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2024-2025 学年河南省洛阳市强基联盟高二（下）7 月联考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若(1 + ) = 1 + ，则 =( )
A. B. C. 1 D. 1 +
2.已知集合 = { | 2 ≤ ≤ 3}， = { | > 0}，则 ∩ ( ) =( )
A. [ 2,0] B. [ 2,3] C. ( ∞,0] D. ( ∞,3]
3.已知向量 ， 不共线，若 + 与 2 共线，则实数 的值是( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 32 2 2
4
2 2
.双曲线 2 2 = 1 的焦点到渐近线的距离为( )
A. 2 B. 2 C. 6 D. 2 33
5.若 = 0.20.3， = 0.30.2， = 20.3，则( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
6 .将函数 ( ) = 2 + 3 2 的图象向左平移6个单位长度后得到函数 ( )的图象，则 ( )图象的一条
对称轴为 =( )
A. 6 B. 12 C.

4 D. 12
7.已知正四棱台 1 1 1 1 的上底面的四个顶点 1， 1， 1， 1都在圆锥 的侧面上，下底面的四
个顶点 ， ， ， 都在圆锥 的底面圆周上，且 = 2 1 1 = 4， 1 = 2 2，则圆锥 的体积为( )
A. 4 6 B. 16 3 3 C. 5 6 D.
16 6
3
8.已知函数 ( )的定义域为 ， (1) = 1， (1 ) + (3 ) = 0，将 ( )的图象绕原点旋转 180°后所得
图象与原图象重合，若 ( ) = ( ) ( 2)，则2025 =1 ( ) =( )
A. 1 B. 1013 C. 1 D. 1013
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. ∈ ( ∞,0)， 2 2 8 ≥ 0
B. 1 1若 ， 都是非零实数，且 < ，则 2 > 2
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C. 0 < < 1 1 1若 ，则 + 1 的最小值为 5
D.若 ， 满足 2 | | + 2 = 1，则 2 + 2的最大值为 2
10.若(2 )2025 = + 20 1 + 2 + + 2025 2025，则( )
A. 0 = 2
B. 0 + 1 + 2 + + 2025 = 1
C. | 0| + | 1| + | 2| + + | | = 320252025
D. 1 + 2 2 + 3 3 + + 2025 2025 = 2025
11.苏格兰数学家约翰 纳皮尔( )发现并证明了当 > 0 且 → 0 时 → 1.根据约翰 纳皮尔的这
个发现以及我们所学的数学知识，关于函数 ( ) = 2 ( > 0)，下列说法正确的是( )
A. ( )有且只有一个极值点
1
B. ( )的最小值为 2
C. ( )的单调递减区间是(0, 1 )
2
D.存在两个不相等的正实数 ， ，使 ( ) = ( ) = 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2 2
12 .已知椭圆 ： 2 +

