，
所以 ( ) = ，
2 2
在 ( ) = ( )

中， ( ) = + ，
2
1 1 ( )( 1)′( ) = 2 2 + 1 = 2 ，
因为 ( )有三个极值点 1， 2， 3，
所以 ′( ) = 0 有 3 个根，即( 2 )( 1) = 0 有 3 个根，
设其中一个根为 3 = 1，则 2 = 0 有 2 个根 1， 2，且都不为 0 和 1，
即 = 2有 2 个解，
所以直线 = 与 = 2有 2 个交点，
设 ( ) = 1 2，则 ′( ) = 2，
所以当 > 1 时， ′( ) < 0，函数单调递减，
当 0 < < 1 时， ′( ) > 0，函数单调递增，
所以 ( ) 1 = (1) = 1 2 = ，
因为当 → 0 时， ( ) → 0，当 →+∞时， ( ) → 0，
所以 ( ) ∈ (0, ]，
因为直线 = 与函数 ( ) = 2有 2 个交点，且交点横坐标不为 1，
第 8页，共 9页
所以 ∈ (0,1) ∪ (1, )．
②证明：由题意，(1)及(2)①证明如下， > 0，
2 2
在 ( ) = +
( )( 1)
中， ′( ) = 2 ，
有三个极值点 1， 2， 3，其中 3 = 1，
则另外两个 1， 22，是方程 = 0 的根，即 =

2的两个根，
所以要证 1 + 2 + 3 > 3，即证明 1 + 2 > 2，
设 1 < 2，
在 ( ) = 2 中， ′( ) = 2 1，
因为 ′(1) = 1 2 1 = < 0，
所以 1 < 1 < 2， ( )在(0,1)上单调递减，
要证 1 + 2 > 2，即证 1 > 2 2，
因为 1 < 1，所以 2 2 < 1，
因为 ( )在(0,1)上单调递减，
所以要证 1 > 2 2，即证 ( 1) < (2 2)，
即证 ( 1) (2 2) < 0，
即为 ( 2) (2 2) < 0， ( 1) = ( 2)，
设 ( ) = ( ) (2 ) = 2 2 , 0 < < 1， ∈ (0,1)，
′( ) = (1 )( 1 1 2 + )，
当 0 < < 1 时，1 > 0, 1 1 2 + > 0，
所以 ( )在(0,1)上单调递增，
所以 ( ) < (1) = (1) (1) = 0，即 ( 1) < (2 2)，
所以 2 > 2 1，即 1 + 2 > 2，
所以 1 + 2 + 3 > 3．
第 9页，共 9页

展开更多......

收起↑