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2024-2025 学年新疆阿克苏地区普通高中联考高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.用数字 1，2，3，4，5 组成的没有重复数字的五位偶数的个数是( )
A. 120 B. 60 C. 50 D. 48
2.如图是函数 = ( )的导函数 = ′( )的图象，则下面判断正确的是( )
A.在(1,2)上 ( )是减函数 B.在(3,5)上 ( )是增函数
C.在 = 1 处取得极大值 D.在 = 1 处取得极小值
3.函数 ( ) = 的单调递减区间为( )
A. (0,1) B. (1, + ∞) C. (0, + ∞) D. (0,1)，(0, + ∞)
4.我国商用中大型无人机产业已进入发展快车道，某无人机生产公司 2022 年投入研发费用 4 亿元，计划此
后每年研发费用比上一年都增加 2 亿元，则该公司一年的研发费用首次达到 20 亿元是在( )
A. 2029 年 B. 2030 年 C. 2031 年 D. 2032 年
5.某旅行社共有 5 名专业导游，其中 3 人会英语，3 人会日语，若在同一天要接待 3 个不同的外国旅游团，
其中有 2 个旅游团要安排会英语的导游，1 个旅游团要安排会日语的导游，则不同的安排方法种数有( )
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
6 4 1 3.若 = 4 ， = ， = 3 ，则以下不等式正确的是( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
7.在新高考改革中，学生可先从物理、历史两科中任选一科，再从化学、生物、政治、地理四门学科中任
选两科参加高考，现有甲、乙两名学生若按以上选科方法，选三门学科参加高考，则甲、乙二人恰有一门
学科相同的选法有( )
A. 24 B. 30 C. 48 D. 60
8.过点(1,0)可以做三条直线与曲线 = 相切，则实数 的取值范围是( )
A. ( 5 2 , 0) B. (
5
2 , ) C. (
5 1
, ) D. ( , 0)
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的有( )

A. ( ) (1) = 2 → 0 (1+2 ) (1)已知函数 在 上可导，若 ′ ，则 = 4
B.已知函数 ( ) = ln(2 + 1)，若 ′( 0) = 1
1
，则 0 = 2
C. ( ) = + ′ 2
D.设函数 ( )的导函数为 ′( )，且 ( ) = 2 + 3 ′(2) + 9，则 ′(2) = 4
10.记数列{ }的前 项和为 ，且 = 2 + ( ∈ )，则( )
A. 3 = 6
B. { 数列 }是公差为 1 的等差数列
C. 1 数列{ }的前 项和为 +1
D.数列{( 1) }的前 2025 项的和为 2026
11.现有 6 个小球和 4 个盒子，下面的结论正确的是( )
A.若 6 个相同的小球放入编号为 1，2，3，4 的盒子，每个盒子都不空，则共有 24 种放法
B.若 6 个相同的小球放入编号为 1，2，3，4 的盒子，且恰有一个空盒的放法共有 40 种
C.若 6 个不同的小球放入编号为 1，2，3，4 的盒子，且恰有一个空盒的放法共有 2160 种
D.若 6 个不同的小球放入编号为 1，2，3，4 的盒子，且恰有两个空盒的放法共有 384 种
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知等差数列{ }中， 23， 15是方程 6 1 = 0 的两根，则 9 =______．
13.在如图所示的四个区域中，有 5 种不同的花卉可选，每个区域只能种植一种
花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法共有______种. (用数字作答)
14.如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆
构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 的斜边 、直角边 、直角边
，△ 的三边所围成的区域．若 = 10，过点 作 ⊥ 于 ，当