2 = 1( > > 0)的左顶点与上顶点之间的距离为焦距的 2倍，则 的离心率为
______．
13.已知在△ 中，角 ， ， 所对边分别为 ， ， ，满足 2 + = 2 ，且 = 2 3，则△ 周
长的取值范围为______．
14.已知 10 个样本数据的平均值为 10，方差为 6，则这 10 个数据的 65%分位数的最大值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
设抛物线 ： 2 = 4 的焦点为 ，过 的直线 与 交于 ， 两点．
(1)求 的准线方程；
(2)设 ( , 2)为 准线上一点，且 ⊥ ，求| |．
16.(本小题 15 分)
+ 1, 为奇数,
已知数列{ }的首项是 1, +1 =
+ 2, 为偶数.
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(1)证明：{ }的奇数项成等差数列；
(2)求{ }的前 项和 ．
17.(本小题 15 分)
如图， ⊥平面 ， // ， // ， ⊥ ， = = 7， = = 14， = 8．
(1)求直线 与平面 所成角的正弦值以及点 到平面 的距离；
(2)求二面角 的正弦值．
18.(本小题 17 分)
六一儿童节，某商场为了刺激消费提升营业额，推出了消费者凭当天在该商场的消费单据参加抽奖的活动，
奖品是 4 款不同造型的玩具摩托车与 4 款不同造型的玩具跑车(每款车的数量都充足)，主办方将大小相同
的 8 个乒乓球上分别标注 1，2，3，4，5，6，7，8，其中标注数字 1，2，3，4 的乒乓球分别代表 4 款不
同造型的摩托车，5，6，7，8 的乒乓球分别代表 4 款不同造型的跑车，并将这 8 个乒乓球放在一个不透明
箱子内.活动规定：儿童节当天在该商场消费满 100 元的消费者可从摸奖箱内摸出 1 个乒乓球，然后再放回
箱内；消费满 200 元可先从摸奖箱内摸出 1 个乒乓球，放回后再从中摸出 1 个乒乓球，然后再放回箱内；
消费满 300 元可先从摸奖箱内摸出 1 个乒乓球，放回后再从中摸出 1 个乒乓球，放回后再从中摸出 1 个乒
乓球，然后再放回箱内； ，依此类推，消费者根据自己摸出的乒乓球标注的数字即可获得相应的奖品．
(1)若小明的家长当天在该商场消费恰好满 400 元，求这位家长能获得 2 款相同造型摩托车与 2 款不同造型
跑车的概率；
(2)若本次活动小明家获得的奖品是 2 台不同造型的摩托车和 2 台不同造型的跑车，小英家也获得 2 台不同
造型的摩托车和 2 台不同造型的跑车．
①从他们两家获得的这 8 台车中随机抽取 5 台，如果抽出的 5 台车中有 台摩托车，求 的分布列和数学期
望；
②若小明和小英将他们家本次活动获得的奖品每次各取一件进行交换，第一次交换的奖品也可以参加第二
次交换，求两次交换后小明家仍有 2 台摩托车和 2 台跑车的概率．
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19.(本小题 17 分)
“洛必达法则”是研究微积分时经常用到的一个重要定理，洛必达法则之一的内容是：若函数 ( )， ( )
的导数 ′( )， ′( )都存在，且 ′( ) ≠ 0，如果 → ( 是常数)时， ( ) → ∞或+∞， ( ) → ∞或+∞，
′( ) ( )
且 = ( 是常数)，则 → 时
′( ) ( )
→ ．
已知函数 ( ) = 1 ， ( ) = + 1, ∈ ．
(1)证明： = 1 时曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线与曲线 = ( )也相切；
(2)若函数 ( )有两个零点 1， 2( 1 < 2)，函数 ( )有两个零点 3， 4( 3 < 4).
①指出 1， 2， 3， 4的大致范围(不必说明理由)，并求出 的取值范围；
②试探究 1 + 2与 3 + 4的大小关系．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 23
13.(4 3, 6 3]
14.13
15.(1)因为抛物线 的方程为 2 = 4 ，
所以抛物线 焦点 的坐标为(1,0)，
准线方程为 = 1；
(2)因为 ( , 2)在抛物线 的准线上，
所以 = 1，即 ( 1,2)，
0 2
此时 = 1 ( 1) = 1，
因为 ⊥ ，
所以 = 1，
解得 1 = 1，
所以直线 的方程为 = 1，
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
2 = 4
联立 = 1，
消去 并整理得 2 6 + 1 = 0，
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由韦达定理得 1 + 2 = 6，
所以| | = 1 + 2 + 2 = 8．
16. + 1, 为奇数,(1)证明：由数列{ }的首项是 1, +1 =
+ 2, 为偶数.
若 为奇数，则 + 1 是偶数， + 2 是奇数，
所以 +1 = + 1， +2 = ( + 1) + 2 = + 3，即 +2 = 3，
所以{ }的奇数项是首项为 1，公差为 3 的等差数列．
(2)当 = 2 ( ∈ )时， = 2 = 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + 1 +
= ( 1 + 3 + 5 + + 2 1) + ( 2 + 4 + 6 + + 2 )
= ( 1 + 3 + 5 + + 2 1) + ( 1 + 1 + 3 + 1 + 5 + 1 + + 2 1 + 1)
( 1)
= 2( 1 + 3 + 5 + + 2 1) + = 2[ 1 + 2 × 3] +
= 3 2 = 3 × ( )2 32 = 4
2．
因为 2 = 2 1 + 1 = 1 + 3( 1) + 1 = 3 1，
所以当 = 2 1( ∈ )时， = 22 1 = 2 2 = 3 3 + 1
= 3 × ( +1 )2 3 × +1 3 2 12 2 + 1 = 4 + 4．
3 24 , 为偶数,综上所述， = 3 1 ．2
4 + 4 , 为奇数.
17.(1)因为 ⊥平面 ， ⊥ ，
所以 ， ， 两两垂直，
以 ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系：
则 (0,0,0)， (7,0,0)， (7,14,0)， (0,7,0)， (0,0,14)， (7,14,8)，
所以 = ( 7,7,0)， = ( 7,0,14)， = (0,14,8)，
设 = ( , , )为平面 的一个法向量，
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= ( , , ) ( 7,7,0) = 7 + 7 = 0
则 ，
= ( , , ) ( 7,0,14) = 7 + 14 = 0
令 = 1，则 = = 2，
所以 = (2,2,1)，
设直线 与平面 所成角为 ，
= |
| = |0×2+14×2+8×1| = 6 65则 ，| || | 02+142+82 22+22+12 65
| =
| = |0×2+14×2+8×1|点 到平面 的距离为 | | = 12．22+22+12
(2)设 = ( , , )为平面 的一个法向量，
= ( , , ) ( 7,7,0) = 7 + 7 = 0
则

，
= ( , , ) (0,14,8) = 14 + 8 = 0
令 = 7，则 = = 4，
所以 = (4,4, 7)，
| | |(2,2,1) (4,4, 7)| 1
所以|cos < ， > | = | || | = = 22+22+12 42+42+( 7)2 3，
所以二面角 的正弦值为2 2．
3
18.(1)记“小明的家长得到 2 台相同造型摩托车与 2 台不同造型跑车”为事件 ，
1 1 1 1
则 ( ) = 4 1 4 3 384 = 256；
(2)①易知 的所有可能取值为 1，2，3，4，
1 4 2 3 3 2 4 1
所以 ( = 1) = 4 4 = 15 14 , ( = 2) =
4 4
5 =
3
7 , ( = 3) =
4 4 = 3 , ( = 4) = 4 45 7 5 =
1
，
8 8 8 8 14
则 的分布列为：
1 2 3 4
1 3 3 1
14 7 7 14
故 ( ) = 1 × 1 3 3 1 514 + 2 × 7 + 3 × 7 + 4 × 14 = 2；
②两次交换后小明家仍有 2 台摩托车和 2 台跑车，包括 3 种情况：
( )第一次交换后小明家是 2 台摩托车 2 台跑车，
1 1 1 1 1 1 1 1
此时概率 = [( 2 × 2 1 1 ) + (
2
1 ×
2
1 )][(
2 × 2 ) + ( 2 × 21 1 1 1 )] =
1 × 1 = 1；
4 4 4 4 4 4 4 4 2 2 4
( )第一次交换后小明家是 1 台摩托车 3 台跑车，
1 1 1 1
此时概率 = (
2 × 2 )( 3 × 3 ) = 2 × 2 × 3 × 3 9
1
= ；
4
1 1 14 4 4 4 4 4 4 64
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( )第一次交换后小明家是 3 台摩托车 1 台跑车，
1 1 1 1 2 2 3 3 9
此时概率 = ( 2 × 2 )( 3 × 31 ) = × × × = ， 4 14 14 14 4 4 4 4 64
则两次交换后小明家仍有 2 台摩托车和 2 台跑车的概率 = 1 9 + + = 4 + 64 +
9 = 1764 32．
19.(1)证明： = 1 时， ( ) = 1 ， ( ) = + 1 1( > 0)，
′( ) = 1 1， ′( ) = 1
1
2 ( > 0)，
又 (1) = 0， ′(1) = 0，
所以曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程是 0 = 0 × ( 1)，即 = 0．
因为 ( ) = 0， ′( ) = 0，
所以曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程是 0 = 0 × ( 1)，即 = 0．
所以 = 1 时曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线 = 0 与曲线 = ( )也相切．
(2)①0 < 1 < 1 < 2，0 < 3 < 1 < 4 < ．
由 ( ) = 0 ，得 = 0； ( ) = 0，得 (1 ) = 0，
令 ( ) = , ( ) = (1 ) ，则 ( )与 ( )的零点相同， ( )与 ( )的零点相同，
( ) = (1 )又 ′ , ′( ) = ，
> 1 时， ′( ) < 0， ( )单调递减； < 1 时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
> 1 时， ′( ) < 0， ( )单调递减，0 < < 1 时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
所以 ( )和 ( )在(1, + ∞)上都是减函数，在(0,1)上都是增函数，
所以 0 < < 1 时， = (0) < ( ) < (1) = 1 ， > 1 时， < ( ) < (1) = 1 ，
因为 ( )有两个零点，即 ( )有两个零点，
所以 0 < < 1 < < 0,1 2，且 1 > 0,解得 0 < < 1．
当 0 < < 1 时， (1) = 1 > 0， ( ) = < 0，
1
→ 0 ( )′又 时 1 = = → 0，( )′
1
2
根据洛必达法则可知， → 0 时， = 1 → 0, (1 ) = → ，

所以 → 0 时 ( ) < 0，
所以 0 < < 1 时， ( )在区间(0,1)和(1, )上各有一个零点，
所以 0 < 3 < 1 < 4 < ，
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因此，若函数 ( )， ( )各有两个零点， 的取值范围是(0,1)．
( ) ( )
②令 ( ) = ，
则 ( )与 ( )的零点相同， ( )与 ( )的零点相同，
( )在区间(0,1)上是增函数，
(1 )+
( ) = =

+ 1，
( ) = + 1 =

′ ，
令 ( ) = ( > 0)，则 ′( ) = ( > 0)，
> 1 时 ′( ) > 0， ( )单调递增；0 < < 1 时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
所以 > 0 时 ( ) ≥ (1) = 0，
于是 > 0 时 ′( ) ≥ 0 等号仅当 = 1 时成立，
所以 ( )在(0, + ∞)上是增函数．
所以 0 < < 1 时， ( ) < (1) = 0， ( ) ( ) < 0，即 0 < < 1 时， ( ) < ( )；
> 1 时， ( ) > (1) = 0， ( ) ( ) > 0，即 > 1 时 ( ) > ( )；
由①知 0 < 1 < 1 < 2，0 < 3 < 1 < 4 < ，
所以 0 = ( 1) < ( 1)，
又 ( 1) = 0， ( 3) = 0，
所以 ( 1) > ( 3)，
又 ( )在区间(0,1)上是增函数，且 1， 3 ∈ (0,1)，
所以 0 < 3 < 1 < 1.同理可证 1 < 4 < 2，
于是 1 + 2 > 3 + 4．
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