△ 面积最大时，黑色区域的面积为______．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
计算：
(1)3 3 2 88 2 5 + 8；
3 7
(2) 10 710! ．
16.(本小题 15 分)
某种产品的加工需要经过 5 道工序．
(1)如果其中某 2 道工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？
(2)如果其中某 2 道工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？
(3)如果其中某 2 道工序不能相邻，那么有多少种加工顺序？
17.(本小题 15 分)
设{ }是等差数列，{ }是等比数列，公比大于 0，已知 1 = 1 = 3， 2 = 3， 3 = 4 2 + 3．
(1)求数列{ }和{ }的通项公式；
(2) = 1 +1若 + ，求数列{ }的前 项和 ． +1
18.(本小题 17 分)
1
已知函数 ( ) = 22 + ( 1) ， ∈ ．
(1)当 = 2 时，求函数 ( )的最小值；
(2)当 ≤ 0 时，讨论函数 ( )的单调性；
(3)求证：当 = 2 时，对任意的 1， 2 ∈ (0, + ∞) ≠
( 2) ( )，且 1 2，有
1
> 1．2 1
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( )的导函数为 ′( )，若 ′( )在区间 上单调递增，则称 ( )为区间 上的凹函数；若 ′( )
在区间 上单调递减，则称 ( )为区间 上的凸函数.已知函数 ( ) = + ( + 1)．
(1)若 ( )在[2,3]上为凹函数，求实数 的取值范围；
(2)已知 ( ) = ( 1)，且 ( )在(1, + ∞)上存在零点，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3
13.240
14.25 32
15.(1)3 3 2 8 8×7×6 5×48 2 5 + 8 = 3 × 3×2×1 2 × 2×1 + 1 = 149；
3 7
(2) 10 7 = 10×9×8×7!10! 10! = 1．
16.解：某种产品的加工需要经过 5 道工序，
(1)先从另外 3 道工序中任选 2 道工序放在最前和最后，有 23 = 6 种不同的排法，
再将剩余的 3 道工序全排列，有 33 = 6 种不同的排法，
故由分步乘法原理可得，共有 6 × 6 = 36 种加工顺序；
(2)先排这 2 道工序，有 22 = 2 种不同的排法，再将它们看作一个整体，
与剩余的工序全排列，有 44 = 24 种不同的排法，
故由分步乘法原理可得，共有 2 × 24 = 48 种加工顺序；
(3)先排其余的 3 道工序，有 33 = 6 种不同的排法，出现 4 个空位，再将这 2 道工序插空，
有 24 = 12 种不同的排法，所以由分步乘法原理可得，共有 6 × 12 = 72 种加工顺序．
17.(1)因为{ }是等差数列，{ }是等比数列，公比大于 0，
1 = 1 = 3， 2 = 3， 3 = 4 2 + 3，
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3 = 3 + 2 = 3 = 3
则 3 2 = 15 + 4 ，解得 = 3或 = 1 (舍去)，
故 = 3 + 3( 1) = 3 ， = 3 × 3 1 = 3 ；
(2) = 1 + +1 = 1 2 +1 1 2 +1 +1 3 (3 +3)
+ 3 = 9 ( +1) + 3 ，
{ 1 1 1 1 1设 9 ( +1) }前 项和为 ，∵ 9 ( +1) = 9 ( +1 )，
∴ = 1 [(1 1 ) + ( 1 1 ) + … + ( 1 1 )] = 1 (1 1 9 2 2 3 +1 9 +1 ) =

9( +1)，
1
设{(2 + 1) ( 3 )
}的前 项和为 ，
所以 1 1 2 = 3 × 3+ 5 × ( 3 ) + 7 × (
1 )33 + + (2 + 1) (
1 ) 3 ，
1 1 2 1 3 1 4 1 1 +1
3 = 3 × ( 3 ) + 5 × ( 3 ) + 7 × ( 3 ) + + (2 1) ( 3 ) + (2 + 1) ( 3 ) ，
两式相减可得：
2 1 1 1 1 1 1
3 = 3 × 3 + 2 × (3 )
2 + 2 × ( )33 + 2 × (3 )
4 + + 2 × ( ) 3 (2 + 1) ( )
+1
3
1 1 1 1
= 1 + 2 × [( )2 + ( )3 + ( )4 + + ( )
1
3 3 3 3 ] (2 + 1) (3 )
+1
(1 )2[1 (1) 1] 1
= 1 + 2 × 3 3 (2 + 1) ( ) +1
1 1 33
= 1 + 1 × [1 ( 1 ) 1] (2 + 1) ( 1 ) +1 = 4 ( 1 ) × ( 2 +43 3 3 3 3 3 )，
1
所以 = 2 ( + 2) ( 3 ) ，
∴ = + = 1 9( +1) + 2 ( + 2) ( 3 ) ．
18.(1)显然函数 ( )的定义域为(0, + ∞)，
2
= 2 , ( ) = + 2 = ( 1)( +2)当 时 ′ ．
∴当 ∈ (0,1)时， ′( ) < 0，
∈ (1, + ∞)， ′( ) > 0．
∴ ( )在 = 1 3时取得最小值，其最小值为 (1) = 2．
2
(2) ∵ ′( ) = + ( 1) =
+( 1)
=
( 1)( + )

∴ ①当 1 < ≤ 0 即 < 1 时，
若 ∈ (0, )时， ′( ) > 0， ( )为增函数；
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∈ ( ,1)时， ′( ) < 0， ( )为减函数；
∈ (1, + ∞)时， ′( ) > 0， ( )为增函数
②当 = 1 时，
( 1)2 ′( ) = ≥ 0，函数 ( )在(0, + ∞)上为增函数．
③当 < 1 即 > 1 时，
∈ (0,1)时， ′( ) > 0， ( )为增函数；
∈ (1, )时， ′( ) < 0， ( )为减函数；
∈ ( , + ∞)时， ′( ) > 0， ( )为增函数．
证明：(3) 0 < < ( 2) ( 不妨设 ，要证明 1)1 2 2
> 1，
1
即证明： ( 2) + 2 > ( 1) + 1
当 = 2 1时，函数 ( ) = 2
2 + 2 3 ．
考查函数 ( ) = ( ) + = 12
2 + 2 2
2 2
∵ ′( ) = + 2 2 =
2 +2 = ( 1) +1 > 0
∴ ( )在(0, + ∞)上是增函数，
对任意 0 < 1 < 2， ( 2) > ( 1)，
所以 ( 2) + 2 > ( 1) + 1，
∴ ( 2) ( 1) > 12 1
命题得证
19. 1 解：(1) ′( ) = + +1 = ( )，
则 ′( ) = 2 ( +1)2，
( ) ≥ 0 ∈ [2,3] ( +1)
2( 2)
依题意知， ′ 对任意的 恒成立，则 ≥ 恒成立，
( ) = ( +1)
2( 2) =
3 3 2
令 ， ∈ [2,3]，
则 ′( ) = 1 3 2 ( + 3 + 3 1) =
+1
(
2 + 4 1) > 0，
故 ( )在[2,3]上单调递增，故 (2) = 0 ≥ ，
则实数 的取值范围为( ∞,0]；
(2) 1依题意得， ( ) = ( 1) = 1 + ，
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若 ≥ 0，当 > 1 1时， 1 > 0， > 0，
所以 ( ) > 0， ( )在(1, + ∞)上无零点，舍去；
1 2 < 0 ( ) = +2 若 ，则 ′ 1 ，令 ( ) =
1 2 + 2 ，
则 ′( ) = 1 2( 1) < 0，则 ( )在(1, + ∞)上单调递减，且 (1) = + 1，
①若 + 1 > 0，即 1 < < 0，此时 (2) = < 0，
则存在 ∈ (1,2)，使得 ( ) = 0，即 ′( ) = 0，
故 F( )在(1, )上单调递增，在( , + ∞)上单调递减，
所以 ( ) > (1) = 0，
> ( ) = 1 + < 1 1当 时， 1 + = 1 + < 1 + ，
1
令 1 + < 0，解得 > ，
1 1
因为 > > ，且 ( ) < 0，
1
所以存在唯一的 1 ∈ ( ,
)，使得 ( 1) = 0 满足条件；
②若 + 1 ≤ 0，即 ≤ 1，此时 ( ) < 0， ( )在(1, + ∞)上单调递减，
又 (1) = 0，所以 ( ) < 0，不合题意，舍去．
综上所述，实数 的取值范围为( 1,0)．
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